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Nas figuras que seguem, apresentamos um segmento, dois segmentos consecutivos e três segmentos consecutivos. Segmentos consecutivos são aqueles em que a extremidade final do primeiro segmento é a extremidade inicial do segundo e a extremidade final do segundo é a extremidadade inicial do terceiro e assim por diante.
Uma linha poligonal aberta é formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares, ou seja, segmentos de reta que não estão alinhados na mesma reta e que não se fecham.
Polígono é uma figura geométrica cuja palavra provém do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares que se fecham.
A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono.
Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polígono, identificada como a região localizada dentro da linha poligonal fechada mas deve ficar claro que polígono representa apenas a linha. Quando não há perigo na informação sobre o que se pretende obter, usa-se a palavra em um sentido ou em outro.
Considerando a figura anexada, observamos que:
Região poligonal convexa: É uma região poligonal que não apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente contido na região poligonal.
Região poligonal não convexa (côncava): É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma, o que ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas que não estão totalmente contidos na região poligonal.
Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes de acordo com a tabela:
Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes (mesma medida) e todos os ângulos internos congruentes. No desenho animado ao lado podemos observar os polígonos: triângulo, quadrado, pentágono, hexágono e heptágono.
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais importante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os principais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.
Apresentamos agora alguns objetos com detalhes sobre os mesmos.
Altura: É um segmento de reta traçado a partir de um vértice de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo reto. BH é uma altura do triângulo. Em um triângulo, podemos traçar três alturas, que se encontram em um ponto denominado ortocentro.
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. BM é uma mediana. Em um triângulo, podemos traçar três medianas, que se encontram em um ponto denominado baricentro.
Bissetriz: É a semirreta que divide um ângulo em duas partes iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê=Ô. Em um triângulo, podemos traçar três bissetrizes, que se encontram em um ponto denominado incentro.
Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo triângulo possui três ângulos internos.
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado).
Classificação dos triângulos quanto ao número de lados:
Tipo de triângulo & Medidas dos lados & Figura
Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângulos
Ângulos Internos: Para o triângulo ABC, podemos identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos desse triângulo. Algumas vezes escrevemos as letras maiúsculas A, B e C para representar os ângulos.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus, isto é:
Exemplo: Usando o triângulo abaixo, podemos escrever: \(70+60+x=180\) graus e obter \(x=180-70-60=50\) graus.
Ângulos Externos: Como observamos no desenho do triângulo ABC, em anexo, as letras minúsculas representam os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos externos.
Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim:
Exemplo: No triângulo da figura seguinte
o ângulo \(x\) é dado por: \(x=50+80=130\) graus.
A ideia de congruência: Duas figuras planas são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o mesmo tamanho.
Para indicar que dois triângulos ABC e DEF são congruentes, usamos a notação:
Para os triângulos das figuras abaixo:
existe a congruência entre os lados, tal que:
e a congruência entre os ângulos:
Se o triângulo \(ABC\) é congruente ao triângulo \(RST\), escrevemos:
Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos correspondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas medidas.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é necessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhecer três elementos, entre os quais esteja pelo menos um lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes congruentes marcados com símbolos gráficos iguais.
Segmento de reta é o conjunto de todos os pontos de uma reta localizados entre dois pontos que são as extremidades do segmento, sendo um deles o ponto inicial e o outro o ponto final. Denotamos um segmento por duas letras como \(AB\), onde \(A\) o início e \(B\) o final do segmento.
Exemplo: \(AB\) é um segmento de reta.
Não é possível dividir um segmento de reta por outro, mas é possível realizar a divisão entre as medidas desses segmentos.
Sejam os segmentos \(AB\) e \(CD\), indicados:
A razão entre os segmentos AB e CD, denotada por \(AB/CD\) ou por \(\frac{AB}{CD}\), é definida como a razão entre as medidas desse segmentos , isto é:
Proporção é a igualdade entre duas razões equivalentes. De forma semelhante ao estudo com números racionais, é possível estabelecer a proporcionalidade entre segmentos de reta, através das medidas desse segmentos.
