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A função quadrática \(f:R\to R\) é definida por
onde \(a\), \(b\) e \(c\) são constantes reais, tendo domínio \(\text{Dom}(f)=R\) e imagem \(\text{Im}(f)=R\). Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, pois a expressão
é uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Dentre muitas aplicações da parábola, as mais importantes são:
Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo de simetria que contém o foco e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
Consideremos que um satélite artificial está colocado em uma órbita geoestacionária, contendo uma antena parabólica instalada. Um conjunto de ondas eletromagnéticas pode ser emitida da Terra e estas ondas podem ser captadas por esta antena.
Quando o feixe de ondas eletromagnéticas atinge esta antena com formato parabólico, ocorre a reflexão desses raios para um único lugar, denominado o foco da parábola.
Nesse foco fica um aparelho receptor que converte tais ondas em um sinal que a sua TV pode transformar em imagens, que podem ser: filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente em sua TV.
Os radares usam as propriedades óticas da parábola, que são similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.
Ao lançar um objeto (dardo, pedra, tiro de canhão, etc) no espaço visando a alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, desde que consideremos que a resistência do ar não existe ou é muito pequena.
É possível demonstrrar que este ângulo de lançamento para obter o maior alcance horizontal mede \(45\) graus.
O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola (boca aberta). Se \(a>0\) então a concavidade está voltada para cima e se \(a<0\) está voltada para baixo.
Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função \(f(x)=x^2+2x-3\), pode ser vista no desenho.
O modo de construir esta parábola é atribuir valores para \(x\) e obter os respectivos valores para \(f(x)\). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar:
Como \(a>0\), a concavidade (boca) da nossa parábola está voltada para cima.
Exemplo: Construir a parábola \(f(x)=-x^2+2x-3\). 
Este exemplo é análogo ao anterior, mas neste caso \(a<0\), logo a sua concavidade será voltada para baixo. A diferença entre esta parábola e a do exemplo anterior é que, houve a mudança do sinal do coeficiente do termo dominante. A construção da tabela nos dá:
O discriminante da função quadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\), denotado por \(\Delta\) é definido por
Podemos construir uma relação entre o sinal do discriminante e o sinal do coeficiente \(a\) do termo dominante da função quadrática.
Nota: Se \(a>0\) a concavidade da parábola (boca) está voltada para cima e se \(a<0\), a concavidade da parábola (boca) está voltada para baixo.
Alguns casos particulares das situações apresentadas acima.
Exercícios: Construir o gráfico cartesiano de cada uma das funções apresentadas na última lista.
Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.
Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.
Solução: Se \(x\) é a medida do comprimento e \(y\) é a medida da largura, a área é dada por: \(A(x,y)=xy\), mas o perímetro mede \(2x+2y=36\) ou seja \(x+y=18\), assim:
Esta parábola corta o eixo \(OX\) nos pontos \(x=0\) e \(x=18\) e o ponto de máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre \(x=0\) e \(x=18\), logo, o ponto de máximo desta curva ocorre em \(x=9\). Este não é um retângulo qualquer mas é um quadrado pois \(x=y=9\operatorname{m}\) e a área máxima é \(A=81\;\text{m}^2\).