Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental
Números naturais (II)
Robson Benito e Ulysses Sodré

Material desta página

1 Múltiplos de números Naturais

Diz-se que um número natural \(m\) é múltiplo de outro natural \(n\), se existe um número natural \(k\) tal que:

\[m = k{\times}m\]

Exemplos:

  1. 15 é múltiplo de 5, pois \(15=3{\times}5\).
  2. 24 é múltiplo de 4, pois \(24=6{\times}4\).
  3. 24 é múltiplo de 6, pois \(24=4{\times}6\).
  4. 27 é múltiplo de 9, pois \(27=3{\times}9\).

Se \(m=k{\times}n\), então \(n\) é múltiplo de \(m\), mas também, \(m\) é múltiplo de \(k\), como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 e de 7, pois: \(35=7{\times}5\).

Se \(m=k{\times}n\), então \(m\) é múltiplo de \(n\) e se conhecemos \(n\) e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer \(k\) assumir todos os números naturais possíveis. Para obter os múltiplos de 2, isto é, os números da forma \(m=2k\) onde \(k\) é substituído por todos os números naturais possíveis. A tabela abaixo nos ajuda:

\[\begin{align} 0 = 0{\times}2 & \quad 2 = 1{\times}2 & \quad 4 = 2{\times}2 \\ 6 = 3{\times}2 & \quad 8 = 4{\times}2 & \quad 10 = 5{\times}2 \\ 12 = 6{\times}2 & \quad 14 = 7{\times}2 & \quad 16 = 8{\times}2 \\ \end{align}\]

O conjunto \(N\) dos números naturais é infinito, assim existem infinitos múltiplos para qualquer número natural. Se \(n\) é um número natural, o conjunto de todos os múltiplos de \(n\), será denotado por \(M(n)\). Por exemplo:

  1. \(M(7) = \{0,7,14,21,28,35,42,...\}\).
  2. \(M(11) = \{0,11,22,33,44,55,66,77,...\}\).

Nota: Tomando 0 como um número natural, então o zero é múltiplo de todo número natural. Tomando \(k=0\) em \(m=kn\) obtemos \(m=0\) para todo \(n\) natural. Por exemplo:

\[0=0{\times}2, \quad 0=0{\times}5, \quad 0=0{\times}12, \quad 0=0{\times}15\]

Nota: Um número \(m\) é múltiplo dele mesmo. Realmente,

\[m=1{\times}n \qquad \text{se, e somente se,} \quad m=n\]

Por exemplo, basta tomar o mesmo número multiplicado por \(1\) para obter um múltiplo dele próprio, como: \(3=1{\times}3\), \(5=1{\times}5\) e \(15=1{\times}15\).

2 Divisores de números Naturais

A definição de divisor está associada à definição de múltiplo. Um número natural \(n\) é divisor do número natural \(m\), se \(m\) é múltiplo de \(n\).

Exemplo: 3 é divisor de 15, pois \(15=3{\times}5\), logo 15 é múltiplo de 3 e também é múltiplo de 5.

Um número natural possui uma quantidade finita de divisores. Por exemplo, o número 6 possui 4 divisores naturais, que são os números \(1,2,3,6\), mas 4 e 5 não são divisores naturais de 6. Não existe divisor natural maior que o próprio número.

Os divisores de um número \(m\) formam um conjunto finito, denotado por \(D(m)\).

Exemplos:

  1. Divisores de \(6\): \(D(6)=\{1,2,3,6\}\).
  2. Divisores de \(18\): \(D(18)=\{1,2,3,6,9,18\}\).
  3. Divisores de \(15\): \(D(15)=\{1,3,5,15\}\).

Nota: O número zero é múltiplo de todo número natural, mas zero não divide qualquer número natural, nem mesmo ele próprio.

Aceitando que \(\frac60=b\), devemos admitir que \(6=0{\times}b\) mas não existe um número natural \(b\) que multiplicado por 0 (zero) seja igual a 6, assim, a divisão de 6 por 0 é impossível.

A divisão de \(\frac00\) (zero dividido por zero) é indeterminada, o que significa que pode existir uma situação que ela passe a ter significado, no sentido seguinte:

Se aceitamos que \(\frac00=x\), então podemos escrever:

\[\frac00 = \frac{x}1\]

Nessa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, assim:

\[0{\times}1 = 0{\times}x = 0\]

que não é contraditório e isto vale para todo \(x\) real, razão pela qual a expressão da forma \(\frac00\) recebe o nome de indeterminada.

