Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Material desta página

1 Relação entre números racionais e frações

Um número racional pode ser escrito na forma

onde \(m\) e \(n\) são números inteiros, sendo \(n\neq 0\), isto é, \(n\) deve ser diferente de zero. Comumente usamos \(m/n\) para significar a divisão de \(m\) por \(n\). Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como \(q\) para entender que este número é um número racional.

Observamos que os números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, motivo pelo qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado pela letra \(Q\) de quociente. Assim, é comum lermos na literatura a notação:

Quando há interesse, usamos \(Q+\) para entender o conjunto dos números racionais positivos e \(Q-\) para o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.

2 Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:

onde \(m\), \(n\) e \(p\) são números inteiros, sendo que o algarismo \(p\) se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: \(\cdots\) após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra sob o período ou o período dentro de parênteses, que usamos, para facilidade de escrita na montagem desta página.

Exemplos: Dízimas periódicas

1. \(0,3333333\cdots = 0,(3)\);
2. \(1,6666666\cdots = 1,(6)\);
3. \(12,121212\cdots = 12,(12)\);
4. \(0,9999999\cdots = 0,(9)\);
5. \(7,1333333\cdots = 7,1(3)\).

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

1. \(0,333333\cdots = 0,(3) = 0,(3)\);
2. \(3,636363\cdots = 3,(63) = 3,(63)\).

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

1. \(0,83333333\cdots = 0,8(3)\);
2. \(0,72535353\cdots = 0,72(53)\).

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

1. \(0,3333\cdots= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +\cdots\)
2. \(0,8333\cdots= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + \cdots\)
3. \(4,7855\cdots= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + \cdots\)

3 Conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas em um estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar no estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

4 A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual é a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica.

Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais.

Para mostrar como funciona o método, utilizamos vários exemplos numéricos.

Tipo 1: Seja \(S\) a dízima periódica \(0,3333333\cdots\), isto é, \(S=0,(3)\). Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

Multiplicando esta soma infinita por \(10^1=10\) (o período tem \(1\) algarismo), obtemos:

Observe que a soma que está em colchetes é \(S\), assim podemos escrever:

donde segue que

Simplificando, obtemos:

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

Tipo 2: Vamos tomar agora a dízima periódica \(T=0,313131\cdots\), isto é, \(T=0,(31)\). O período tem agora \(2\) algarismos. Vamos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

O produto desta soma infinita por \(10^2=100\) (o período tem \(2\) algarismos), gera:

Observe que a expressãp em colchetes é igual a \(T\), logo:

de onde segue que

e simplificando, obtemos

Tipo 3: Um terceiro tipo de dízima periódica é \(T=7,1888\cdots\), isto é, \(T=7,1(8)\). Observe que existe um número com \(1\) algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também \(1\) algarismo. Escrevemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

Manipule a soma infinita como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

Multiplique agora a soma infinita por 10^1=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

São iguais as expressões \(A\) e \(B\). Realize a diferença membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

Assim:

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

Obtemos então:

Tipo 4: Outra dízima periódica é \(T=7,004004004\cdots\), ou seja, \(U=7,(004)\). O período tem \(3\) algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decompomos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

Manipule a soma infinita como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

Multiplique agora a soma infinita por \(10^3=1000\) (o período tem \(3\) algarismos), para obter:

São iguais as duas últimas expressões! Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

Assim:

Obtemos então

que pode ser escrita na forma:

5 Números irracionais

Um número real é irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo: O número real

é um número irracional, embora seja semelhante a uma dízima periódica. O número de zeros após o algarismo \(1\) aumenta a cada passo.

Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

que são usados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 m. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de \(2\), denotada por \(\sqrt{2}\;\text{m}\).

6 Representação, ordem e simetria dos racionais

O conjunto \(Q\) dos números racionais pode ser representado geometricamente por uma reta numerada. Consideramos o número \(0\) como a origem e o número \(1\) em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre \(0\) e \(1\) e colocamos os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Isto é adotado por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Um número racional \(r\) é menor do que outro número racional \(s\) se a diferença \(r-s\) é positiva. Quando esta diferença \(r-s\) é negativa, dizemos que o número \(r\) é maior do que \(s\). Para indicar que \(r\) é menor do que \(s\), e escrevemos:

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.

