Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

Aplicações das razões e proporções

Ulysses Sodré

Material desta página

1 Proporções com números
2 Propriedades das proporções
3 Grandezas Diretamente Proporcionais
4 Grandezas Inversamente Proporcionais
5 Elementos históricos sobre a Regra de três
6 Regra de três simples direta
7 Regra de três simples inversa
8 Regra de três composta
9 Porcentagem
10 Juros Simples

1 Proporções com números

Quatro números racionais \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) diferentes de zero, nessa ordem, formam uma proporção quando:

\[\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\]

Os números A, B, C e D são denominados termos
Os números A e B são os dois primeiros termos
Os números C e D são os dois últimos termos
Os números A e C são os antecedentes
Os números B e D são os consequentes
A e D são os extremos
B e C são os meios

Nota: A divisão entre A e B e a divisão entre C e D, é uma constante \(K\) denominada constante de proporcionalidade dessa razão.

2 Propriedades das proporções

Para a proporção

\[\frac{A}{B} = \frac{C}{D}\]

valem as seguintes propriedades:

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é:
\[A{\times}D = B{\times}C \]
A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro termo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro termo, isto é:
\[\frac{A+B}{A} = \frac{C+D}{C}\]
A diferença dos dois primeiros termos está para o segundo termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o quarto termo:
\[\frac{A-B}{B} = \frac{C-D}{D}\]
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:
\[\frac{A+C}{B+D} = \frac{A}{B} = \frac{C}{D}\]
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é:
\[\frac{A-C}{B-D} = \frac{A}{B} = \frac{C}{D}\]

3 Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma proporção.

Se duas grandezas \(X\) e \(Y\) são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão, isto é, existe uma constante \(K\) tal que:

\[X = K \cdot Y\]

Exemplo 1: Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água. A cada 15 minutos é medida a altura do nível de água. (cm=centímetros e min=minutos) Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:

Tempo (minutos)	Altura (cm)
15	50
30	100
45	150

Quando duplica o intervalo de tempo, a altura do nível da água também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do nível da água também é triplicada.

Notas: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

Se o intervalo de tempo passa de 15 min para 30 min, dizemos que o tempo varia na razão \(15/30\), enquanto que a altura da água varia de 50 cm para 100 cm, ou seja, a altura varia na razão \(50/100\). Estas duas razões são iguais:
\[\frac{15}{30} = \frac{50}{100} = \frac12\]
Se o intervalo de tempo varia de \(15\) min para \(45\) min, a altura varia de \(50\) cm para \(150\) cm. Nesse caso, o tempo varia na razão \(15/45\) e a altura na razão \(50/150\). Estas razões são iguais:
\[\frac{15}{45} = \frac{50}{150} = \frac13\]

Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que a torneira fica aberta e o valor numérico da altura atingida pela água é sempre igual, assim dizemos então que a altura do nível da água é diretamente proporcional ao tempo que a torneira ficou aberta.

Exemplo 2: Em média, um automóvel percorre 80 km em 1 h, 160 km em 2 hs e 240 km em 3 h. (km=quilômetro, h=hora). Construímos uma tabela da situação:

Distância (km)	Tempo (h)
80	1
160	2
240	3

Quando duplica o intervalo de tempo, duplica também a distância percorrida e quando o intervalo de tempo é triplicado, a distância também é triplicada, ou seja, quando o intervalo de tempo aumenta, a distância percorrida também aumenta na mesma proporção.

Notas: Usando razões e proporções, podemos descrever essa situação de outro modo.

Se o intervalo de tempo aumenta de \(1\operatorname{h}\) para \(2\operatorname{h}\), a distância percorrida varia de \(80\operatorname{km}\) para \(160\operatorname{km}\), ou seja, o tempo varia na razão de \(1/2\) e a distância percorrida varia na razão \(80/160\). Assim temos que tais razões são iguais, isto é:
\[\frac12 = \frac{80}{160} = \frac13\]
Se o intervalo de tempo varia de \(2\operatorname{h}\) para \(3\operatorname{h}\), a distância percorrida varia de \(160\operatorname{km}\) para \(240\operatorname{km}\). Agora, o tempo varia na razão \(2/3\) e a distância percorrida na razão \(160/240\) e notaamos que essas razões são iguais, isto é:
\[\frac23 = \frac{160}{240} = \frac13\]

Concluímos que o tempo gasto e a distância percorrida, variam sempre na mesma razão e isto significa que a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo gasto para percorrê-la, se a velocidade média do automóvel se mantiver constante.

