Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 Introdução aos Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula \(N\) e estes números são construídos com os algarismos:

conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Para saber mais, clique nos links: Notas históricas sobre o zero ou Notação Posicional. Caso queira se aprofundar no assunto, veja o belíssimo livro: História Universal dos Algarismos, Tomos I e II, Editora Nova Fronteira, 1998 e 1999, de Georges Ifrah.

Na sequência, consideramos o conjunto dos números naturais tendo o número zero como primeiro elemento (para este conjunto ter mais propriedades algébricas) e denotamos este conjunto por:

Representamos o conjunto dos números naturais com a letra \(N\). As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. \(N\) é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto é representado por:

2 A construção dos Números Naturais

Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja \(m\) um número natural.

1. O sucessor de \(m\) é \(m+1\).
2. O sucessor de m é m+1.
3. O sucessor de 0 é 1.
4. O sucessor de 1 é 2.
5. O sucessor de 19 é 20.
6. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são números consecutivos.

Exemplos:

1. 1 e 2 são números consecutivos.
2. 5 e 6 são números consecutivos.
3. 50 e 51 são números consecutivos.
4. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:

1. 1,2,3,4,5,6,7 são consecutivos.
2. 5,6,7 são consecutivos.
3. 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
4. Todo número natural \(n\), exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se \(m\) é um número natural finito diferente de zero.

1. O antecessor do número \(m\) é \(m-1\).
2. O antecessor de 2 é 1.
3. O antecessor de 56 é 55.
4. O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares:

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a sequência dos números ímpares.

3 Igualdade e Desigualdades

Dizemos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição anterior é satisfeita, escrevemos A=B (que se lê: A é igual a B). Quando não ocorre a igualdade, denotamos tal fato por \(A \neq B\), que se lê: A é diferente de B.

Na definição de igualdade de conjuntos, não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho seguinte, os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A=B.

Seja agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B são distintos.

Sejam \(A=\{a,b,c,d\}\) e \(B=\{1,2,3,d\}\). Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também NÃO podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto, mas podemos afirmar que o conjunto A é diferente do conjunto B.

Exercício: Há um espaço em branco entre dois números em cada linha. Qual é o sinal apropriado que deve ser posto neste espaço: \(<\), \(>\) ou \(=\).

Exercício: Representar analiticamente cada conjunto, isto é, através de alguma propriedade e depois por extensão, apresentando os elementos do conjunto:

1. \(N\) dos números Naturais.
2. \(P\) dos números Naturais Pares.
3. \(I\) dos números Naturais Ímpares.
4. \(E\) dos números Naturais menores que 16.
5. \(L\) dos números Naturais maiores que 11.
6. \(R\) dos números Naturais maiores ou iguais a 28.
7. \(C\) dos números Naturais que estão entre 6 e 10.

4 Operações com Números Naturais

Na sequência, estudamos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir destas duas operações: adição e multiplicação.

5 A adição de números naturais

A primeira operação fundamental da Aritmética, tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições eram realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

6 Propriedades da Adição

1. Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição ser fechada em \(N\) é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto \(N\).
2. Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro.
3. Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.
4. Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

7 Curiosidade: Tabela de adição

Para somar dois números, com a tabela, um em uma linha e outro em uma coluna, basta fixar um número na 1a. coluna e um segundo número na 1a. linha. Na interseção da linha e coluna fixadas, obtemos a soma dos números.

Por exemplo, se tomarmos o número \(7\) na linha horizontal e o número \(6\) na linha vertical, obtemos a soma \(13\) no cruzamento da linha do \(7\) com a coluna do \(6\).

8 Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominado multiplicador.

Exemplo: \(4\) vezes \(9\) é o mesmo que somar o número \(9\) quatro vezes:

O resultado da multiplicação é o produto e os números dados que geraram o produto, são os fatores. Usamos o sinal \({\times}\) ou \(·\) para representar a multiplicação.

9 Propriedades da multiplicação

1. Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto \(N\) dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado está em \(N\). O fato que a operação de multiplicação é fechada em \(N\) é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto \(N\).
2. Associativa: Na multiplicação, podemos associar três ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, obtemos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. \(\begin{matrix} (m.n).p = m.(n.p)\\ (3.4).5 = 3.(4.5) = 60 \end{matrix}\)
3. Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o \(1\). Qualquer que seja o número natural \(n\), tem-se que: \(\begin{matrix} 1.n = n.1 = n \\ 1.7 = 7.1 = 7 \end{matrix}\).
4. Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. \(\begin{matrix}m.n = n.m \\ 3.4 = 4.3 = 12\end{matrix}\).

10 Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.

11 Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes precisamos saber quantas vezes o segundo número está contido no primeiro número. O primeiro número que é o maior é o dividendo e o outro que é menor é o divisor. O resultado da divisão é o quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obtemos o dividendo.

No conjunto \(N\) dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais

1. Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo: \(35 \div 7 = 5\).
2. Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente: \(35 = 5 \times 7\).
3. A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse \(q\), então poderíamos escrever: \(n \div 0 = q\) e isto significaria que: \(n=0 \times q=0\), o que não é correto! Assim, a divisão de \(n\) por 0 não tem sentido ou ainda, é impossível.

Exercício: Se X=6 e Y=9, qual é o valor da soma do dobro de X com o triplo de Y?

12 Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais \(m\) e \(n\), a expressão \(m^n\) é um produto de \(n\) fatores iguais ao número \(m\), ou seja:

denominada potência.

O número que se repete como fator é denominado base da potência que neste caso é \(m\). O número de vezes que a base se repete é o expoente que neste caso é \(n\). O resultado é a potência.

Esta operação é uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo:

13 Propriedades da Potenciação

Uma potência cuja base é igual a \(1\) e o expoente natural é \(n,\) denotada por \(1^n\), é igual a 1.

Exemplos:

1. \(1^n = 1 \times 1 \times ... \times 1=1\) (\(n\) vezes).
2. \(1^3 = 1 \times 1 \times 1 = 1\)
3. \(1^7 = 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1=1\)
4. Se \(n\in N\) é não nulo, então temos que \(n^0=1\). Por exemplo: \(n^0=1\), \(5^0=1\) e \(49^0=1\).
5. A potência zero elevado a zero, denotada por \(0^0\), carece de sentido no contexto do Ensino Fundamental. Se necessitar aprofundamento sobre o assunto, visite o nosso link Zero elevado a zero.
6. Qualquer que seja a potência em que a base é um número natural \(n\) e o expoente é igual a 1, denotada por \(n^1\), é igual ao próprio \(n\). Por exemplo: \(n^1=n\), \(5^1=5\) e \(64^1=64\).
7. Toda potência da forma \(10^n\) é um número formado pelo algarismo 1 seguido de \(n\) zeros.

Exemplos:

1. \(10^3 = 1000\)
2. \(10^8 = 100.000.000\)
3. \(10^0 = 1\)

14 Potenciação com o navegador

Para obter uma potência \(M^n\) com o navegador, como por exemplo \(12^5\), digite (ou copie com Control+C) a linha de comando:

javascript:Math.pow(12,5)

da forma como está escrito, na caixa do seu navegador que contém o nome do arquivo que é acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova página com uma calculadora, na qual você realizar esta potenciação para obter \(248832\) e muitas outras operações disponíveis.

15 Números grandes

No livro Matemática e Imaginação, o matemático americano Edward Kasner apresentou um número denominado googol que é representado por \(1\) seguido de \(100\) zeros.

Ele pensou que este era um número superior a qualquer coisa que passasse pela mente humana sendo maior do que qualquer coisa que pode ser posta na forma de palavras.

Um googol é um pouco maior do que o número total de partículas elementares conhecidas no universo, algo da ordem de \(10^{80}\). Se o espaço com estas partículas fosse comprimido de uma forma sólida com neutrons, este ficaria com algo em torno de \(10^{128}\) partículas.

Outro matemático criou então o googolplex e o definiu como \(10\) elevado ao googol.

Exercícios:

Problema1: Na figura seguinte, insira os números \(1,2,3,4,5,6\) nos círculos, de modo que a soma de cada lado seja sempre igual a \(10\).

Problema2: Um gavião viu um grupo de pombos, chegou perto deles e disse:

• Olá minhas 100 pombinhas.
• Uma delas respondeu:
• Não somos 100 meu caro gavião.
• Seremos 100, nós mais dois tantos de nós
• e mais você meu caro gavião.
• Quantos pombos somos nós?

Problema3: Três homens desejam atravessar um rio. O barco que eles possuem suporta no máximo 150 kg. Um deles pesa 50 kg, o segundo pesa 75 kg e o terceiro pesa 120 kg. Qual será o processo para eles atravessarem o rio sem afundar?

Problema4: Forme um quadrado mágico com os dígitos \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) tal que, a soma dos números de qualquer linha, qualquer coluna ou qualquer diagonal seja sempre igual a 15. Dica: Colocar o 5 no meio.