3 Números primos

Um número primo é um número natural com exatamente dois divisores naturais distintos.

Exemplos:

  1. 1 não é um número primo pois \(D(1)=\{1\}\).
  2. 2 é um número primo pois \(D(2)=\{1,2\}\).
  3. 3 é um número primo pois \(D(3)=\{1,3\}\).
  4. 5 é um número primo pois \(D(5)=\{1,5\}\).
  5. 7 é um número primo pois \(D(7)=\{1,7\}\).
  6. 14 não é um número primo pois \(D(14)=\{1,2,7,14\}\).

Nota: 1 não é um número primo pois tem apenas 1 divisor e todo número natural pode ser escrito como o produto de números primos, de forma única.

4 Crivo de Eratóstenes

É um processo para obter números primos menores do que um certo número natural \(n\). Devemos construir uma tabela contendo os primeiros \(n\) números naturais. Para obter os números primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.

  1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.
  2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2 que encontrarmos na tabela.
  3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela. 4 Determinamos o próximo número primo, que é o próximo número não marcado da tabela e eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.
  4. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.
  5. Os números que não foram eliminados são os números primos.
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & \fbox2 & \fbox3 & 4 & \fbox5 & 6 & \fbox{7} & 8 & 9 & 10 \\ \hline \fbox{11} & 12 & \fbox{13} & 14 & 15 & 16 & \fbox{17} & 18 & \fbox{19} & 20 \\ \hline 21 & 22 & \fbox{23} & 24 & 25 & 26 & 27 & 28 & \fbox{29} & 30 \\ \hline \fbox{31} & 32 & 33 & 34 & 35 & 36 & \fbox{37} & 38 & 39 & 40 \\ \hline \fbox{41} & 42 & \fbox{43} & 44 & 45 & 46 & \fbox{47} & 48 & 49 & 50 \\ \hline 51 & 52 & \fbox{53} & 54 & 55 & 56 & 57 & 58 & \fbox{59} & 60 \\ \hline \fbox{61} & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 & \fbox{67} & 68 & 69 & 70 \\ \hline \fbox{71} & 72 & \fbox{73} & 74 & 75 & 76 & 77 & 78 & \fbox{79} & 80 \\ \hline 81 & 82 & \fbox{83} & 84 & 85 & 86 & 87 & 88 & \fbox{89} & 90 \\ \hline 91 & 92 & 93 & 94 & 95 & 96 & \fbox{97} & 98 & 99 & 100 \\ \hline \end{array}\]

Na tabela, estão os 100 primeiros números naturais, indicando de modo diferente os números primos e sem indicação os números que não são primos. Por exemplo, 2 é primo, mas 25 não é primo, pois é múltiplo de 5. O conjunto seguinte contém todos os números primos menores do que 70, obtidos pelo crivo de Eratóstenes.

\[P=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67\}\]

Uma forma mais simples é considerar apenas uma tabela contendo o único número par e primo, que é 2 e todos os outros números ímpares menores do que 100. Esta tabela possui 60 elementos.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & \fbox2 & \fbox3 & \fbox5 & \fbox{7} & 9 \\ \hline \fbox{11} & & \fbox{13} & 15 & \fbox{17} & \fbox{19} \\ \hline 21 & & \fbox{23} & 25 & 27 & \fbox{29} \\ \hline \fbox{31} & & 33 & 35 & \fbox{37} & 39 \\ \hline \fbox{41} & & \fbox{43} & 45 & \fbox{47} & 49 \\ \hline 51 & & \fbox{53} & 55 & 57 & \fbox{59} \\ \hline \fbox{61} & & 63 & 65 & \fbox{67} & 69 \\ \hline \fbox{71} & & \fbox{73} & 75 & 77 & \fbox{79} \\ \hline 81 & & \fbox{83} & 85 & 87 & \fbox{89} \\ \hline 91 & & 93 & 95 & \fbox{97} & 99 \\ \hline \end{array}\]

Outra forma ainda mais simples é considerar a tabela anterior com os números 2 e 3 e excluir todos os outros números terminados por 5. Esta última tabela possui 42 elementos.