4 Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grandezas X e Y são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante \(K\) tal que:

\[X= \frac{K}{Y}\]

Exemplos 1: A professora de um colégio, tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores alunos, dando a mesma quantidade de livros para cada aluno.

o melhor aluno receberá 24 livros
cada um dos 2 melhores alunos receberá 12 livros
cada um dos 3 melhores alunos receberá 8 livros
cada um dos 4 melhores alunos receberá 6 livros
cada um dos 6 melhores alunos receberá 4 livros

Escolhidos	Número de livros
1	24
2	12
3	8
4	6
6	4

Pela tabela, a quantidade de alunos escolhidos e o número de livros que cada aluno receberá, são grandezas que variam sendo que uma depende da outra e se relacionam da seguinte forma:

Se o número de alunos dobra, o número de livros que cada um vai receber cai para a metade.
Se o número de alunos triplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a terça parte.
Se o número de alunos quadruplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a quarta parte.
Se o número de alunos sextuplica, o número de livros que cada aluno vai receber cai para a sexta parte.

Sob estas condições, as grandezas envolvidas (número de alunos escolhidos e número de livros distribuídos) são grandezas inversamente proporcionais.

Quando a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 4, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 6.

Estas razões não são iguais, mas inversas:

\[\frac24 = \frac1{\frac{12}6} = \frac12 \quad \text{e} \quad \frac{12}{6} = \frac1{\frac24}=2\]

Se a quantidade de alunos varia na razão de 2 para 6, a quantidade de livros distribuídos varia de 12 para 4, e notamos que essas razões não são iguais, mas inversas:

\[\frac26 = \frac1{\frac{12}4} \quad \text{e} \quad \frac{12}4 = \frac1{\frac26}\]

Representamos tais grandezas inversamente proporcionais com a função \(f(x)=\frac{24}{x}\), apresentada no gráfico

Exemplo 2: Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a \(120\operatorname{km}\) da primeira. Se o percurso é realizado em:

em 1 hora, a velocidade média é 120 km/h
em 2 horas, a velocidade média é 60 km/h
em 3 horas, a velocidade média é 40 km/h

A unidade é km/h = quilômetros por hora e uma tabela da situação é:

Velocidade (km/h)	Tempo (h)
120	1
60	2
40	3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 h com velocidade média de 120 km/h. Quando diminui a velocidade para a metade, ou seja 60 km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 40 km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica.

Para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.

5 Elementos históricos sobre a Regra de três

Embora os gregos e os romanos conhecessem as proporções, não chegaram a aplicá-las na resolução de problemas. Na Idade Média, os árabes revelaram ao mundo a Regra de Três. No século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abaci (O livro do ábaco), com o nome de Regra dos três números conhecidos.

6 Regra de três simples direta

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.

Para resolver problemas, tomamos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.

\[\frac{X}{Y} = K \quad \text{e} \quad \frac{W}{Z}= K\]

assim

\[\frac{X}{Y} = \frac{W}{Z}\]

Exemplo: Na extremidade de uma mola (teórica!) colocada verticalmente, foi pendurado um corpo com a massa de 10 kg e ocorreu um deslocamento no comprimento da mola de 54 cm. Se colocarmos um corpo com 15 kg de massa na extremidade dessa mola, qual será o deslocamento na medida da mola? (kg=quilograma e cm=centímetro).

Representamos pela letra X a medida procurada. De acordo com os dados do problema, temos a tabela:

Massa (kg)	Deslocamento (cm)
10	54
15	X

As grandezas envolvidas: massa e deslocamento, são diretamente proporcionais. Conhecidos três dos valores no problema, podemos obter o quarto valor X, e, pelos dados da tabela, montamos a proporção:

\[\frac{10}{15} = \frac{54}{X}\]

Os números 10 e 15 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela e os números 54 e X também aparecem na mesma ordem direta que na tabela anterior e desse modo \(10{\times}X=15{\times}54\), logo \(10X=810\), assim X=81 e o deslocamento da mola será de \(81\operatorname{cm}\).

