Material desta página
Nas figuras seguintes, existem três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.
Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que também aumenta:
Aqui, não vamos apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.
A ideia de limite permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta. O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.
Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de \(n\) lados na circunferência à medida que o número \(n\) de lados aumenta indefinidamente.
Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número \(n\) de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.
Com base nestas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro da circunferência e o diâmetro do circulo: A razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência é uma constante
.
Sejam duas circunferências de diâmetros \(D_1\) e \(D_2\), com perímetros \(P_1\) e \(P_2\), respectivamente. A razão entre os perímetros \(P_1\) e \(P_2\) é igual à razão entre os diâmetros \(D_1\) e \(D_2\). Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo vale para a razão entre os raios \(r_1\) e \(r_2\).
Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada \(\pi\) , denotada pela letra grega \(\pi\) que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para \(\pi\) com 10 dígitos decimais é:
Área de um círculo de raio \(r\), denotada por \(A\) é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o diâmetro mede \(D=2r\). As fórmulas para a área do círculo são:
Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a \(r_1\) e \(r_2\), áreas \(A_1\) e \(A_2\) e diâmetros \(D_1\) e \(D_2\). A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.
O comprimento de um arco genérico \(AB\) pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco \(AB\) contendo vários pontos \(A=P_0\), \(P_1\), \(P_2\), \(P_3,\cdots\), \(P_{n-1}\), \(P_n=B\), formando \(n\) pequenos arcos e também \(n\) pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: \(AP_1\), \(P_1P_2,\cdots\), \(P_{n-1}B\).
A ideia aqui é tomar um número \(n\) bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.
O comprimento de um arco \(AB\) de uma circunferência de raio \(r\) é o valor limite da soma dos comprimentos destas \(n\) cordas quando \(n\) cresce indefinidamente.
Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede \(360\) graus, que corresponde a \(2\pi\) radianos. Se o raio da circunferência é \(r\), o perímetro \(P_c\) da circunferência é igual à medida do arco da mesma circunferência, dado por:
Comprimento do arco: Seja um arco \(AB\) em uma circunferência de raio \(r\) e a medida \(m\) do ângulo correspondente, tomado em graus ou em radianos.
A medida de um arco \(AB\), denotada por \(m(AB)\) pode ser obtida (em radianos) por:
Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.
Se o ângulo relativo ao arco \(AB\) mede \(m\) graus, obtemos:
logo
Se o ângulo relativo ao arco \(AB\) mede \(m\) radianos, obtemos:
assim
Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.
Usando a figura anterior, podemos extrair algumas informações:
Tomando a medida do arco \(ACB\) como \(m\) (em graus ou radianos), a área \(A(OACB)\) do setor circular \(OACB\) é obtida por:
Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco
\(AB\) mede \(m\) graus, e \(A(circ)\) é a medida da área do círculo, obtemos:
logo
Se o ângulo relativo ao arco \(AB\) mede \(m\) radianos, obtemos:
assim
Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura seguinte, existem dois segmentos circulares: o segmento \(ACB\) e o segmento \(ADB\).
A área do segmento circular \(ACB\), denotada por \(A(ACB)\) pode ser obtida subtraindo a área do triângulo \(AOB\), denotada por \(A(AOB)\) da área do setor \(OACB\), denotada por \(A(OACB)\), isto é,
A área do segmento \(ADB\) pode ser obtida subtraindo a área do segmento \(ACB\) da área do círculo ou somando a área do triângulo \(AOB\) à área do setor \(OADB\).
Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a seguinte passagem: Fez também o mar de fundição; era redondo e media dez côvados duma borda à outra, cinco côvados de altura e trinta de circunferência.
Isto sugere que os construtores da casa de Salomão usavam o valor \(3\) para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.
Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão \(p\) entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre \(3+1/7\) e \(3+10/71\), isto é,
O símbolo \(\pi\) usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.
O valor de \(\pi\) correto com \(10\) dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.
Uma vez conhecida a unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento \(\pi\) através de régua e compasso.
O número \(\pi\) exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, essencialmente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.
Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de \(\pi\) com mais de cem mil dígitos decimais.
Detalhes sobre o cálculo de \(\pi\): De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro \(P\) e a área \(A\) do círculo de raio \(r\), pelo valor limite dos perímetros \(P_c\) dos polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.
Tais relações estão na tabela seguinte com dados sobre o polígono regular dado.
Notação usada na tabela:
| NLP | PPI2r | PPC2r |
|---|---|---|
| 6 | 3,00000 | 3,46411 |
| 12 | 3,10582 | 3,21540 |
| 24 | 3,13262 | 3,15967 |
| 48 | 3,13935 | 3,14609 |
| 96 | 3,14103 | 3,14272 |
| 192 | 3,14145 | 3,14188 |
| 256 | 3,14151 | 3,14175 |
| 512 | 3,14157 | 3,14163 |
| 1024 | 3,14159 | 3,14160 |
Notamos na tabela que, quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número \(\pi\), tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de \(1024\) lados, praticamente temos \(4\) algarismos exatos.
Outro modo (bastante lento) para obter o número \(\pi\) , é realizar a soma:
A forma mais rápida conhecida (no momento da atualização desta página) para obter \(\pi\) é:
que pode ser obtida em The miraculous Bailey-Borwein-Plouffe \(\pi\) Algorithm.