Matemática Essencial

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Material desta página

1 A importância da circunferência

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

2 Circunferência e Círculo

Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância \(r\) de um ponto fixo \(O\) denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo \(O\) é menor ou igual que uma distância \(r\) dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de pontos localizados dentro da mesma. No gráfico anterior, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

3 Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do círculo.

4 Raio, corda e diâmetro

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade em um ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta \(OA\), \(OB\) e \(OC\) são raios.

Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta \(AC\) e \(DE\) são cordas.

Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. O diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta \(AC\) é um diâmetro.

5 Posições relativas de uma reta e uma circunferência

Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.

Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto \(P\). Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura anterior, o ponto \(P\) é o ponto de tangência e a reta que passa pelos pontos \(E\) e \(F\) é uma reta tangente à circunferência.

Notas:

1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como as medidas desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que \(ON\) é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o raio \(ON\) da circunferência mede \(10\) cm ou que o raio \(ON\) tem \(10\) cm.
2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, A tangente PQ pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos \(P\) e \(Q\) mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos \(P\) e \(Q\). Do mesmo modo, a secante AC pode significar a reta que contém a corda \(BC\) e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto \(A\) ao ponto \(C\).

6 Propriedades das secantes e tangentes

1. Se uma reta \(s\), secante a uma circunferência de centro \(O\), intercepta a circunferência em dois pontos distintos \(A\) e \(B\) e se \(M\) é o ponto médio da corda \(AB\), então o segmento de reta \(OM\) é perpendicular à reta secante \(s\).
2. Se uma reta \(s\), secante a uma circunferência de centro \(O\), intercepta a circunferência em dois pontos distintos \(A\) e \(B\), a perpendicular à reta s que passa pelo centro \(O\) da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda \(AB\).
3. Se \(OP\) é um raio de uma circunferência, onde \(O\) é o centro e \(P\) um ponto da circunferência, então toda reta perpendicular ao raio \(OP\) é tangente à circunferência no ponto de tangência \(P\).
4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

7 Posições relativas de duas circunferências

Reta tangente comum: é uma reta que tangencia duas circunferências ao mesmo tempo. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.

Tangentes internas	Tangentes externas

Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos.

Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa.

Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.

Circunferências internas: Uma circunferência \(C1\) é interna a uma circunferência \(C2\), se todos os pontos do círculo \(C1\) estão contidos no círculo \(C2\). Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.

Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.

Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.

Tangentes externas	Tangentes internas

As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.

Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.

Segmentos tangentes: Se \(AP\) e \(BP\) são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto \(A\) e \(B\), então esses segmentos \(AP\) e \(BP\) são congruentes.

8 Polígonos circunscritos

Polígono circunscrito a uma circunferência é aquele que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.

Quadrilátero circunscrito	Triângulo circunscrito

Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.

9 Arco de circunferência e ângulo central

Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que \(OP=OQ=OR=\cdots\) e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.

Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.

Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência.

Na figura, o ângulo \(a\) é um ângulo central. Se numa circunferência de centro \(O\), um ângulo central determina um arco \(AB\), dizemos que \(AB\) é o arco correspondente ao ângulo \(AÔB\).

Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor \(AB\) ou arco menor \(ACB\).

Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto \(D\) está no arco maior \(ADB\) enquanto o ponto \(C\) não está no arco maior, mas está no arco menor \(AB\), assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.

Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do diâmetro. O arco \(RTS\) é uma semicircunferência da circunferência de centro \(P\) e o arco \(RUS\) é outra.

Notas: Em uma circunferência dada, temos que:

1. A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a \(m(AÔB)\) e a medida do arco maior é \(360\) graus menos a medida do arco menor \(m(AÔB)\).
2. A medida da semicircunferência é \(180\) graus ou \(\pi\) radianos.
3. Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
4. Em uma circunferência, se um ponto \(E\) está entre os pontos \(D\) e \(F\), que são extremidades de um arco menor, então: \(m(DE)+m(EF)=m(DF)\).
5. Se o ponto \(E\) está entre os pontos \(D\) e \(F\), extremidades de um arco maior: \(m(DE)+m(EF)=m(DEF)\).

Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.

10 Propriedades de arcos e cordas

Uma corda de circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Notas:

1. Se um ponto \(X\) está em um arco \(AB\) e o arco \(AX\) é congruente ao arco \(XB\), o ponto \(X\) é o ponto médio do arco \(AB\). Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto \(X\) é um segmento bissetor do arco \(AB\). O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.
2. Para obter a distância de um ponto \(O\) a uma reta \(r\), traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto \(O\). O ponto \(T\) obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determina um extremo do segmento \(OT\) cuja medida é a distância entre o ponto e a reta.
3. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes.
4. Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos.
5. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes.

11 Polígonos inscritos na circunferência

Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.

Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é \(180\) graus e a soma de todos os quatro ângulos é \(360\) graus.

12 Ângulos inscritos

Ângulo inscrito relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura seguinte à esquerda, o ângulo \(AVB\) é inscrito e \(AB\) é o arco correspondente.

Medida do ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é:

Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.

13 Ângulo semi-inscrito e arco capaz

Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico seguinte, a reta secante passa pelos pontos \(A\) e \(B\) e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito \(BAC\) é o arco \(AXB\) onde \(X\) é um ponto sobre o arco.

