1. Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a:

   1. \(r = 5\cm \)
   2. \(r = 3,5\cm \)
   3. \(r = 3k\cm \)
   4. \(r = \frac12 a\cm \)

   Resposta 01

   1. raio = \(5\cm \), comprimento = \(10\pi\cm \)
   2. raio = \(\frac72\cm \), comprimento = \(7\pi\cm \)
   3. raio = \(3k\cm \), comprimento = \(6k\pi\cm \)
   4. raio = \(\frac12 a\cm \), comprimento = \(a\pi\cm \)

2. Uma roda gigante tem \(8\m \) de raio. Quanto percorrerá uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?

   Resposta 02

   \(96\pi\m \)

   .

3. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre uma distância de \(66\m\).

   Resposta 03

   \(r=5,5\pi\m \)

4. Considere um quadrado de perímetro 4L.

   

   Calcular:

   1. O raio da circunferência inscrita neste quadrado.
   2. O raio da circunferência circunscrita ao quadrado.

   Resposta 04

   
   1. O lado do quadrado mede \(L\) e o raio \(r\) da circunferência inscrita é a metade do lado, isto é \(r=L/2\).
   2. O raio da circunferência circunscrita é a metade da diagonal do quadrado de lado \(L\). Como \(r^2=2(L/2)^2=\frac12 L^2\), então \(r=\frac12 L \sqrt{2}\).

5. Qual é o comprimento da circunferência no plano cartesiano, se ela tem centro no ponto (2,1) e passa pelo ponto (5,-3).

   

   Resposta 05

   

   O raio \(r\) da circunferência é a distância entre o centro \((2,1)\) e o ponto \((5,-3)\). O teorema de Pitágoras garante que \(r^2=(5-2)^2+(-3-1)^2=25\), logo \(r=5\). Assim, o (perímetro) comprimento da circunferência mede \(p=2(5)(10)\pi=100\pi\).

6. Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio \(r\) ou o diâmetro \(d\).

   1. \(r=3\cm\)
   2. \(d=3k\sqrt{2}\cm\)
   3. \(r=2\sqrt{3}\cm\)
   4. \(d=9\cm\)

   Resposta 06

   1. \(r= 3\cm, A=9 pi\cm^2 \)
   2. \(d=3k\sqrt{2}\cm, A=-9k^2\pi\cm^2 \)
   3. \(r= 2\sqrt{3}\cm, A=12\pi\cm^2 \)
   4. \(d= a/2\cm, A=\frac{81}{4}\pi\cm^2 \)

7. Calcular a área da região limitada por duas circunferências concêntricas, uma com raio 10\cm e a outra com raio 6\cm.

   

   Resposta 07

   

   A região pintada de verde e sua área \(A\) é a área do círculo maior menos a área do círculo menor, assim \(A=\pi(R^2-r^2)=\pi(100-36)=64\pi\cm^2\).

8. Se os perímetros de dois círculos são proporcionais aa razão 2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos?

   Resposta 08

   A razão é 4:9

9. Qual é a área do círculo circunscrito a um triângulo equilátero cujo lado mede 18\cm?

   

   Resposta 09

   

   Na figura, \(a\) é o apótema, \(r\) é o raio e \(h\) é a altura do triângulo. Então, \(h=a+r\) e como \(18^2=h^2+9^2\), segue que \(h=\sqrt{324-81}=9\sqrt{3}\). Como \(r^2=9^2+(h-r)^2=81+h^2-2hr+r^2\), logo \(81+243-2(9)\sqrt{3} r=0\), assim \(r=6\sqrt{3}\) e \(A=\pi r^2=108\pi\cm^2\).

10. Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área do círculo menor se a área do círculo maior é \(27\pi\cm^2\)?

    Resposta 10

    \(A = 3\cm^2\)

11. Um jardim de formato circular com \(6\m\) de raio tem a metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta. Qual é a largura desta borda?

    Resposta 11

    Largura = \( (6-3\sqrt{2})\m\).

12. Um triângulo equilátero de perímetro igual a \(18\cm\) está inscrito em uma circunferência.

    

    Calcular a área da região externa ao triângulo que está no interior da circunferência.

    Resposta 12

    

    A área da região é a área \(A(C)\) do círculo menos a área \(A(T)\) do triângulo. Se \(a\) é o apótema, \(r\) é o raio e \(h\) é a altura do triângulo, então \(h=a+r\). Assim: \(6^2=h^2+3^2\), logo \(h=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}\) de onde segue que \(r^2=3^2+(h-r)^2\) e \(9+27-2(3)\sqrt{3}r=0\). Finalmentem \(r=6\sqrt{3}/3\).

    1. \(A(c) = \pi r^2=12\pi\cm^2\).
    2. \(A(T) = 6\frac{h}{2}=6(3)\sqrt{3}/2 = 9\sqrt{3}\cm^2\).
    3. \(A = A(C) - A(T) = (12\pi-9\sqrt{3})\cm^2\).

13. Mostre que no hexágono regular o raio e o lado são congruentes, isto é, têm a mesma medida.

    Resposta 13

    Dividir o hexágono em 6 triângulos com vértices no centro e mostrar que eles são equiláteros

14. Considere um hexágono regular cuja área é 48\sqrt{3}cm^2. Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.

    

    Resposta 14

    

    O círculo inscrito no hexágono tem raio igual ao seu apótema e o círculo circunscrito ao hexágono tem raio igual ao seu raio \(r\). Se \(A_1\) e \(A_2\) são as áreas dos círculos inscrito e circunscrito, respectivamente, e a razão entre as áreas é: \(\dfrac{A_1}{A_2}=\dfrac{\pi a^2}{\pi r^2}=\dfrac{a^2}{r^2}.\) A área do hexágono é \(A=3(a)L=48\sqrt{3}\). O apótema é \(a=48\sqrt{3}/3L\). Como o apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero, assim, \[a=-(L)\sqrt{3} =48\sqrt{3}/3L=-(L)\sqrt{3} L^2=\frac23(48)=32\] logo \(L=4\sqrt{2}\cm\). No hexágono regular \(L=r\) e a razão entre as áreas é:

    \[\frac{A_1}{A_2}=\frac{a^2}{r^2}=(\frac12 r\sqrt{3}/r)^2=(\sqrt{3}/2)^2=???3/4\]

15. Dado um hexágono regular com área \(48k^2\sqrt{3}\cm^2\). Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.

    Resposta 15

    A razão entre as áreas = 3/4.

16. As diagonais de um losango medem \(18\cm\) e \(24\cm\). Qual é a área do círculo inscrito neste losango?

    Resposta 16

    \(A = 11,84\pi\cm^2\)

17. Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus.

    

    Resposta 17

    Se \(A\) é a área e \(P\) é perímetro do setor circular, então

    1. \(A=\dfrac{m(AB)\pi r^2}{360}=60\pi(12^2/360)=24\pi\cm^2\)
    2. \(P=\dfrac{m(AB)2\pi r}{360}+2r=60(2)\pi(12)/360+24=(4\pi+24)\cm\)

18. Considere uma circunferência cujo raio mede \(6\cm\).

    

    Calcular:

    1. A área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus.
    2. A área do segmento circular cujo arco A mede 120 graus.

    Resposta 18

    1. A área do setor circular é: \(A=\dfrac{m(A)\pi r^2}{360}=\dfrac{120\pi 6^2}{360}=12\pi\cm^2\)
    2. A área do segmento é a área do setor menos a área do triângulo, assim, a área do triângulo é \(A=6\sqrt{3}(3)/2=9\sqrt{3}\cm^2\), e a área do segmento é \(A(s)=(12\pi-9\sqrt{3})\cm^2\).

19. Seja um triângulo equilátero cujo lado mede \(2a\). Ao traçar arcos de circunferências de raio \(a\), centrados nos três vértices do triângulo, obtemos a região colorida como a da figura em anexo. Calcular a área desta região.

    

    Resposta 19

    A área desejada é a área do triângulo menos a soma das áreas dos três setores circulares. Se \(2a\) é a medida do lado do triângulo, então, a área do triângulo é \(A_T=(2a)^2\sqrt{3}/4=a^2\sqrt{3}\). Como a área do setor circular \(A_S=60\pi\), segue que
    1. \(ZZZ^2/360=\pi.a^2/6\).
    2. \(A = a^2\sqrt{3}-3\pi a^2/6 = a^2(\sqrt{3}-\pi/2)\).

20. Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma semicircunferência de acordo com a figura ao lado.

    

    Mostrar que a soma \(S(L)\) das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a área \(A(T)\) do triângulo.

