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A palavra razão provém do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números \(A\) e \(B\), denotada por:
Exemplo: A razão entre \(12\) e \(3\) é igual \(4\) porque:
e a razão entre \(3\) e \(6\) é \(0,5\) pois:
A razão também pode ser escrita como a divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos \(A\) litros de suco concentrado com \(B\) litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem unidade), é a razão:
Exemplo: Tomemos as situações Sit1, Sit2, Sit3 e Sit4, apresentadas na tabela seguinte:
| Líquido | Sit1 | Sit2 | Sit3 | Sit4 |
|---|---|---|---|---|
| Suco puro | 3 | 6 | 8 | 30 |
| Água | 8 | 16 | 32 | 80 |
| Suco pronto | 11 | 22 | 40 | 110 |
Exemplo: Em uma partida de basquete um jogador faz 20 arremessos e acerta 10.
Podemos avaliar o aproveitamento desse jogador, dividindo o número de arremessos que ele acertou pelo total de arremessos, o que significa que o jogador acertou \(1\) para cada dois arremessos, o que também pode ser pensado como o acerto de \(0,5\) para cada arremesso.
Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre \(A/B\) e \(C/D\) é a igualdade:
Notas históricas: A palavra proporção provém do latim proportione que significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões. No século XV, o matemático árabe Al-Kassadi usou o símbolo \(...\) para indicar as proporções e em \(1537\), o italiano Niccola Fontana, conhecido por Tartaglia, escreveu uma proporção na forma:
Regiomontanus foi um dos matemáticos italianos que mais divulgou o uso das proporções durante o período do Renascimento.
Numa proporção \(A:B :: C:D\), ou seja
os números \(A\) e \(D\) são os extremos enquanto os números \(B\) e \(C\) são os meios e vale a propriedade: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
Exemplo: A fração \(3/4\) está em proporção com \(6/8\), pois:
Exercício: Determinar o valor de \(X\) para que a razão \(X/3\) esteja em proporção com \(4/6\).
Solução: Deve-se montar a proporção da seguinte forma:
obtendo \(X=2\).
Sejam dois segmentos \(AB\) e \(CD\), cujas medidas são dadas, respectivamente, por \(2\) cm e \(4\) cm.
Comparando os segmentos \(AB\) e \(CD\), estabelecemos uma razão entre as suas medidas:
Podemos também afirmar que \(AB\) está para \(CD\) na razão de \(1\) para \(2\) ou que \(CD\) está para \(AB\) na razão de \(2\) para \(1\).
Dois polígonos são semelhantes se possuem ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.
Exemplo: Sejam os triângulos \(ABC\) e \(RST\).
Os ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas, denotadas por: \(A\cong R\), \(B\cong S\), \(C \cong T\) e os lados correspondentes são proporcionais.
Afirmamos que os polígonos (triângulos) \(ABC\) e \(RST\) são semelhantes e indicamos isto por :
Duas figuras são semelhantes quando elas têm a mesma forma com medidas correspondentes congruentes, ou seja, quando uma é uma ampliação ou redução da outra. Isto significa que existe uma proporção constante entre elas sem ocorrência de deformação. A figura final e a figura original são chamadas figuras semelhantes.
As figuras geométricas são semelhantes quando existe uma igualdade entre as razões dos segmentos que ocupam as correspondentes posições relativas nas figuras.
Exemplo: Nos triângulos
os ângulos correspondentes possuem a mesma medida, ou seja, \(A=R\), \(B=S\) e \(C=T\) e os lados correspondentes são proporcionais.
Assim, os triângulos \(ABC\) e \(DEF\) são semelhantes e indicamos por:
Exemplo: O mapa do Brasil está em duas escalas diferentes.
Os dois mapas possuem a mesma forma mas têm tamanhos diferentes. O mapa verde é uma ampliação do mapa amarelo ou o mapa amarelo é uma redução do mapa verde.
Existem algumas razões especiais muito utilizadas em nosso cotidiano, entre as quais: velocidade média, escala, densidade demográfica e densidade de um corpo.