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & \fbox2 & \fbox3 & \fbox5 & \fbox{7} & 9 \\ \hline \fbox{11} & & \fbox{13} & & \fbox{17} & \fbox{19} \\ \hline 21 & & \fbox{23} & & 27 & \fbox{29} \\ \hline \fbox{31} & & 33 & & \fbox{37} & 39 \\ \hline \fbox{41} & & \fbox{43} & & \fbox{47} & 49 \\ \hline 51 & & \fbox{53} & & 57 & \fbox{59} \\ \hline \fbox{61} & & 63 & & \fbox{67} & 69 \\ \hline \fbox{71} & & \fbox{73} & & 77 & \fbox{79} \\ \hline 81 & & \fbox{83} & & 87 & \fbox{89} \\ \hline 91 & & 93 & & \fbox{97} & 99 \\ \hline \end{array}\]

5 Mínimo Múltiplo Comum

Um número \(m\) é múltiplo comum dos números \(a\) e \(b\) se \(m\) é múltiplo de \(a\) e também é múltiplo de \(b\), ou seja:

\[m=k{\times}a \qquad \text{e} \qquad m=w{\times}b\]

onde \(k\) e \(w\) são números naturais.

Exemplos: Múltiplos comuns

  1. 24 é múltiplo comum de 6 e 8.
  2. 15 é múltiplo comum de 3 e 5.

Agora, vamos determinar todos os números que tem \(18\) como múltiplo comum, o que é o mesmo que obter todos os divisores naturais de \(18\).

  1. 18 é múltiplo comum de 1 e 18 pois \(18=1{\times}18\).
  2. 18 é múltiplo comum de 2 e de 9 pois \(18=2{\times}9\).
  3. 18 é múltiplo comum de 3 e de 6 pois \(18=3{\times}6\).

O número 18 é múltiplo comum de todos os seus divisores, logo:

\[D(18) = \{1,2,3,6,9,18\}\]

Agora obteremos os múltiplos comuns dos números \(a\) e \(b\). Para isso denotamos por \(M(a)\) o conjunto dos múltiplos de \(a\), por \(M(b)\) o conjunto dos múltiplos de \(b\) e tomamos a interseção entre os conjuntos \(M(a)\) e \(M(b)\).

Exemplo: Múltiplos comuns de \(3\) e \(5\).

  1. \(M(3)=\{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...\}\).
  2. \(M(5)={0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,...}\).
  3. \(M(3) \cap M(5) = \{0,15,30,45,...\}\).

Como consideramos 0 (zero) como um número natural, ele irá fazer parte dos conjuntos de todos os múltiplos de números naturais e será sempre o menor múltiplo comum, mas por definição, o Mínimo Múltiplo Comum (\(MMC\)) de dois ou mais números naturais é o menor múltiplo comum a esses números que é diferente de zero. Logo, no conjunto:

\[M(3) \cap M(5) = \{0,15,30,45,...\}\]

e o Mínimo Múltiplo Comum entre \(3\) e \(5\) é igual a \(15\).

Ao trabalhar com dois números \(a\) e \(b\), usamos a notação \(MMC(a,b)\) para representar o Mínimo Múltiplo Comum entre os números naturais \(a\) e \(b\), lembrando sempre que o menor múltiplo comum deve ser diferente de zero. Por exemplo:

  1. \(M(4)=\{0,4,8,12,16,20,24,...\}\).
  2. \(M(6)=\{ 0, 6, 12, 18, 24, ...\}\).
  3. \(MMC(4,6)=\min\{12,24,36,...\}=12\).

O conjunto dos múltiplos do \(MMC(a,b)\) é igual ao conjunto dos múltiplos comuns de \(a\) e \(b\). Por exemplo, se \(a=3\) e \(b=5\):

  1. \(M(3)=\{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...\}\).
  2. \(M(5)=\{0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,...\}\).
  3. \(M(3) \cap M(5)=\{0,15,30,45,...\}\).
  4. \(M(15)=\{0,15,30,45,60,...\}\).
  5. Observe que \(M(15)=M(3) \cap M(5)\).

6 Método prático para obter o MMC

Do ponto de vista didático, o processo acima é excelente para mostrar o significado do \(MMC\) mas existe um método prático para realizar tal tarefa sem trabalhar com conjuntos.

