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Há \(3000\) antes de Cristo, geômetras dos faraós do Egito realizavam marcação das terras que ficavam às margens do rio Nilo, para a sua população. Mas, no período de junho a setembro, o rio inundava essas terras levando parte de suas marcações. Logo os proprietários das terras tinham que marcá-las novamente e para isso, eles utilizavam uma marcação com cordas, que seria uma espécie de medida, denominada estiradores de cordas.
As pessoas usavam cordas, esticando-as e assim verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno, mas raramente a medida dava correta no terreno, isto é, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno; sendo assim eles sentiram a necessidade de criar um novo tipo de número: o número fracionário, onde eles utilizavam as frações.
Às vezes, ao tentar partir algo em pedaços, como por exemplo, uma pizza, nós a cortamos em partes que não são do mesmo tamanho.
Logo isso daria uma grande confusão, pois quem ficaria com a parte maior? Ou quem ficaria com a parte menor? É lógico que alguém sairia no prejuízo.
Pensemos neste exemplo: Dois irmãos foram juntos comprar chocolate. Eles compraram duas barras de chocolate iguais, uma para cada um. Iam começar a comer quando chegou uma de suas melhores amigas e vieram as perguntas: Quem daria um pedaço para a amiga? Qual deveria ser o tamanho do pedaço? Eles discutiram e chegaram à seguinte conclusão: Para que nenhum dos dois comesse menos, cada um daria metade do chocolate para a amiga.
Para representar os elementos que não são tomados como partes inteiras de alguma coisa, utilizamos o objeto matemático denominado fração.
O conjunto dos números naturais, algumas vezes inclui o zero e outras vezes não, tendo em vista que zero foi um número criado para dar sentido nulo a algo. Assim, o conjunto \(N\) será representado por:
Logo, todos os números naturais representam partes inteiras.
Os números que não representam partes inteiras, mas que são partes de inteiros, constituem os números racionais não-negativos, aqui representados por \(Q_{+}\), onde esta letra \(Q\) significa quociente ou divisão de dois números inteiros naturais.
Numeral: Relativo a número ou indicativo de número.
Número: Palavra ou símbolo que expressa quantidade.
Os numerais que representam números racionais não-negativos são as frações, que são formas matemáticas onde aparece um número que fica em cima de um traço (numerador) e outro número que fica embaixo do mesmo traço (denominador).
Quando o denominador é um número natural, o numerador indica quantas partes são tomadas do denominador, sendo que o denominador indica em quantas partes o número inteiro foi dividido.
Nota: A linguagem HTML não proporciona ainda um método simples para implementar a barra de fração, razão pela qual, às vezes usamos a barra \(/\) ou mesmo o sinal \(\div\), para entender a divisão de dois números.
Exemplo: A fração \(1/4\), que pode ser escrita como:
Em linguagem matemática, as fracões podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como \(1/4\), considerada mais comum.
A unidade foi dividida em quatro partes iguais. A fração pode ser visualizada através da figura anexada, sendo que ficou em cor vermelha uma dessas partes.
Em todos os casos, consideramos a fração na forma \(1/d=\frac{1}{d}\).
Em geral, lemos: 1, o denominador e a palavra avos.
Avos é um substantivo masculino usado na leitura das frações, designa cada uma das partes iguais em que foi dividida a unidade e se cujo denominador é maior do que dez.
Nota: Não existe há explicação clara sobre a palavra avos, mas esta palavra pode ter aparecido na sequência: \(1/2, 1/4, 1/8\) e a última fração pode ser lida como algo em Latim: 1 octavos como uma variante de: 1 octo avos.
Nota: A fração \(1/3597\) pode ser lida como: um, três mil quinhentos e noventa e sete avos.
A representação gráfica mostra a fração \(3/4\) que é uma fração cujo numerador é um número natural menor do que o denominador.
A fração cujo numerador é menor que o denominador, isto é, a parte é tomada dentro do inteiro, é uma fração própria. A fração cujo numerador é maior do que o denominador, isto é, representa mais do que um inteiro dividido em partes iguais é uma fração imprópria. Por exemplo:
Fração aparente: é aquela cujo numerador é um múltiplo do denominador e aparenta ser uma fração mas não é, pois representa um número inteiro.