Todo número racional \(q\), possui um elemento denominado simétrico ou oposto \(-q\) e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto \(q\) como \(-q\) estão à mesma distância da origem do conjunto \(Q\) que é \(0\). Como exemplo, temos que:

1. O oposto de \(0\) é \(-0=0\).
2. O oposto de \(3/4\) é \(-3/4\).
3. O oposto de \(5\) é \(-5\).

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho localizado na origem. A distância do ponto real \(q\) ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual \(-q\) ao espelho.

7 Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional \(q\) é maior valor (máximo) entre o número \(q\) e seu oposto \(-q\), denotado pelo uso de duas barras verticais \(|\;\;|\), por:

Exemplos: \(|0|=0\), \(|2/7|=2/7\) e \(|-6/7|=6/7\).

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional \(q\) é a distância comum do ponto \(q\) até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto \(-q\) à origem, na reta numérica racional.

8 Soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais \(a/b\) e \(c/d\), da mesma forma que a soma de frações, através de:

9 Propriedades da soma de números racionais

1. Fecho: O conjunto \(Q\) é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.
2. Associativa: Para quaisquer \(a,b,c\in Q\):
   \[a+(b+c) = (a+b)+c\]
3. Comutativa: Para quaisquer \(a,b\in Q\):
   \[a + b = b + a\]
4. Elemento neutro: Existe \(0\in Q\), que adicionado a todo \(q\in Q\), proporciona o próprio \(q\), isto é:
   \[q + 0 = q\]
5. Elemento oposto: Para cada \(q\in Q\), existe \(-q\in Q\), tal que
   \[q + (-q) = 0\]
6. Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais \(p\) e \(q\) é a própria operação de adição do número \(p\) com o oposto de \(q\), isto é:
   \[p - q = p + (-q)\]
   Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

10 Produto (multiplicação) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais \(a/b\) e \(c/d\), da mesma forma que o produto de frações, através de:

O produto dos números racionais \(a\) e \(b\) também pode ser indicado por \(a{\times}b\), \(a.b\) ou ainda \(ab\) sem qualquer sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

1. \((+1){\times}(+1)=(+1)\)
2. \((+1){\times}(-1)=(-1)\)
3. \((-1){\times}(+1)=(-1)\)
4. \((-1){\times}(-1)=(+1)\)

Assim, podemos concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, e o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

11 Propriedades do produto de números racionais

1. Fecho: O conjunto \(Q\) é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.
2. Associativa: Para quaisquer \(a,b,c\in Q\):
   \[a{\times}( b{\times}c ) = ( a{\times}b ){\times}c\]
3. Comutativa: Para quaisquer \(a,b\in Q\):
   \[a{\times}b = b{\times}a\]
4. Elemento neutro: Existe \(1\in Q\), que multiplicado por todo \(q\in Q\), produz o próprio \(q\), isto é:
   \[q{\times}1 = q\]
5. Elemento inverso: Para cada \(q=a/b\in Q\), \(q\neq 0\), existe \(q^{-1}=b/a\in Q\), tal que
   \[q{\times}q^{-1} = 1\]
   Esta última propriedade pode ser escrita como:
   \[\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1\]
6. Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais \(p\) e \(q\) é a multiplicação do número \(p\) pelo inverso de \(q\), isto é:
   \[p \div q = p{\times}q^{-1}\]

Talvez você já tenha sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma \(a/b\) por outra da forma \(c/d\) é o produto da primeira pelo inverso da segunda? A divisão de números racionais esclarece a questão:

Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.

12 Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para quaisquer \(a,b,c\in Q\):

13 Potenciação de números racionais

A potência \(q^n\) do número racional \(q\) é um produto de \(n\) fatores iguais a \(q\). O número \(q\) é denominado a base e \(n\) é o expoente.

Exemplos:

1. \((2/5)^3 =(2/5) (2/5){\times}(2/5) = 8/125\)
2. \((-1/2)^3=(-1/2){\times}(-1/2){\times}(-1/2) = -1/8\)
3. \((-5)^2 =(-5){\times}(-5) = 25\)
4. \((+5)^2 =(+5){\times}(+5) = 25\)

Nota: Se o expoente é \(n=2\), a potência \(q^2\) pode ser lida como: \(q\) elevado ao quadrado e se o expoente é \(n=3\), a potência \(q^3\) pode ser lida como: \(q\) elevado ao cubo. Isto provém do fato que área do quadrado pode ser obtida por \(A=q^2\) onde \(q\) é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por \(V=q^3\) onde \(q\) é a medida da aresta do cubo.

14 Raízes de números racionais

A raiz \(n\)-ésima (raiz de ordem \(n\)) de um número racional \(q\) é a operação para obter um outro número racional \(r\) que elevado à potência \(n\) fornece o número \(q\). O número \(n\) é o índice da raiz enquanto que o número \(q\) é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical). A notação é:

A raiz quadrada (raiz de ordem \(2\)) de um número racional \(q\) é a operação que obtém um outro número racional \(r\geq 0\) que elevado ao quadrado seja igual ao número \(q\), isto é, \(r^2=q\).

Nota: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo é estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.

Exemplos:

1. \(\sqrt[3]{125} = 5\) pois \(5^3=125\).
2. \(\sqrt[3]{-125} = -5\) pois \((-5)^3=-125\).
3. \(\sqrt{144} = 12\) pois \(12^2=144\).
4. \(\sqrt{144}\) não é igual a \(-12\) embora \((-12)^2=144\).

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de]a expressão:

mas isto está errado. O certo é:

pois não existe um número racional \(q < 0\) que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem \(3\)) de um número racional \(q\) é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número \(q\). Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

1. \(\sqrt[3]{8} =+2\), pois \(2^3 = 8\).
2. \(\sqrt[3]{-8} =-2\), pois \((-2)^3 = -8\).
3. \(\sqrt[3]{27} =+3\), pois \(3^3 = 27\).
4. \(\sqrt[3]{-27}=-3\), pois \((-3)^3 = -27\).

Nota: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

1. Se o índice \(n\) da raiz é par, não existe raiz de número racional negativo.
2. Se o índice \(n\) da raiz é ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional, positivo ou negativo.

15 Média aritmética e média ponderada

Média aritmética: Sejam \(n\) números racionais: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3,\cdots\), \(x_n.\) A média aritmética entre esses \(n\) números é a soma dos mesmos dividida por \(n\), isto é:

Exemplo: Se um grupo de \(7\) pessoas tem as idades: \(12,54,67,15,84,24,38\), então a idade média do grupo é calculada pela média aritmética:

o que significa que a idade média é de \(42\) anos.

Média aritmética ponderada: Seja uma coleção de \(n\) números racionais: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3,\cdots\), \(x_n\), de modo que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: \(p_1\), \(p_2\), \(p_3,\cdots\), \(p_n\). A média aritmética ponderada desses \(n\) números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida pela soma dos seus pesos, isto é:

Exemplo: Um grupo de \(64\) pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

• 12 pessoas ganham $50,00;
• 10 pessoas ganham $60,00;
• 20 pessoas ganham $25,00;
• 15 pessoas ganham $90,00;
• 7 pessoas ganham $120,00.

Para calcular a média salarial diária de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

16 Médias geométrica e harmônica

Média geométrica: Seja uma coleção de \(n\) números racionais não negativos: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3,\cdots\), \(x_n.\) A média geométrica entre esses \(n\) números é a raiz \(n\)-ésima do produto entre esses números, isto é:

Exemplo: A média geométrica entre os números \(12\), \(64\), \(126\) e \(345\), é obtida por:

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a \(64\;\text{cm}^2\), qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento \(a\) e da largura \(b\), uma vez que \(ab=64\).

A média geométrica \(G\) entre \(a\) e \(b\) fornece a medida desejada.

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadradom cujo perímetro mede p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos são diferentes das alturas, mas obtemos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

1. Considere \(AB\) e \(BC\) segmentos de reta.
2. Trace um segmento de reta horizontal contendo estes segmentos e a junção dos segmentos \(AB\) e \(BC\), de modo que eles formam segmentos justapostos sobre a mesma reta.
3. Dessa junção aparece um novo segmento \(AC\).
4. Obtenha o ponto médio \(O\) deste segmento e com um compasso centrado em \(O\) e raio \(OA\), trace uma semi-circunferencia começando em \(A\) e terminando em \(C\).
5. O segmento vertical \(BD\) deve ser traçado perpendicular ao segmento \(AC\).
6. A medida do segmento \(BD\) é a média geométrica das medidas dos segmentos \(AB\) e \(BC\). O ponto D pertence à semi-circunferência.

Média harmônica: Seja uma coleção de \(n\) números racionais positivos: \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(\cdots\), \(x_n.\) A média harmônica \(H\) entre esses \(n\) números é a divisão de \(n\) pela soma dos inversos desses \(n\) números:

Aplicações práticas: Para os interessados por aplicações do conceito de harmonia, média harmônica e harmônico global, visite o nosso link Harmonia.