  1. Em um papel, construa um quadro de acordo com o apresentado na sequência.
\[\begin{array}{r|r|r|r} \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]
  1. À esquerda do traço escreva os números naturais como uma lista, separados por vírgulas, para obter o \(MMC(a,b,c,...)\). Por exemplo, tomamos \(12\), \(22\) e \(28\) do lado esquerdo do traço vertical e do lado direito do traço colocamos o menor número primo que divide algum dos números da lista que está à esquerda. Aqui usamos o \(2\).
\[\begin{array}{r|r|r|r} \hline 12 & 22 & 28 & {\quad} \\ \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]
  1. Dividimos todos os números da lista da esquerda, que são múltiplos do número primo que está à direita do traço, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divisões (possíveis) e com os números que não foram divididos.
\[\begin{array}{r|r|r|r} \hline 12 & 22 & 28 & 2 \\ \hline 6 & 11 & 14 & {\quad} \\ \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]
  1. Repetimos a partir do passo anterior até que os valores da lista que está do lado esquerdo do traço se tornem todos iguais a um.
\[\begin{array}{r|r|r|r} \hline 12 & 22 & 28 & 2 \\ \hline 6 & 11 & 14 & 2 \\ \hline 3 & 11 & 7 & \\ \end{array}\]

e depois

\[\begin{array}{r|r|r|r} \hline 12 & 22 & 28 & 2 \\ \hline 6 & 11 & 14 & 2 \\ \hline 3 & 11 & 7 & 3 \\ \hline 1 & 11 & 7 & 7 \\ \hline 1 & 11 & 1 & 11 \\ \hline 1 & 1 & 1 & \\ \end{array}\]
  1. O \(MMC(12,22,28)=2{\times}2{\times}3{\times}7{\times}11=924\), o produto dos números primos da última coluna.

Exemplo: Vamos obter o \(MMC\) dos números \(12\) e \(15\), usando a tabela:

\[\begin{array}{r|r|r} \hline 12 & 15 & {\quad} \\ \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]

e depois dividimos todos os números da lista da esquerda pelos números primos (quando a divisão é possível), criando novas listas sob as listas anteriores. O \(MMC(12,15)=60\) é o produto de todos os números primos que colocamos do lado direito do traço.

\[\begin{array}{r|r|r} \hline 12 & 15 & 2 \\ \hline 6 & 15 & 2 \\ \hline 3 & 15 & 3 \\ \hline 1 & 5 & 5 \\ \hline 1 & 1 & \\ \end{array}\]

O \(MMC(12,15)=2{\times}2{\times}3{\times}5=60\) que é o produto dos números primos da última coluna.

7 Máximo Divisor Comum

Para obter o Máximo Divisor Comum devemos introduzir o conceito de divisor comum a vários números naturais. Um número \(d\) é divisor comum de outros dois números naturais \(a\) e \(b\) se, \(d\) divide \(a\) e \(d\) divide \(b\) ao mesmo tempo. Isto significa que devem existir \(k_1\) e \(k_2\) naturais tal que:

\[a = k_1{\times}d \qquad \text{e} \qquad b = k_2{\times}d\]

Exemplos: Divisores comuns.

  1. \(8\) divide \(24\) e \(56\), pois \(24=3{\times}8\) e \(56=7{\times}8\).
  2. \(3\) divide \(15\) e \(36\), pois \(15=5{\times}3\) e \(36=12{\times}3\).

Nota: Um número \(d\) é divisor de todos os seus múltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois números é finito, pois o conjunto dos divisores de um número é finito. O conjunto dos divisores de um número natural \(m\), é denotado por \(D(m)\).

Obtemos agora os divisores comuns aos números \(16\) e \(24\), isto é, obtemos a interseção entre os conjunto \(D(16)\) e \(D(24)\).

  1. \(D(16)=\{1,2,4,8,16\}\).
  2. \(D(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\).
  3. \(D(16) \cap D(24)=\{1,2,4,8\}\).

Ocorre que o menor divisor comum entre os números \(16\) e \(24\) é \(1\), assim não interessa o menor divisor comum mas sim o maior divisor que pertence simultaneamente aos dois conjuntos de divisores.

Denotamos por \(MDC(a,b)\) o Máximo Divisor Comum entre os números naturais \(a\) e \(b\). Sejam os conjuntos \(D(16)=\{1,2,4,8,16\}\) e \(D(24)=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\). Então:

\[MDC(16,24)=\max\{D(16) \cap D(24)\}=8\]

8 Método prático para obter o MDC

De forma similar ao cálculo do \(MMC(a,b)\), temos existe um procedimento prático para obter o \(MDC(a,b)\) entre dois números naturais, pois encontrar conjuntos de divisores para cada número pode ser trabalhoso.

Para introduzir este método, vamos obter o \(MDC\) entre os números \(30\) e \(72\), a título de exemplo.