Velocidade Média: A velocidade média, em geral, é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida (expressa em quilômetros ou metros) e um tempo por ele gasto (expresso em horas, minutos ou segundos).
Exemplo: Suponhamos que um carro de Fórmula MAT percorreu 328 km em 2 h. Qual foi a velocidade média do veículo nesse percurso?
A partir dos dados do problema, obtemos:
o que significa que a velocidade média do veículo durante a corrida foi de 164 km/h, ou seja, para cada 1 hora percorrida o carro se deslocou 164 km.
Escala: Uma das aplicações da razão entre duas grandezas se encontra na escala de redução ou escala de ampliação, conhecidas simplesmente como escala. Chamamos de escala de um desenho à razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos medidos na mesma unidade.
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos como móveis, plantas de uma casa ou de uma cidade, fachadas de prédios, mapas, maquetes, etc.
Exemplo: Observemos as figuras dos barcos:
O barco vermelho é uma ampliação do barco azul, pois as dimensões do barco vermelho são 2 vezes maiores do que as dimensões do barco azul, ou seja, os lados correspondentes foram reduzidos à metade na mesma proporção.
Densidade Demográfica: O cálculo da densidade demográfica, também chamada de população relativa de uma região é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o numero de habitantes e a área ocupada em uma certa região.
Exemplo: Em um jogo de vôlei há 6 jogadores para cada time, o que significa 6 jogadores em cada lado da quadra. Se, por algum motivo, ocorre a expulsão de 1 jogador de um time, sendo que não pode haver substituição, observa-se que sobra mais espaço vazio para ser ocupado pelo time que tem um jogador expulso. Neste caso, afirmamos que a densidade demográfica é menor na quadra que tem um jogador expulso e maior na outra quadra.
Exemplo: Um estado brasileiro ocupa a área de \(200.000\;\text{km}^2\). De acordo com o censo realizado, o estado tem uma população aproximada de 12.000.000 hab (habitantes). Assim:
Isto significa que para cada \(1\;\text{km}^2\) existem aproximadamente 60 habitantes.
Densidade de corpos: Densidade de um corpo é mais uma aplicação de razão entre duas grandezas. Assim, a densidade (volumétrica) de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, medida em kg ou g=gramas e o seu volume, medido em \(\text{m}^3\), \(\text{dm}^3\) ou qualquer outra unidade de capacidade ou de volume.
Exemplo: Se uma estátua de bronze possui uma densidade volumétrica de \(8,75\;\text{kg}/\text{dm}^3\) então para cada \(1\text{dm}^3\) temos uma massa de \(8,75\;\text{kg}\).
Curiosidade: Pela existência de densidades diferentes, ao colocarmos corpos diferentes em um recipiente com água, alguns afundam e outros flutuam.
Uma bolinha de isopor flutua na água, mas uma de chumbo, de mesmo volume afunda. Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Algumas substâncias e suas densidades estão na tabela abaixo:
| Substância | Densidade |
|---|---|
| madeira | 0,5\(\;\text{g/cm}^3\) |
| gasolina | 0,7\(\;\text{g/cm}^3\) |
| álcool | 0,8\(\;\text{g/cm}^3\) |
| alumínio | 2,7\(\;\text{g/cm}^3\) |
| ferro | 7,8\(\;\text{g/cm}^3\) |
| mercúrio | 13,6\(\;\text{g/cm}^3\) |
Número pi: Uma razão muito importante!
Os egípcios trabalhavam muito com certas razões e descobriram a razão entre o comprimento de uma circunferência e o seu diâmetro. Este é um fato fundamental pois esta razão é a mesma para toda circunferência. O nome desta razão é pi e seu valor é aproximadamente:
Exemplo: Se \(C\) é o comprimento da circunferência e \(D\) a medida do diâmetro da circunferência, temos uma razão notável:
significando que
Exemplo: Se a medida do raio de uma circunferência tem 1,5 cm então o perímetro da circunferência é igual a 9,43 cm.