| Triângulo ABC | Região triangular ABC |
|---|---|
 |
 |
Material desta página
No desenho abaixo, o triângulo \(ABC\) é a reunião dos segmentos de reta \(AB\), \(BC\) e \(AC\). A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é denominada região triangular. A região triangular \(ABC\) é limitada pelo triângulo \(ABC\). Os pontos dos lados do triângulo \(ABC\) bem como os pontos do interior do triângulo \(ABC\) são pontos da região triangular.
| Triângulo ABC | Região triangular ABC |
|---|---|
|
|
Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não sobrepostas.
Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estando no mesmo plano). Na gravura seguinte, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter buracos.
Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras
Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.
O estudo de áreas de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:
Nota: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotamos as seguintes práticas:
Exemplo: A área da figura poligonal \(ABCDEFX\) pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.
Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.
Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.
Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.
A figura seguinte mostra o retângulo \(ABCD\), que mede \(3\) unidades de comprimento e \(2\) unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.
A área do retângulo \(ABCD\) é a soma das áreas destes seis quadrados.
O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base \(AB\) pelo número de unidades da altura \(BC\).
O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área \(A\) do retângulo é o produto da medida da base \(b\) pela medida da altura \(h\).
Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma. Esta é a razão pela qual a segunda potência do número \(x\), é indicada por \(x^2\), e tem o nome de quadrado de x e a área \(A\) do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado \(x\).
Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é \(8\) unidades e o comprimento da altura é \(5\) unidades.
No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc.
Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com \(2\operatorname{m}\) de altura e \(120\operatorname{cm}\) de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.
Como \(h=2\operatorname{m}\) e \(b=120\operatorname{cm}=1,20\operatorname{m}\), a área é obtida através de:
Como \(h=2\operatorname{m}=200\operatorname{cm}\) e \(b=120\operatorname{cm}\), a área do retângulo é dada por:
Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.
Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.
No paralelogramo \(ABCD\) abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base \(AB\).
No paralelogramo \(RSTV\) acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base \(RV\).
A área \(A\) do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base \(b\) pela medida da altura \(h\), isto é, \(A=b{\times}h\).
Demonstração da fórmula para a área do paralelogramo
Demonstração: Construímos o paralelogramo \(ABCD\) com base \(AB\) e altura \(BX\). Pelos pontos \(A\) e \(B\) traçamos duas retas perpendiculares a \(AB\) até encontrarem \(CD\), formando o retângulo \(ABXY\) de área \(A=bh\).
Os triângulos \(ADY\) e \(BCX\) são congruentes pois são triângulos retângulos, possuem hipotenusas congruentes pois são lados opostos de um paralelogramo (\(AD\) e \(BC\)) e os catetos congruentes pois (\(AY=BX\)) por serem paralelas compreendidas entre paralelas. Portanto, a área do retângulo \(ABXY\) é \(b.h\) e é igual a área do paralelogramo \(ABCD\).
A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, \(A=\frac12 bh\).
Demonstração da fórmula para a área do triângulo.
Demonstração: Construímos o triângulo \(ABC\) com base \(AB\) e altura \(XC\). Traçamos uma reta paralela ao segmento \(AB\) que passa pelo ponto \(C\) e uma reta paralela ao segmento \(AC\) que passa pelo ponto \(B\) e construímos o paralelogramo \(ABYC\) cuja área é o dobro da área do triângulo \(ABC\).
Exemplo: Mostramos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede \(s\) é dada por \(A=\frac12 s^2\sqrt{3}\). Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos \(h^2=s^2-(s/2)^2\) para obter \(h^2=\frac34 s^2\) garantindo que \(h=\frac12 \sqrt{3} s\).
Como a área de um triângulo é dada por \(A=\frac12 bh\), segue que:
Nota: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.
Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.
Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.
O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.
A área do losango é a metade do produto das medidas das diagonais, isto é, \(A=\frac12 d_1 \times d_2\).
Demonstração da fórmula para a área do losango.
Demonstração: Seja o losango \(ABCD\) cujas diagonais \(AC\) e \(BD\) são tais que \(m(AC)=d1\) e \(m(BD)=d2\). Traçando paralelas às diagonais pelos vértices formamos o retângulo \(MNOP\) cuja área é o dobro da área do losango. Como a área do retângulo é \(d1{\times}d2\), a área do losango é dada por \(A=\frac12 d1 \times d2\).
Em um trapézio existe uma base menor que mede \(b1\), uma base maior que mede \(b2\) e uma altura com medida \(h\).
A área \(A\) do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é,
\(A=\frac12(b1+b2)h\).
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.
Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.
Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.
Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.
Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.
Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.
Ângulo central é aquele cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono.
| Objeto e figura |  |
 |
|---|---|---|
| apótema | \(OM\), | \(OX\) |
| raios | \(OA\)\(OF\) | \(OR\)\(OT\) |
| ângulo central | \(AOF\) | \(ROT\) |
Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por \(360/n\) graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.
Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de \(n\) lados, vamos decompor este polígono em \(n\) triângulos congruentes.
Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro \(P\), isto é:
Demonstração da fórmula para a área do polígono regular.
Demonstração: Seja o polígono regular \(RTUV,\cdots\), \(a\) o apótema e \(s\) a medida de cada lado do polígono. Traçando raios \(OR\), \(OT\), \(OU,\cdots\) o polígono fica decomposto em \(n\) triângulos congruentes.
A área de cada triângulo é \(A_t=\frac12 s a\). Assim, a área \(A\) do polígono é
mas, \(ns=P\), assim a área do polígono com \(n\) lados é:
Apresentamos na sequência, dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes \(A\) e \(L\) traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.
Os pares de triângulos correspondentes \(ABC\) e \(LMN\), parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumimos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com \(n\) lados.
Nota: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.
Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.
Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.