    Resposta 20

    Se \(a\) e \(b\) são os catetos, \(c\) a hipotenusa do triângulo e \(Sa\), \(Sb\) e \(Sc\) os semicírculos de raios \(a/2\), \(b/2\) e \(c/2\) respectivamente e \(T\) o triângulo. Logo:
    1. Soma das áreas brancas = \(A(Sc)-A(T)\).
    2. \(S(L) = (A(Sa)+A(Sb) - A(Sc)+A(T)\).
    3. \(A(Sc)=\pi(c/2)^2/2=\pi(a^2+b^2)/8\).
    4. \(A(T)=ab/2\).
    5. Soma das áreas brancas = \(\pi(a^2+b^2)/8-ab/2\).
    6. \(A(Sa)=\pi(a/2)^2/2=\pi a^2/8\).
    7. \(A(Sb)=\pi(b/2)^2/2=\pi b^2/8\).
    8. \(S(L) = \pi(a^2+b^2)/8-(\pi(a^2+b^2)/8-ab/2)=ab/2\).
    9. \(S(L) = A(T)\).

21. Semicircunferências são traçados sobre os lados de um quadrado cujo lado mede \(10\cm\). Calcular a área das quatro pétalas pintadas na figura ao lado.

    

    Resposta 21

    A soma das áreas dos quatro semicírculos é a área do quadrado mais a área das quatro pétalas, então a área procurada é a diferença entre a soma das áreas dos quatro semicírculos e a área do quadrado.

    \(A(Sc)=\frac12\pi(10/2)^2=\frac{25}{2}\pi\cm^2\). \(A(Q)=(10)^2=100\cm^2\).

    A área procurada é:

    \(A = (4\frac{25}{2}\pi)-100=(50\pi-100)\cm^2\).

22. Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um quadrado cujo lado mede 6\cm. Calcular a área da região pintada na figura ao lado.

    

    Resposta 22

    \(A = (27-\frac92\pi)\cm^2 \)

23. Dois círculos cujos raios medem \(4\cm\) e \(12\cm\), estão lado a lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de couro que contorna os dois círculos?

    

    Resposta 23

    

    Com a medida de \(AB\) e as medidas dos ângulos \(BED\) e \(ADE\), segue que \(DE=12+4=16\cm\) e \(CE=12-4=8\cm\). Como \(m(AB)=m(DC)\) e o triângulo retângulo \(DCE\) tem ângulo reto em \(C\), então: \((DC)^2=(DE)^2-(CE)^2\), logo \(m(O_1C)=\sqrt{256-64} =8\sqrt{3}\). \(\angle(BO_1O_2)=\arccos(8/16)=\arccos(\frac12)=60^\circ\). \(\angle(BO_1O_2)+\angle(AO_1O_2)=180^\circ\) e \(\angle(AO_1O_2)=180^\circ-60^\circ = 120^\circ\) e a medida da correia é \(m=m(EA)+AB+m(BF)\). \(m(EA)=-\pi(4)^2-m(AG)=-\pi(16)-120\pi(4^2)/360=8\pi-8/3\pi\frac{16}{3}\pi\). \(m(BF)=-\pi(12^2)-m(BF)=-\pi(144)-60\pi(12^2)/360=72\pi-24\pi=48\pi\) e a medida da correia é \(m=2(16\pi/3+8\sqrt{3}+48\pi)=(128\pi+16\sqrt{3})\cm\).

24. Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo \(3\cm\) e \(2\cm\), respectivamente, e a medida \(m(OO')=13\cm\). Se a reta \(t\) é uma tangente comum aas duas circunferências nos pontos \(A\) e \(B\), calcular a medida do segmento \(AB\).

    

    Resposta 24

    Seja a reta que passa por \(CO'\) paralela a reta tangente \(t\). O triângulo \(OO'C\) é retângulo, pois o raio da circunferência é perpendicular aa reta tangente \(t\) no ponto de tangência. Pelo teorema de Pitágoras, temos: \((CO')^2 = (OO')^2-(OC)^2\), logo \((CO')^2 = (13)^2 - 5^2 = 144\), assim \(CO' = 12\). Como \(CO'\)e \(AB\) são congruentes, segue que \(AB=12\cm\).

25. Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada semicírculo tem o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamente maior.

    

    Resposta 25

    \(A = \frac14\pi r^2\) unidades quadradas.

Atualizada por Ulysses Sodré
Londrina-PR, 29-julho-2020