Como um caso particular, o zero é múltiplo de todo número inteiro, assim as frações \(0/3\), \(0/8\), \(15/3\) são aparentes, pois são números inteiros.
Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Multiplicando os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, obtemos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto conhecido como a classe de equivalência da fração dada.
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração recebe o nome de número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a \(1/3\), como:
Quando o numerador de uma fração é maior que o denominador, podemos realizar uma operação de decomposição desta fração em uma parte inteira e uma parte fracionária e o resultado é denominado número misto. Transformação de uma fração imprópria em um número misto
Transformação de um número misto em uma fração imprópria
Simplificar frações é o mesmo que escrevê-la em uma forma mais simples, para que a mesma se torne mais fácil de ser manipulada.
O objetivo de simplificar uma fração e tornar a mesma uma fração irredutível, isto é, uma fração para a qual o Máximo Divisor Comum entre o numerador e o denominador seja 1, ou seja, o numerador e o denominador devem ser primos entre si. Tal simplificação pode ser feita através de divisão sucessiva e pela fatoração.
A divisão sucessiva corresponde a dividir os dois termos da fração por um mesmo número (fator comum ) até que ela se torne irredutível.
Respectivamente, dividimos os termos das frações por \(2\), \(2\) e \(3\).
Nota: Outro modo para dividir frações é obter o Máximo Divisor Comum (MDC) entre os termos da fração e simplificar a fração diretamente por esse valor.
Exemplo: Simplificamos a fração \(\frac{54}{72}\) usando o Máximo Divisor Comum. Como \(MDC(54,72)=18\), então
Se duas frações possuem denominadores iguais, a maior fração é a que possui maior numerador. Por exemplo:
Reduzimos ambas as frações a um mesmo denominador e o processo depende do cálculo do Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre os dois denominadores que é o denominador comum às duas frações. Na sequência, divide-se o denominador comum pelo denominador de cada fração e multiplica-se o resultado obtido pelo respectivo numerador.
Exemplo: Vamos comparar as frações \(\frac23\) e \(\frac35\). Como os denominadores são \(3\) e \(5\), temos que \(MMC(3,5)=15\). Reduzindo ambas as frações ao mesmo denominador comum \(15\), aplica-se a regra de dividir o denominador comum pelo denominador de cada fração e na sequência multiplica-se esse respectivo número pelo numerador.
Multiplicando os termos da primeira fração por \(5\) e multiplicando os termos da segunda fração por \(3\) obtemos:
Temos então os mesmos denominadores, logo:
e podemos garantir que
Se os numeradores das frações são iguais, a fração maior é a que tem o denominador menor.
Exemplo: Uma representação gráfica para a desigualdade
que é igual a
pode ser dada geometricamente por:
A área marcada em \(\color{red}{vermelho}\) é maior na primeira figura, assim
Consideremos inicialmente uma divisão \(D\) de duas frações, denotada por:
Um modo fácil para explicar esta divisão é tomar as duas frações com o mesmo denominador e realizar a divisão do primeiro numerador pelo segundo numerador, isto é:
pois \(1/2=3/6\) e \(2/3=4/6\). O desenho abaixo mostra as frações \(1/2\) e \(2/3\), através de suas formas equivalentes: \(3/6\) e \(4/6\).
Realizar a divisão entre dois números fracionários ou não fracionários, \(A\) e \(B\), é o mesmo que procurar saber quantas partes de \(B\) estão ocupadas por \(A\). Quantas partes da fração \(4/6\) estão ocupadas pela fração \(3/6\)?
Nas figuras, os numeradores das frações estão em cor vermelha. Como temos 3 partes em vermelho na primeira fração e 4 partes em vermelho na segunda fração, a divisão corresponde à fração \(\frac34\), ou seja, em cada 4 partes vermelhas, 3 estão ocupadas.
Este argumento justifica a divisão de duas frações pela multiplicação da primeira fração pelo inverso da segunda fração e observamos que de fato isto funciona neste caso:
Na verdade, há um tratamento mais geral deste caso particular. A divisão de um número real \(\frac{a}{b}\) pelo número real \(\frac{c}{d}\) é, a multiplicação do número \(\frac{a}{b}\) pelo inverso de \(\frac{c}{d}\). Mas, o inverso de \(\frac{c}{d}\) é a fração \(\frac{d}{c}\), assim: