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Esta página trata do estudo de frações e números decimais, bem como seus fatos históricos, propriedades, operações e aplicações. As frações decimais e números decimais possuem notória importância cotidiana. Tais conceitos são usados em muitas situações práticas, embora, muitas vezes passem despercebidas.
Indo ao supermercado comprar \(1/2\) kg de café por 2,80 e pagando a compra com uma nota de 5,00, obtém-se 2,20 de troco. Neste exemplo, observamos o uso de frações e números decimais. Através deste tipo de compra, usamos o conceito de fração decimal juntamente com o sistema de pesagem (\(1/2\) kg, números decimais juntamente com o sistema monetário. Muitas outras situações utilizam de frações e números decimais.
Nota: Para dividir um número \(X\) por outro número não nulo \(Y\), usamos frequentemente a notação \(X/Y\), por ser mais simples.
Hoje em dia é comum o uso de frações. Houve tempo, porém que as mesmas não eram conhecidas. O homem introduziu o uso de frações quando começou a medir e representar medidas.
Os egípcios usavam apenas frações que possuiam o número 1 dividido por um número inteiro, como por exemplo: \(1/2\), \(1/3\), \(1/4\), \(1/5\),etc Tais frações eram denominadas frações egípcias e ainda hoje têm muitas aplicações práticas das mesmas. Outras frações foram descobertas pelos mesmos egípcios as quais eram expressas em termos de frações egípcias, como: \(5/6=1/2+1/3\).
Em geral, os babilônios usavam frações com denominador \(60\). Talvez o uso do número \(60\) pelos babilônios se deve ao fato que é um número menor do que \(100\) com a maior quantidade de divisores inteiros. Os romanos, por sua vez, usavam constantemente frações com denominador \(12\). Provavelmente os romanos usavam o número \(12\) por ser um número que embora pequeno, possui um número expressivo de divisores inteiros. Com o passar dos tempos, muitas notações foram usadas para representar frações. A atual maneira de representação data do século XVI.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Por exemplo, a fração \(1/2\) equivale à fração \(5/10\) que equivale ao número decimal \(0,5\).
Stevin (engenheiro e matemático holandês), em 1585 ensinou um método para efetuar todas as operações por meio de inteiros, sem o uso de frações, no qual escrevia os números naturais ordenados em cima de cada algarismo do numerador indicando a posição ocupada pela vírgula no numeral decimal. A notação abaixo foi introduzida por Stevin e adaptada por John Napier, grande matemático escocês.
A representação dos algarismos decimais, provenientes de frações decimais, recebia um traço no numerador indicando o número de zeros existentes no denominador.
Este método foi aprimorado e em \(1617\) Napier propôs o uso de um ponto ou de uma vírgula para separar a parte inteira (PI) da parte decimal (PD).
e mais tarde para
Por muito tempo os números decimais foram usados apenas para cálculos astronômicos em virtude da precisão proporcionada. Os números decimais simplificaram muito os cálculos e passaram a ser usados com mais ênfase após a criação do sistema métrico decimal.
Dentre todas as frações, existe um tipo especial cujo denominador é uma potência de \(10\). Este tipo é denominado fração decimal.
Exemplos de frações decimais, são:
Toda fração decimal pode ser representada por um número decimal, isto é, um número que tem uma parte inteira (PI) e uma parte decimal (PD), separados por uma vírgula.
A fração \(127/100=\frac{127}{100}\) pode ser escrita na forma mais simples, como:
onde \(1\) representa a parte inteira e \(27\) representa a parte decimal. Esta notação subentende que a fração \(127/100\) pode ser decomposta na seguinte forma:
A fração \(\frac{8}{10}=8/10=0,8\), onde 0 é a parte inteira e 8 é a parte decimal. Aqui notamos que este número decimal é menor do que \(1\) pois o numerador é menor do que o denominador da fração.
Para ler números decimais, primeiro devemos observar a posição da vírgula que separa a parte inteira (PI) da parte decimal (PD). Um número decimal pode ser posto na forma genérica:
Centenas, Dezenas, Unidades, Décimos, Centésimos, Milésimos
Por exemplo, o número 130,824, pode ser escrito na forma:
1 Centena, 3 dezenas, 0 unidades, 8 décimos, 2 centésimos e 4 milésimos
Exemplos:
Podemos escrever a fração decimal \(1/10\) como: \(0,1\). Esta fração é lida como: um décimo. A vírgula separa a parte inteira(PI) da parte fracionária (PF):
Uma outra situação mostra que a fração decimal \(231/100\) pode ser escrita como \(2,31\), que se lê da seguinte maneira: dois inteiros e trinta e um centésimos. A vírgula separa a parte inteira da parte fracionária:
Em geral, transforma-se uma fração decimal em um número decimal fazendo com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Na verdade, realiza-se a divisão do numerador pelo denominador. Por exemplo:
Também é possível transformar um número decimal em uma fração decimal. Para isto, toma-se como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (\(1\)) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Como exemplo, temos:
Um número decimal não se altera quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros à direita do último algarismo não nulo de sua parte decimal. Por exemplo:
Para multiplicar um número decimal por 10, 100 ou 1000, basta deslocar a vírgula para a direita 1, 2, ou 3 casas decimais. Por exemplo:
Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda 1, 2, 3, etc casas decimais. Por exemplo:
Para somar ou subtrair números decimais, devemos seguir alguns passos:
Passo1: Igualar a quantidade de casas decimais dos números decimais a serem somados ou subtraídos acrescentando zeros à direita de suas partes decimais. Por exemplo:
Passo2: Escrever os numerais observando as colunas da parte inteira (unidades, dezenas, centenas, etc), de forma que:
Duas situações: Uma com 2,4+1,713:
e outra com 2,4-1,723:
Multiplicamos dois números decimais transformando cada um deles em frações decimais e realizando a multiplicação com numerador por numerador e denominador por denominador. Por exemplo:
Podemos também multiplicar os números decimais como se fossem inteiros e dar ao produto tantas casas quantas forem as casas do multiplicando somadas com as casas do multiplicador. Por exemplo:
Como visto antes, se multiplicamos tanto o dividendo como o divisor de uma fração por 10, 100 ou 1000, o quociente não se altera. Usando essas informações podemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros.
Por exemplo, para realizar a divisão: \(3,6÷0,4\), notamos que tanto o dividendo como o divisor possuem apenas uma casa decimal, assim, multiplicando o numerador e o denominador da fração por 10, obtemos números inteiros no numerador e no denominador da fração. Na prática, dizemos que estamos cortando a vírgula.
A divisão \(0,35÷7\) pode ser escrita na forma:
Neste caso, o dividendo tem duas casas decimais e o divisor é um inteiro, logo multiplicamos ambos por \(100\) para que o quociente não se altere. Assim tanto o dividendo como o divisor serão inteiros.
Exercício: Uma pessoa de bom coração doou \(35\) medidas de terra para \(700\) pessoas. Sabendo-se que cada medida corresponde a \(24.200\) metros quadrados, qual será a área que cada um receberá?
Vamos considerar a divisão de \(35\div 700\). Transformamos o dividendo, multiplicando-se por 10, 100, etc, para obter 350 décimos, 3500 centésimos, etc até que o novo dividendo fique maior do que o divisor, para que a divisão se torne possível. Neste caso, devemos multiplicar por 100.
Assim a divisão de 35 por 700 é transformada numa divisão de 3500 por 700. Como acrescentamos dois zeros ao dividendo, iniciamos o quociente com dois zeros, colocando-se uma vírgula após o primeiro zero. Isto pode ser justificado pelo fato que se multiplicarmos o dividendo por 100, o quociente fica dividido por 100.
Realizamos a divisão de 3500 por 700 para obter 5, lembramos que foram anexados 2 zeros e concluímos que agora devemos dividir por 100, para obter 0,35/7=35/700=0,05.
A divisão \(10\div 16\) não resulta em um inteiro no quociente. Como \(10<16\), o quociente da divisão não é um inteiro, assim para dividir o número 10 por 16, montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros.
A comparação de números decimais pode ser feita analisando-se as partes inteiras e decimais desses números. Para isso, fazemos uso dos sinais: \(>\) (maior), \(<\) (menor) ou \(=\) (igual).
O maior número é aquele que tem a parte inteira maior. Por exemplo:
Igualamos o número de casas decimais acrescentando zeros tantos quantos forem necessários. Após esta operação, temos dois números com a mesma parte inteira mas com partes decimais diferentes. Basta comparar estas partes decimais para constatar qual é o maior deles. Alguns exemplos, são:
Ao abrir um jornal, ligar uma televisão, olhar vitrines, é comum depararmos com expressões do tipo:
A porcentagem é um modo de comparar números usando a proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é \(100\). Toda razão \(a/b\) na qual \(b=100\) chama-se porcentagem.
Exemplos: