Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental

Exercícios resolvidos de mmc, mdc e divisores

Cintia M.Bortoletto
Ulysses Sodré

Problema 1: Um conjunto possui $18$ elementos. De quantos modos podemos decompor este conjunto em grupos com quantidades iguais de elementos?

Resposta: As possibilidades estão apresentadas na sequência:

$1$ grupo com $18$ elementos
$2$ grupos com $9$ elementos em cada grupo
$3$ grupos com $6$ elementos em cada grupo
$6$ grupos com $3$ elementos em cada grupo
$9$ grupos com $2$ elementos em cada grupo
$18$ grupos com $1$ elemento em cada grupo

O conjunto dos divisores de $18$ é $D(18)=\{1,2,3,6,9,18\}$.

Problema 2: De que forma explícita podemos escrever o conjunto de todos os múltiplos de um número natural $n$?

Resposta: O conjunto dos números naturais é $N=\{0,1,2,3,4,5,\cdots\}$. Se $n$ é um número para o qual queremos obter os múltiplos, então a multiplicação de $n$ por cada elemento de $N$ é:

\[M(n)=\{0,n,2n,3n,4n,\cdots\}\]

Problema 3: Quantos elementos possui e como é escrito o conjunto dos múltiplos do elemento 0?

Resposta: O conjunto de múltiplos de $0$ possui apenas um elemento, denotado por $M(0)=\{0\}$, pois

\[M(0)=\{0{\times}0,0{\times}1,0{\times}2,0{\times}3,0{\times}4,0{\times}5,\cdots\}\]

Problema 4: Maria possui $3$ tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?

Resposta: No total, Maria ganhou 6 presentes.

Problema 5: Para obter os divisores de um número natural $n$, basta saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por resultado o número $n$. Com base nisso, obtenha o conjunto de divisores de cada um dos números: $13$, $18$, $25$, $32$ e $60$.

Resposta:

$D(13)=\{1,13\}$
$D(18)=\{1,2,3,6,9,18\}$
$D(25)=\{1,5,25\}$
$D(32)=\{1,2,4,8,16,32\}$
$D(60)=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}$

Poucos números naturais que, multiplicados entre si, têm por resultado $32$: $1{\times}32=32$, $2{\times}16=32$, $4{\times}8=32$, $8{\times}4=32$, $16{\times}2=32$, $32{\times}1=32$.

Problema 6: Qual é o número natural que divide todos os números naturais?

Resposta: O número 1, pois dividindo um número natural $n$ por 1 obtemos o próprio $n$. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 aluno, etc

Problema 7: João queria distribuir 20 bolinhas entre ele e seus 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?

Resposta: Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobram 18 bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, sobram 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.

Problema 8: Quando for possível, complete o espaço entre parênteses com números naturais.

$5{\times}(\quad) = 20$
$(\quad){\times}3 = 18$
$4{\times}(\quad) = 10$
$(\quad) ÷ 2 = 8$
$3\div(\quad) = 4$
$(\quad) ÷ 3 = 4$

Resposta: Não existe número natural que multiplicado por 4 produza 10 e não existe número natural que divide o número 3 e tem por resultado o número 4.

Problema 9: O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua resposta.

Resposta: Não, porque não existe qualquer número natural que multiplicado por 5 seja igual a 16.

Problema 10: Na Páscoa, um comerciante de Ovos de Páscoa fez a seguinte promoção:

1 ovo = $\$6,00$
2 ovos = $\$ 11,00$
3 ovos = $\$ 15,00$
4 ovos = $\$ 18,00$

Um cliente realizou uma compra sob certas circunstâncias.

Quanto custa comprar 11 ovos?
Quanto custa comprar 177 ovos?
Sem promoção, quanto custaria a mais pela compra dos 177 ovos?

Resposta: Para comprar 11 ovos ele dividiu 44 por 11 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 3, assim ele usou a decomposição: 11=4+4+3 e obteve

\[C=\$18,00+\$18,00+\$15,00=\$51,00\]

Para comprar 177 ovos, ele deve dividir 177 por 4 para obter o maior número múltiplo de 4 e o resto da divisão será 1, assim: $177=4{\times}44+1$ e

\[C=44{\times}\$18,00+\$6,00=\$798,00\]

Problema 11: Conhecendo um método para identificar os números primos, verifique quais dos seguintes números são primos:

Resposta: 37 e 11 são primos porque seus únicos divisores são o número 1 e eles mesmos. 49 não é primo porque é múltiplo de 7. 12 não é primo porque é múltiplo dos números: 2,3,4,6.

Problema 12: Qual é o menor número primo com dois algarismos?

Resposta: O número 11.

Problema 13: Qual é o menor número primo com dois algarismos diferentes?

Resposta: O número 13.

Problema 14: Qual é o menor número primo com três algarismos diferentes?

Resposta: O número 103.

Problema 15: Tente obter justificativas para garantir que valem as igualdades com potências e radicais.

$\sqrt{9}=3$
$2^3=8$
$\sqrt[3]{8}=2$
$\sqrt{16}=4$
$5^2=25$

Problema 16: Obter o valor do número natural $b$, tal que $64=b^3$?

Resposta: $\sqrt[3]{64}=4$, pois $64=b^3$. Esta é uma propriedade de potenciação. A base é $b$ e o expoente é $3$. O número que elevado ao cubo resulta em $64$ é o número $b=4$.

Problema 17: Exibir todos os números primos entre 10 e 20?

Resposta: 11, 13, 17 e 19.

Problema 18: Escrever três números distintos cujos únicos fatores primos são os números 2 e 3.

Resposta: $18,12,\cdots$ A resposta é muito variada. Alguns exemplos estão na justificativa abaixo. Para obter números que possuem apenas os números 2 e 3 como fatores, não precisamos escolher um número e fatorá-lo. O meio mais rápido de obter um número que possui por únicos fatores os números 2 e 3 é criar o número multiplicando 2 e 3 quantas vezes desejarmos. Por exemplo: $2{\times}2{\times}3=12$, $3{\times}3{\times}2=18$, $2{\times}2{\times}3{\times}3{\times}3=108$.

Problema 19: O lado do quadrado seguinte mede 3 cm. Quantos quadradinhos de $1\;\text{cm}^2$ cabem no quadrado?

\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} \\[3mm] \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} \\[3mm] \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} \\[3mm] \hline \end{array}\]

Resposta: 9 quadradinhos.

Problema 20: Usando o mesmo quadrado do exercício anterior, obter o valor de $3^2$, que se lê: três ao quadrado.

Resposta: $3^2=9$.

Problema 21: De quantos cubinhos de 1 cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3 cm de comprimento, 3 cm de largura e 3 cm de altura?

Resposta: 27 cubinhos.

Problema 22: Qual o valor de $3^3$ (3 elevado ao cubo)?

Resposta: $3^3=27$.