Nota: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo \(BÂC\) é igual a metade da medida do arco \(AXB\).

Arco capaz: Dado um segmento \(AB\) e um ângulo \(k\), pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos \(A\) e \(B\) sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo \(k\)? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.

Construção do arco capaz com régua e compasso

1. Traçar um segmento de reta \(AB\);
2. Pelo ponto \(A\), trace uma reta \(t\) formando com o segmento \(AB\) um ângulo congruente a \(k\) (mesma medida que o ângulo \(k\));
3. Traçar uma reta \(p\) perpendicular à reta \(t\) passando pelo ponto \(A\);
4. Determinar o ponto médio \(M\) do segmento \(AB\);
5. Traçar a reta mediatriz \(m\) ao segmento \(AB\);
6. Obter o ponto \(O\) que é a interseção entre a reta \(p\) e a mediatriz \(m\).
7. Com o compasso centrado no ponto \(O\) e abertura \(OA\), traçar o arco de circunferência localizado acima do segmento \(AB\).
8. O arco que aparece em vermelho no gráfico ao lado é o arco capaz.

Nota: Todo ângulo inscrito no arco capaz \(AB\), com lados passando pelos pontos \(A\) e \(B\) são congruentes e isto significa que, o segmento de reta \(AB\) é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Na figura seguinte à esquerda, os ângulos que passam por \(A\) e \(B\) e têm vértices em \(V_1\), \(V_2\), \(V_3,\cdots\), são todos congruentes (a mesma medida).

Na figura anterior à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito \(m\) de vértice em \(A\) é o arco \(AVB\). Se \(n\) é ângulo central então a medida de \(m\), denotada por \(\mu(m)\) é o dobro da medida de \(n\), denotada por \(\mu(n)\), isto é:

14 Outras propriedades com cordas e segmentos

Agora apresentamos alguns resultados que fazem a conexão entre segmentos e cordas, que não são evidentes à primeira vista.

Se a reta \(AB\) é tangente à circunferência no ponto \(B\) então o segmento \(AB\) é o segmento tangente de A \(a\)té a circunferência. Se a reta \(RT\) é uma reta secante que intercepta a circunferência em \(S\) e \(T\), e além disso, \(R\) é um ponto exterior à circunferência, então \(RT\) é um segmento secante e \(RS\) é a parte externa do segmento secante.

Na sequência, usamos a notação \((PZ)\) para representar a medida do segmento \(PZ\), em função das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresentação de materiais de Matemática.

Cordas interceptando dentro da circunferência: Consideremos duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto \(P\) dentro da circunferência.

Então, o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda.

Potência de ponto (1): A partir de um ponto fixo \(P\) dentro de uma circunferência, tem-se que \((PA).(PB)\) é constante qualquer que seja a corda \(AB\) passando por este ponto \(P\). Este produto \((PA).(PB)\) é denominado a potência do ponto \(P\) em relação a esta circunferência.

Secantes interceptando fora da circunferência: Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunferência que se interceptam em um ponto \(P\) localizado fora da circunferência.

Se uma das retas passa pelos pontos \(A\) e \(B\) e a outra reta passa pelos pontos \(C\) e \(D\) da circunferência, então o produto da medida do segmento secante \(PA\) pela medida da sua parte exterior \(PB\) é igual ao produto da medida do segmento secante \(PC\) pela medida da sua parte exterior \(PD\), isto é,

Potência de ponto (2): Se \(P\) é um ponto fixo fora da circunferência, o produto \((PA).(PB)\) é constante qualquer que seja a reta secante à circunferência passando por \(P\). Este produto \((PA).(PB)\) é também denominado a potência do ponto \(P\) em relação à circunferência.

Secante e tangente interceptando fora da circunferência: Seja uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferência se interceptam em um ponto \(P\) fora da circunferência, a reta secante passando pelos pontos \(A\) e \(B\) e a reta tangente passando pelo ponto \(T\) de tangência à circunferência.

Então, o quadrado da medida do segmento tangente \(PT\) é igual ao produto da medida do segmento secante \(PA\) pela medida da sua parte exterior \(PB\), isto é,

Exemplo: Consideremos a figura com as cordas \(AB\) e \(CD\) tendo interseção no ponto \(P\), com \((AP)=5\) cm, \((PB)=8\) cm, \((CD)=14\) cm.

Vamos obter a medida do segmento \(PD\). Tomamos \((PD)=x\), para escrever que \((CP)=14-x\) e somente utilizamos a unidade de medida no final. Desse modo, \((PD).(PC)=(PA).(PB)\) e podemos escrever que \(x(14-x)=5{\times}8\), de onde segue que \(x^2-14x+40=0\). Resolvendo esta equação, obtemos: \(x=4\) ou \(x=10\), o que significa que se uma das partes do segmento medir \(4\operatorname{cm}\), a outra medirá \(10\operatorname{cm}\). Pela figura anexada, observamos que o segmento \(PD\) é maior que o segmento \(PC\) e concluímos que \((PD)=10\operatorname{cm}\) e \((PC)=4\operatorname{cm}\).