  1. Criamos uma grade com 3 linhas e algumas colunas, pondo o maior dos números (72) na área mais à esquerda na linha central e o menor dos números
  1. logo à direita do maior número na segunda coluna.
\[\begin{array}{r|r|r|r|r} {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline 72 & 30 & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]
  1. Dividimos o número maior pelo número menor, pondo o quociente no espaço sobre o número menor na primeira linha e o resto da divisão no espaço logo abaixo do maior número na terceira linha.
\[\begin{array}{r|r|r|r|r} {\quad} & 2 & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline 72 & 30 & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline 12 & {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]
  1. Passamos o resto da última divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.
\[\begin{array}{r|r|r|r|r} {\quad} & 2 & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \hline 72 & 30 & 12 & {\quad} & {\quad} \\ \hline 12 & {\quad} & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]
  1. Agora dividimos o número 30, pelo resto obtido antes que é 12. De novo, o quociente é colocado sobre o número 12 e o resto da divisão fica abaixo do número 30.
\[\begin{array}{r|r|r|r|r} {\quad} & 2 & 2 & {\quad} & {\quad} \\ \hline 72 & 30 & 12 & {\quad} & {\quad} \\ \hline 12 & 6 & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]
  1. Passamos o resto da última divisão para o espaço localizado à direita do menor número na linha central.
\[\begin{array}{r|r|r|r|r} {\quad} & 2 & 2 & {\quad} & {\quad} \\ \hline 72 & 30 & 12 & 6 & {\quad} \\ \hline 12 & 6 & {\quad} & {\quad} & {\quad} \\ \end{array}\]
  1. Realizamos agora a (última!) divisão do número 12, pelo resto obtido antes que é 6. De novo, o quociente será posto sobre o número 6 e o resto da divisão fica sob o número 12.
\[\begin{array}{r|r|r|r|r} {\quad} & 2 & 2 & 2 \\ \hline 72 & 30 & 12 & 6 \\ \hline 12 & 6 & 0 & \\ \end{array}\]
  1. Como o resto da última divisão é 0 (zero), o último quociente obtido representa o \(MDC\) entre 30 e 72, logo denotamos tal fato por:
\[MDC(30,72) = 6\]

Exercícios:

  1. Se a diferença entre dois números naturais é 126 e o máximo divisor comum entre eles é 18, quais são esses números?
    Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser múltiplos de 18 e podem ser escritos na forma \(X=18a\) e \(Y=18b\) onde \(a\) e \(b\) devem ser determinados. Assim: \(18a-18b=126\), de onde segue que \(18(a-b)=18{\times}7\), o que equivale a: \(a-b=7\). Tomando \(a=8\) e \(b=1\) obtemos \(X=144\) e \(Y=18\).
  2. Se a soma de dois números naturais é \(420\) e o máximo divisor comum entre eles é \(60\), quais são esses números?
    Solução: Sejam \(X\) e \(Y\) os números procurados. Se \(MDC(X,Y)=60\), os números \(X\) e \(Y\) devem ser múltiplos de \(60\), e podem ser escritos na forma \(X=60a\) e \(Y=60b\) onde \(a\) e \(b\) são números naturais. Assim: \(60a+60b=420\), o que garante que \(a+b=7\). Devemos escolher números naturais tal que \(a+b=7\), e assim, temos várias opções.
    1. Se \(a=6\) e \(b=1\) então \(X=360\) e \(Y= 60\).
    2. Se \(a=5\) e \(b=2\) então \(X=300\) e \(Y=120\).
    3. Se \(a=4\) e \(b=3\) então \(X=240\) e \(Y=180\).
    4. Se \(a=3\) e \(b=4\) então \(X=180\) e \(Y=240\).
    5. Se \(a=2\) e \(b=5\) então \(X=120\) e \(Y=300\).
    6. Se \(a=1\) e \(b=6\) então \(X= 60\) e \(Y=360\).
  3. Se a divisão entre dois números naturais é igual a \(\frac65\) e o máximo divisor comum entre eles é \(15\), quais são esses números?
    Solução: Sejam \(X\) e \(Y\) os números procurados. Se \(MDC(X,Y)=15\), então \(X\) e \(Y\) devem ser múltiplos de \(15\), e podem ser escritos na forma \(X=15a\) e \(Y=15b\). Assim: \(\frac{15a}{15b}=\frac65\), e \(\frac{a}{b}=\frac065\). Algumas soluções para o problema, são:
    1. Se \(a= 6\) e \(b= 5\) então \(X= 90\) e \(Y= 75\).
    2. Se \(a=12\) e \(b=10\) então \(X=180\) e \(Y=150\).
    3. Se \(a=18\) e \(b=15\) então \(X=270\) e \(Y=225\).

