Matemática Essencial :: Ensino Fundamental

\begin{align*} 12345679{\times}\;\;9 & = 111111111 \\ 12345679{\times}18 & = 222222222 \\ 12345679{\times}27 & = 333333333 \\ 12345679{\times}36 & = 444444444 \\ 12345679{\times}45 & = 555555555 \\ 12345679{\times}54 & = 666666666 \\ 12345679{\times}63 & = 777777777 \\ 12345679{\times}72 & = 888888888 \\ 12345679{\times}81 & = 999999999 \end{align*}

\begin{align*} 9{\times}9 + 7 & = 88 \\ 9{\times}98 + 6 & = 888 \\ 9{\times}987 + 5 & = 8888 \\ 9{\times}9876 + 4 & = 88888 \\ 9{\times}98765 + 3 & = 888888 \\ 9{\times}987654 + 2 & = 8888888 \\ 9{\times}9876543 + 1 & = 88888888 \\ 9{\times}98765432 + 0 & = 888888888 \end{align*}\]

\begin{align*} 9{\times}1 + 2 & = 11 \\ 9{\times}12 + 3 & = 111 \\ 9{\times}123 + 4 & = 1111 \\ 9{\times}1234 + 5 & = 11111 \\ 9{\times}12345 + 6 & = 111111 \\ 9{\times}123456 + 7 & = 1111111 \\ 9{\times}1234567 + 8 & = 11111111 \\ 9{\times}12345678 + 9 & = 111111111 \\ 9{\times}123456789 + 10 & = 1111111111 \end{align*}\]

\begin{align*} 11{\times}11 & = 121 \\ 111{\times}111 & = 12321 \\ 1111{\times}1111 & = 1234321 \\ 11111{\times}11111 & = 123454321 \\ 111111{\times}111111 & = 12345654321 \\ 1111111{\times}1111111 & = 1234567654321 \\ 11111111{\times}11111111 & = 123456787654321 \\ 111111111{\times}111111111 & = 12345678987654321 \end{align*}\]

\begin{align*} 9 {\times}7 & = 63 \\ 99 {\times}77 & = 7623 \\ 999 {\times}777 & = 776223 \\ 9999 {\times}7777 & = 77762223 \\ 99999 {\times}77777 & = 7777622223 \\ 999999 {\times}777777 & = 777776222223 \\ 9999999 {\times}7777777 & = 77777762222223 \\ 99999999{\times}77777777 & = 7777777622222223 \end{align*}

\begin{align*} 1 {\times}7+3 & = 10 \\ 14 {\times}7+2 & = 100 \\ 142 {\times}7+6 & = 1000 \\ 1428 {\times}7+4 & = 10000 \\ 14285 {\times}7+5 & = 100000 \\ 142857 {\times}7+1 & = 1000000 \\ 1428571 {\times}7+3 & = 10000000 \\ 14285714 {\times}7+2 & = 100000000 \\ 142857142 {\times}7+6 & = 1000000000 \\ 1428571428 {\times}7+4 & = 10000000000 \\ 14285714285 {\times}7+5 & = 100000000000 \\ 142857142857{\times}7+1 & = 1000000000000 \end{align*}

\begin{align*} 9 {\times}9 & = 81 \\ 99 {\times}99 & = 9801 \\ 999 {\times}999 & = 998001 \\ 9999 {\times}9999 & = 99980001 \\ 99999 {\times}99999 & = 9999800001 \\ 999999{\times}999999 & = 999998000001 \end{align*}

\begin{align*} 12{\times}12 = 144 & \qquad 21{\times}21 = 441 \\ 13{\times}13 = 169 & \qquad 31{\times}31 = 961 \\ 102{\times}102 = 10404 & \qquad 201{\times}201 = 40401 \\ 103{\times}103 = 10609 & \qquad 301{\times}301 = 90601 \\ 112{\times}112 = 12544 & \qquad 211{\times}211 = 44521 \\ 122{\times}122 = 14884 & \qquad 221{\times}221 = 48841 \end{align*}

\begin{align*} 99 & = 9+8+7+65+4+3+2+1 \\ 100 & = 1+2+3+4+5+6+7+8{\times}9 \\ 134498697 & = 1 + 2^3 + 4^5 + 6^7 + 8^9 \\ 1000 & = 8 + 8 + 8 + 88 + 888 \end{align*}

\begin{align*} 45{=}8{+}12{+}5{+}20 & \quad 8{+}2=12{-}2{=}5{\times}2=20\div 2{=}10 \\ 100{=}12{+}20{+}4{+}64 & \quad 12{+}4=20{-}4{=}4{\times}4=64 \div 4{=}16 \\ 225{=}1{+}23{+}45{+}67{+}89 & \quad 89{-}67=67{-}45{=}45{-}23=23{-}1{=}22 \end{align*}

\[5^2 {+} 2^1= (5-2)^{2{+}1}\]

2 Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

\begin{align*} 1x + 2 & = 0 \\ 2x + 10 & = 0 \\ 4y + 4 & = 0 \\ \end{align*}

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de $0^\circ$C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

3 Sobre a origem dos sinais

A ideia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (similar ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 kg de feijão.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 kg de feijão a mais que a quantidade inicial.

Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

4 O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra $Z$ (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

\[Z = \{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}\]

\[Z* = \{...,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,...\}\]

\[Z_+ = \{0,1,2,3,4,...\}\]

\[Z_- = \{...,-4,-3,-2,-1,0\}\]

5 Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto $Z$ dos números inteiros é construir uma reta numerada, considerar o número $0$ como a origem do sistema e o número $1$ colocado à direita do zero em algum ponto, tomar a unidade de medida como a distância entre $0$ e $1$ e colocar os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual usamos uma seta para indicar a orientação para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

6 Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em $Z$) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em $Z$).

Todo número inteiro $z$ exceto o zero, possui um elemento simétrico ou oposto $-z$ e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto $z$ como $-z$ estão à mesma distância da origem $0$ do conjunto $Z$.

7 Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é o maior valor (máximo) entre um número e o seu oposto, e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

\[|x| = \max\{-x,x\}\]

Nota: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

8 Soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder.

ganhar 3 e ganhar 4	ganhar 7	(+3)+(+4)=(+7)
perder 3 e perder 4	perder 7	(-3)+(-4)=(-7)
ganhar 8 e perder 5	ganhar 3	(+8)+(-5)=(+3)
perder 8 e ganhar 5	perder 3	(-8)+(+5)=(-3)

Atenção: O sinal $+$ antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal $-$ antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

9 Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto $Z$ é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

\[\begin{matrix} a+(b+c)=(a+b)+c \\ 2+(3+7)=(2+3)+7 \end{matrix}\]

\[\begin{matrix} a+b=b+a \\ 3+7=7+3 \end{matrix}\]

Elemento neutro: Existe $0\in Z$, que somado a cada $z\in Z$, produz o próprio $z$, isto é:

\[\begin{matrix} z+0=z \\ 7+0=7 \end{matrix}\]

\[\begin{matrix} z+(-z)=0 \\ 9+(-9)=0 \end{matrix}\]

10 Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um ${\times}$, isto é:

\[1+1+1+...+1+1 = 30 {\times} 1 = 30\]

\[2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 {\times} 2 = 60\]

\[(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 {\times} (-2) = -60\]

A multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

O produto dos números $a$ e $b$, pode ser indicado por $a{\times}b$, $a.b$ ou ainda $ab$ sem nenhum sinal entre as letras.

Para multiplicar números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

Sinais	Produto
iguais	positivo
diferentes	negativo

11 Propriedades do produto de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação (produto), isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

\[\begin{matrix} a{\times}(b{\times}c)=(a{\times}b){\times}c \\ 2{\times}(3{\times}7)=(2{\times}3){\times}7 \end{matrix}\]

\[\begin{matrix} a{\times}b=b{\times}a \\ 3{\times}7=7{\times}3 \end{matrix}\]

Elemento neutro: Existe $1\in Z$, que multiplicado por todo $z\in Z$, produz o próprio $z$, isto é:

\[\begin{matrix} z{\times}1=z \\ 7{\times}1=7 \end{matrix}\]

12 Propriedade mista (distributiva)

\[\begin{matrix} a{\times}(b+c)=(a{\times}b)+(a{\times}c) \\ 3{\times}(4+5)=(3{\times}4)+(3{\times}5) \end{matrix}\]

13 Potenciação de números inteiros

A potência $a^n$ do número inteiro $a$, é definida como um produto de $n$ fatores iguais. O número $a$ recebe o nome de base e o número $n$ é o expoente.

\[a^n=a{\times}a{\times}a{\times}...{\times}a \tag{$n$ vezes}\]

Com os exemplos, notamos que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.

Nota: Quando $n=2$, a potência $a^2$ pode ser lida como: a elevado ao quadrado e quando o expoente é $n=3$, a potência $a^3$ pode ser lida como: a elevado ao cubo. Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por $A=a^2$ onde $a$ é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por $V=a^3$ onde $a$ é a medida da aresta do cubo.

14 Potenciação com o browser

Para obter a potência $M^n$ em seu navegador, como $12^5$, digite (ou copie) a linha de comando:

da forma como está escrito, na caixa do seu navegador onde está o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Após isto, pressione a tecla ENTER. Você verá uma nova página com uma calculadora para você executar a potenciação ou mesmo qualquer outra disponível na calculadora. A resposta deve ser $248832$.

15 Radiciação de números inteiros

A raiz $n$-ésima (de ordem $n$) de um número inteiro $a$ é a operação que objetiva obter um outro número inteiro não negativo $b$ que elevado à potência $n$ fornece o número $a$. O número $n$ é o índice da raiz e o número $a$ é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a nota seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho.

Assim, $b$ é a raiz $n$-ésima de $a$ se, e somente se, $a=b^n$, isto é:

\[b=\sqrt[n]{a} \text{ se, e somente se, } a=b^n\]

A raiz quadrada (de ordem $2$) de um número inteiro $a$ é a operação que visa obter um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número $a$.

Nota: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:

Não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem $3$) de um número inteiro $a$ é a operação que visa obter um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número $a$. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Nota: Ao obedecer a regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

16 Radiciação com o navegador

Para obter a raiz $n$-ésima de um número não negativo $M$, que é igual a uma potência (power, em inglês, reduzida para pow) com expoente fracionário da forma $1/n$, no navegador, digite:

na caixa do navegador com o nome do arquivo que está sendo acessado neste momento (location=endereço). Você verá uma nova página onde você calcular a raiz enésima ou qualquer outro calcul disponível.

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1 Curiosidades com números inteiros