7 Regra de três simples inversa

Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

Na resolução de problemas, sejam duas grandezas inversamente proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente proporcionais C e D de modo que tenham a mesma constante de proporcionalidade K, isto é:

\[A{\times}B = K \qquad \text{e} \qquad C{\times}D = K\]

Assim

\[A{\times}B = C{\times}D\]

logo

\[\frac{A}{C} = \frac{D}{B}\]

Exemplo: Ao participar de um treino de Fórmula U, um corredor usando a velocidade média de 180 km/h fez um certo percurso em 20 s. Se a sua velocidade média fosse de 200 km/h, qual seria o tempo gasto no mesmo percurso? (km/h = quilômetro por hora, s = segundo). Tomamos o tempo procurado pela letra T. De acordo com os dados do problema, temos a tabela:

Velocidade (km/h)	Tempo (s)
180	20
200	T

Relacionamos grandezas inversamente proporcionais: velocidade e tempo em um mesmo espaço percorrido. Conhecidos três valores, podemos obter um quarto valor T.

\[\frac{180}{200} = \frac{T}{20}\]

Os números 180 e 200 aparecem na mesma ordem que apareceram na tabela, enquanto que os números 20 e T aparecem na ordem inversa da ordem que apareceram na tabela acima.

Assim \(180{\times}20=200{\times}X\), de onde segue que \(200X=3600\), logo \(X=\frac{3600}{200}=18\). Se a velocidade do corredor for de \(200\operatorname{km}/\operatorname{h}\) ele gastará \(18\s\) para realizar o mesmo percurso.

8 Regra de três composta

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações.

Um método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

Se A1, B1, C1, D1, E1,\(\cdots\), são os valores associados às grandezas para uma primeira situação e A2, B2, C2, D2, E2, \(\cdots\) são os valores respectivamente associados às grandezas para uma segunda situação, montamos a tabela abaixo lembrando que estamos interessados em obter o valor numérico para uma das grandezas, digamos Z2 se conhecemos o correspondente valor numérico Z1 e todas as medidas das outras grandezas.

Situação	GrA	GrB	GrC	GrD	GrE	\(\cdots\)	GrZ
1	A1	B1	C1	D1	E1	\(\cdots\)	Z1
2	A2	B2	C2	D2	E2	\(\cdots\)	Z2

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, resolvemos a proporção:

\[\frac{Z1}{Z2} = \frac{A1{\times}B1{\times}C1{\times}D1{\times}E1 {\times}F1...}{A2{\times}B2{\times}C2{\times}D2{\times}E2{\times}F2...}\]

Quando todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza Z, MAS a grandeza B é inversamente proporcional à grandeza Z, resolvemos a proporção com B1 trocada de posição com B2:

\[\frac{Z1}{Z2} = \frac{A1{\times}\fbox{B2}{\times}C1{\times}D1{\times}E1{\times} F1...}{A2{\times}\fbox{B1}{\times}C2{\times}D2{\times}E2{\times}F2...}\]

As grandezas que forem diretamente proporcionais à grandeza Z são indicadas na mesma ordem (direta) que aparecem na tabela enquanto que as grandezas que forem inversamente proporcionais à grandeza Z aparecem na ordem inversa daquela que apareceram na tabela.

Se na regra de três composta, temos informaçõers das grandezas: A, B, C, D e Z, sendo que a grandeza A e a grandeza C são diretamente proporcionais à grandeza Z e as grandezas B e D são inversamente proporcionais à grandeza Z, devemos resolver a proporção:

\[\frac{Z1}{Z2} = \frac{A1{\times}\fbox{B2}{\times}C1{\times} \fbox{D2}}{A2{\times}\fbox{B1}{\times}C2{\times}\fbox{D1}}\]

Nota: O problema difícil é analisar de um ponto de vista lógico quais grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Como é muito difícil realizar esta análise de um ponto de vista geral, apresentamos alguns exemplos para entender o funcionamento da situação.

Exemplo 1: Funcionando durante 6 dias, 5 máquinas produzem 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria serão produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se essas máquinas funcionarem por 9 dias?