9 Relação entre o MMC e MDC

Existe uma relação importante entre o \(MMC\) e o \(MDC\), obtida pelo produto do \(MDC(a,b)\) pelo \(MMC(a,b)\), que é igual a \(a\cdot b\), isto é:

\[\begin{align} MDC(a,b){\times}MMC(a,b) & = a{\times}b \\ MDC(12,15){\times}MMC(12,15) & = 12{\times}15 \end{align}\]

Esta relação é útil quando precisamos obter o \(MMC\) e o \(MDC\) de dois números, basta obter um deles e usar a relação acima.

Exemplo: Para obter o \(MMC(15,20)\) e o \(MDC(15,20)\), o primeiro passo é obter um dos dois. Se \(MDC(15,20)=5\) e \(15{\times}20=300\), basta lembrar que \(MDC(15,20){\times}MMC(15,20)=15{\times}20\) e fazer:

\[5{\times}MMC(15,20) = 300\]

de onde se obtém que \(MMC(15,20)=60\).

Exercício: Se a soma de dois números é 320 e o mínimo múltiplo comum entre eles é 600, quais são esses números? Qual é o máximo divisor comum entre eles?

Solução: Se X e Y são os números procurados, eles devem ser divisores de 600, e devem pertencer ao conjunto \(D(600)\):

\[\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,25,30,75,100,120,150,200,300,600\}\]

Pares de números deste conjunto cuja soma é 320, são: 300 e 20 ou 200 e 120. O primeiro par não serve pois \(MMC(300,20)=300\). Os números que servem são X=200 e Y=120 pois \(MMC(200,120)=600\) e \(MDC(200,120)=40\).

10 Primos entre si

Dois números naturais \(p\) e \(q\) são primos entre si, quando o \(MDC(p,q)=1\). Por exemplo, 16 não é um número primo, 21 também não é um número primo mas 16 e 21 são primos entre si pois \(MDC(16,21)=1\).

11 Radiciação de números naturais

Radiciação de ordem \(n\) é o processo pelo qual dado um número natural \(a\) devemos determinar um número natural \(b\) tal que:

\[b^n = a\]

onde \(n\in N\). É o processo inverso da potenciação.

Neste trabalho, representamos a operação de radiciação por

\[\sqrt[n]{a} = a^{1/n} = \text{pot}(a,1/n) = \text{pow}(a,1/n)\]

que se lê: raiz \(n\)-ésima de \(a\). Uma notação simples e muito comum no meio científico é \(a^{1/n}\).

Raiz quadrada: A raiz quadrada de um número natural \(a\) é um outro número natural \(b\) tal que:

\[b^2 = a\]

A raiz quadrada de um número \(a\) pode ser denotada por \(a^{1/2}\).

Exemplo: Para obter a raiz quadrada de 36 devemos obter o valor numérico de \(b\) de modo que:

\[b^2 = b{\times}b = 36\]

Neste trabalho, usamos o processo de tentativa, para dividir 36 por seus divisores até que o divisor seja igual ao quociente

\[36 \div 2=18, 36 \div 3=12, 36\div 4=9, 36 \div 6=6\]

Portanto, 6 é a raiz quadrada de 36.

Raiz cúbica: A raiz cúbica de um número inteiro \(a\) é um número inteiro \(b\) tal que:

\[b^3 = b{\times}b{\times}b = a\]

A raiz cúbica de um número \(a\) pode ser denotada por \(a^{1/3}\).

Exemplo: Para obter a raiz cúbica de 64, devemos obter um número \(b\) de forma a obter

\[b^3=b{\times}b{\times}b=64\]

Por tentativa, temos:

\[1^3=1, \qquad 2^3=8, \qquad 3^3=27, \qquad 4^3=64\]

Portanto 4 é raiz cúbica de 64.

Em estudos mais avançados, podemos aprender a extrair a raiz quadrada ou a raiz cúbica de um número não necessariamente natural, com qualquer precisão desejada.

12 Calculando raízes com o navegador da internet

Para calcular raízes com o navegador da internet, digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:

javascript:Math.sqrt(961)

(raiz quadrada, em inglês: sqrt), ou a equivalente

javascript:Math.pow(961,1/2)

da forma como está escrito, na caixa do navegador onde aparece o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você deve ver uma nova página com um calculadora, onde pode pode calcular a raiz para obter \(31\) ou qualquer outra operação disponível nessa calculadora;.

A raiz \(n\)-ésima de \(M \geq 0\), é obtida com M^(1/n).

Atualizada por Ulysses Sodré
Londrina-PR, 29-julho-2020