Consideremos um caso particular com quatro segmentos de reta:
onde \(m(AB)=2\;\text{cm}\), \(m(PQ)=4\;\text{cm}\), \(m(CD)=3\;\text{cm}\) e \(m(RS)=6\;\text{cm}\).
A razão entre os segmentos \(AB\) e \(CD\) e a razão entre os segmentos \(PQ\) e \(RS\), são duas frações equivalentes, isto é:
que nos leva à definição de segmentos proporcionais.
Quatro segmentos de reta: AB, BC, CD e DE, nesta ordem, são proporcionais se:
Os segmentos \(AB\) e \(DE\) são os segmentos extremos e os segmentos
\(BC\) e \(CD\) são os segmentos meios.
A proporcionalidade acima é garantida pelo fato que existe uma proporção entre os números reais que são as medidas dos segmentos:
Propriedade Fundamental das proporções: Em uma proporção de segmentos, o produto das medidas dos segmentos meios é igual ao produto das medidas dos segmentos extremos.
Um conjunto de três ou mais retas paralelas num plano é chamado feixe de retas paralelas. A reta que intercepta as retas do feixe é a reta transversal ao feixe. Aqui, vamos usar letras maiúsculas para retas. As retas A, B, C e D, que aparecem no desenho anexado, formam um feixe de retas paralelas enquanto que as retas S e T são retas transversais.
Teorema de Tales: Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. A figura ao lado representa uma situação onde aparece um feixe de três retas paralelas cortado por duas retas transversais.
Na sequência, identificamos algumas proporções:
Exemplo: Seja a figura seguinte com um feixe de retas paralelas, sendo as medidas dos segmentos indicadas em centímetros.
Assim:
Notamos que uma proporção pode ser formulada de várias maneiras. Se um dos segmentos do feixe de paralelas for desconhecido, a sua dimensão pode ser determinada com o uso de razões proporcionais.
Conceito de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando possuem a mesma forma, mas nem sempre o mesmo tamanho.
Se duas figuras R e S são semelhantes, denotamos tal semelhança por \(R \cong S\).
Exemplo: As ampliações e reduções fotográficas são figuras semelhantes. Para os triângulos:
os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é:
Os dois triângulos semelhantes da figura anterior, possuem lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um lado do primeiro triângulo é proporcional a um lado do outro triângulo, então estes dois lados são ditos homólogos. Desse modo, todos os lados proporcionais são homólogos. Realmente:
Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum é denominado razão de semelhança entre os triângulos. Concluímos que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo RST.
Dois triângulos são semelhantes se possuem os três ângulos e os três lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos interessantes a analisar.
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Se \(A \cong D\) e \(C \cong F\) então:
Dois lados proporcionais:Se dois triângulos possuem dois lados proporcionais e os ângulos formados por esses lados são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Como
então
Exemplo: Na figura seguinte, um triângulo pode ser rodado sobre o outro para gerar dois triângulos semelhantes e o valor de \(x\) será igual a \(8\).
Realmente, \(x\) pode ser obtido pela semelhança dos triângulos. Vamos identificar os lados homólogos e com eles vamos construir a proporção:
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três lados correspondentes proporcionais, então os triângulos são semelhantes.
Quadrilátero é um polígono com quatro lados. Os principais quadriláteros são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trapezóide.
No quadrilátero anterior, observamos alguns elementos geométricos:
Nota: Unindo os vértices opostos de um quadrilátero qualquer, obtemos sempre dois triângulos e como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é \(180\) graus, concluímos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a \(360\) graus.
Exercício: Determinar a medida do ângulo \(x\) na gravura seguinte.
Paralelogramo: É o quadrilátero que possui lados opostos paralelos. Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:
Trapézio: É um quadrilátero que possui dois lados opostos paralelos. Alguns elementos gráficos de um trapézio (semelhante aos dos circos).
Trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que têm características semelhantes. Um trapézio pode ser:
Exercício: Prolongar as retas apoiadas nos lados opostos não paralelos dos trapézios da figura acima para obter, respectivamente, um triângulo retângulo, um isósceles e um escaleno. Observar mais acima nesta mesma página os nomes dos triângulos obtidos e os nomes destes trapézios!