Vamos representar o número de peças pela letra \(X\). De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

No.de máquinas (A)	No.de dias (B)	No.de peças (C)
5	6	400
7	9	X

A grandeza C serve de referência para as outras grandezas. Analisamos se as grandezas A e B são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de peças. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Vamos considerar as grandezas Número de peças e Número de máquinas. Fazemos uso de lógica para constatar que se tivermos mais máquinas operando produziremos mais peças e se tivermos menos máquinas operando produziremos menos peças, assim, estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Vamos agora considerar as grandezas Número de peças e Número de dias. De novo, devemos usar a lógica para constatar que se tivermos maior número de dias produziremos maior número de peças e se tivermos menor número de dias produziremos menor número de peças. Assim temos que estas duas grandezas também são diretamente proporcionais.

Concluímos que todas as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, logo, basta resolver a proporção:

\[ \frac{400}{x} = \frac{5{\times}6}{7{\times}9}\]

que pode ser posta na forma

\[ \frac{400}{x} = \frac{30}{63}\]

Resolvendo a proporção, obtemos X=840, assim, se as 7 máquinas funcionarem durante 9 dias serão produzidas 840 peças.

Exemplo 2: Um motociclista, rodando \(4\operatorname{h}\) por dia, percorre em média \(200\operatorname{km}\) em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista percorrerá \(500\operatorname{km}\), se rodar 5 horas por dia? (\(\operatorname{km}\)=quilômetro).

Vamos representar o número de dias procurado pela letra X. De acordo com os dados do problema, vamos organizar a tabela:

km (A)	horas/dia (B)	No.de dias} (C)
200	4	2
500	5	X

A grandeza C serve como referência para as outras grandezas. Vamos analisar se as grandezas A e B são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais à grandeza C que representa o Número de dias. Tal análise deve ser feita de uma forma independente para cada par de grandezas.

Consideremos as grandezas Número de dias e Quilômetros. Usamos a lógica para constatar que se rodarmos maior número de dias, percorreremos maior quilometragem e se rodarmos menor número de dias percorreremos menor quilometragem, logo, estas duas grandezas são diretamente proporcionais.

Na outra análise, vamos agora considerar as grandezas Número de dias e Horas por dia. Verificamos que para realizar o mesmo percurso, se tivermos maior número de dias usaremos menor número de horas por dia e se tivermos menor número de dias necessitaremos maior número de horas para o mesmo percurso. Assim, estas duas grandezas são inversamente proporcionais e desse modo:

\[\frac2{X} = \frac{200{\times}5}{500{\times}4}\]

que pode ser escrita na forma

\[\frac2{X} = \frac{1000}{2000}\]

Resolvendo esta proporção, obtemos X=4, significando que para percorrer \(500\operatorname{km}\), rodando \(5\operatorname{h}\) por dia, o motociclista gastará 4 dias.

9 Porcentagem

Praticamente todos os dias, vemos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento provém do Latim per centum que significa por cem. Toda razão da forma \(a/b\) na qual o denominador b=100, é denominada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem.

Historicamente, a expressão por cento aparece nas principais obras de aritmética de autores italianos do século XV. O símbolo \(\%\) surgiu como uma abreviatura da palavra cento utilizada nas operações mercantis.

Para indicar um índice de 10 por cento, escrevemos \(10\%\) e isto significa que em cada 100 unidades de algo, tomamos 10 unidades. \(10\%\) de 80 pode ser obtido como o produto de \(10\%\) por 80, isto é:

\[P = 10\%{\times}80 = \frac{10}{100}{\times}80=\frac{800}{100}=8\]

Em geral, para indicar um índice de \(M\) por cento, escrevemos \(M\%\) e para calcular \(M\%\) de um número \(N\), realizamos o produto:

\[P = M\%{\times}N = \frac{M}{100}{\times}N = \frac{M{\times}N}{100}\]

Exemplo 1: Um fichário contém 25 fichas numeradas, sendo que \(52\%\) dessas fichas estão etiquetadas com um número par. Quantas fichas possuem etiquetas com números pares? Quantas fichas possuem etiquetas com números ímpares?

\[P = 52\% \text{ de } 25 = 52\%{\times}25 = \frac{52 {\times}25}{100} = 13\]

Este fichário contém 13 fichas etiquetadas com números pares e 12 fichas com números ímpares.

Exemplo 2: Num torneio de basquete, uma certa seleção disputou 4 partidas na primeira fase e venceu 3. Qual a porcentagem de vitórias obtida por essa seleção nessa fase? Vamos indicar por \(X\%\) o número que representa essa porcentagem. O problema pode ser expresso como \(X\% \text{ de } 4=3\), assim:

\[\frac{X}{100}{\times}4 = 3\]

Na primeira fase a porcentagem de vitórias foi de \(75\%\), pois a equação anterior fornece: X=75.

Exemplo 3: Em um indústria há 255 empregadas, que corresponde a \(42,5\%\) do total de empregados da empresa. Quantas pessoas trabalham nesse local? Quantos empregados trabalham nessa indústria?

Vamos indicar por X o número total de empregados da indústria. Esse problema pode ser representado por: \(42,5\%\) de \(X = 255\), assim

\[42,5\%{\times}X = 255\]

que pode ser escrito como

\[\frac{42,5}{100} X = 255\]

ou seja

\[42,5 X = 25500\]

logo

\[X = \frac{25500}{42,5} = \frac{255000}{425} = 600\]

Nessa indústria trabalham 600 pessoas, sendo 345 homens.

Exemplo 4: Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de \(8\%\) sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei 690,00 pela mercadoria, qual é o preço original da mercadoria?

Seja X o preço original da mercadoria. Se obtive \(8\%\) de desconto sobre o preço da etiqueta, o preço pago representa

\[100\%-8\%=92\%\]

do preço original, isto é, \(92\%\) de \(X = 690\), logo

\[\frac{92}{100}{\times}X = 690\]

ou seja

\[\frac{92X}{100} = \frac{690}1\]

assim

\[X = \frac{69000}{92}=750\]

O preço original da mercadoria foi de 750,00.

10 Juros Simples

Juro é toda compensação em dinheiro que se paga ou se recebe pela quantia em dinheiro que se empresta ou que é emprestada em função de uma taxa e do tempo. Quando falamos em juros, devemos considerar:

O dinheiro que se empresta (ou se pede emprestado) é chamado capital.
A taxa de porcentagem que se paga (ou se recebe) pelo aluguel do dinheiro é denominada taxa de juros.
O tempo deve sempre ser indicado na mesma unidade a que está submetida a taxa, e em caso contrário, deve-se realizar a conversão para que tanto a taxa como a unidade de tempo estejam compatíveis, isto é, estejam na mesma unidade.
O total pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os juros, é denominado montante.

Para calcular os juros simples \(j\) de um capital \(C\), durante \(t\) períodos com a taxa de \(i\%\) ao período, basta usar a fórmula:

\[j = \frac{C{\times}i{\times}t}{100} = \frac{C i t}{100}\]

Exemplo 1: Um aparelho custa à vista 450,00. A loja oferece este aparelho para pagamento em 5 prestações mensais e iguais, mas o preço passa a ser de 652,00. Se a diferença entre o preço à prazo e o preço à vista é devida aos juros simples cobrados pela loja nesse período, qual é a taxa mensal de juros simples cobrada por essa loja?

A diferença entre os preços dados pela loja é:

\[652,00-450,00 = 202,50\]

A quantia mensal que deve ser paga de juros é \(\frac{202,50}5=40,50\).

Se \(X\%\) é a taxa mensal de juros simples, então esse problema pode ser resolvido da seguinte forma:

\begin{align} X\% \text{ de } 450,00 & = 40,50 \\ \frac{X}{100}{\times}450,00 & = 40,50 \\ \frac{450X}{100} & = 40,50 \\ 450 X & = 4050 \\ X & = \frac{4050}{450} = 9 \end{align}

A taxa de juros simples é de \(9\%\) ao mês.

Exemplo 2: Uma aplicação feita por 2 meses à taxa de \(3\%\) ao mês, rendeu juros simples de 1.920,00. Qual foi o capital aplicado?

O capital aplicado C rendeu mensalmente de juros foi de: \(\frac{1920,00}2=960,00\). Este problema pode ser expresso por:

\begin{align} 3\% \text{ de } C & = 960,00 \\ \frac3{100} C & = 960,00 \\ \frac{3C}{100} & = 960,00 \\ 3C & = 96000 \\ C & = \frac{96000}3 = 32000,00 \end{align}

O capital aplicado foi de 32.000,00.