Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental
Equações do segundo grau
Andresa F.Barbieri e Ulysses Sodré

Material desta página

1 Introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita \(x\) está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.

Exemplos: \(ax+b=0\), \(ax^2+bx+c=0\) e \(ax^4+bx^2+c=0\).

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

\[a_0 x^n + a_1 x^{n-1} +...+ a_{n-1} x^1 + a_n = 0\]

onde \(n\) é um número natural. O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.

Exemplos:

  1. A equação \(4x^2+3x+2=0\) tem o grau \(2\) e o coeficiente do termo dominante é \(4\), e dizemos que esta é uma equação do segundo grau.
  2. A equação \(2x^5+1=0\) é do quinto grau, com o coeficiente do termo dominante igual a \(2\).

2 A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostramos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

\[a x^2 + b x + c = 0\]

com \(a\neq 0\) e dividindo todos os coeficientes por \(a\), obtemos:

\[x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0\]

Passando o termo constante para o segundo membro, obtemos:

\[x^2 + \frac{b}{a} x = -\frac{c}{a}\]

Agora, fazemos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto devemos somar o quadrado de \(\frac{b}{2a}\) a ambos os membros da equação para obter:

\[x^2 + \frac{b}{a} x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\]

Simplificando ambos os lados da equação, segue que:

\[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\]

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obtemos duas respostas para a nossa equação:

\[x + \frac{b}{2a} = +\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\]

ou

\[x + \frac{b}{2a} = -\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\]

que alguns, por preguiça ou por descuido, escrevem:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

usando um sinal \(\pm\) que é lido como mais ou menos, mas este sinal \(\pm\) não tem significado em Matemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, devemos sempre escrever:

\[x_1 = \frac{-b -\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

ou

\[x_2 = \frac{-b +\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]

onde \(\Delta=b^2-4ac\) é o discriminante da equação do segundo grau.

3 Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita \(x\) é da forma:

\[ax^2+bx+c=0\]

onde os números reais \(a,b\) e \(c\) são os coeficientes da equação, sendo que \(a\neq 0\). Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

4 Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes \(a,b\) e \(c\) são diferentes de zero.

Exemplos: \(2x^2+7x+5=0\) e \(3x^2+x+2=0\).

5 Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se \(b=0\) ou \(c=0\) ou \(b=c=0\). Na equação incompleta devemos ter coeficiente \(a\neq 0\).

Exemplos: \(4x^2+6x=0\), \(3x^2+9=0\) e \(2x^2=0\).

6 Resolução de equações incompletas do 2o. grau

  1. Equações do tipo \(ax^2=0\): Se \(a\neq 0\), basta dividir esta equação por \(a\) para obter \(x^2=0\), assim, esta equação possui duas raízes iguais a zero.
    Exemplo: A equação \(3x^2=0\), pode ser escrita na forma x^2=0, cujo conjunto solução é \(S=\{0\}\).
  2. Equações do tipo \(ax^2+c=0\): Se \(a\neq 0\), dividimos toda a equação por \(a\) e passamos o termo constante para o segundo membro para obter \(x^2=-c/a\). Se \(-c/a<0\), não existe solução no conjunto dos números reais.
    Se \(-c/a>0\), a equação tem duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) com sinais contrários.
    Exemplo: A equação \(2x^2-8=0\), pode ser escrita na forma \(x^2-4=0\), cujo conjunto solução é \(S=\{-2,+2\}\).
  3. Equações do tipo \(ax^2+bx=0\): Se \(a\neq 0\), fatoramos a equação para obter \(x(ax+b)=0\) e esta equação tem duas raízes: \(x_1=0\) ou \(x_2=-b/a\).
    Exemplo: A equação \(3x^2-6x=0\) pode ser escrita como \(x^2-2x=0\), ser fatorada na forma \(x(x-2)=0\) e o conjunto solução é \(S=\{0,2\}\).

Exemplos gerais:

  1. \(4x^2=0\) possui duas raízes nulas.
  2. \(4x^2-8=0\) possui duas raízes: \(x_1=\sqrt{2}\) e \(x_2=-\sqrt{2}\),
  3. \(4x^2+5=0\) não possui raízes reais.
  4. \(4x^2-12x=0\) possui duas raízes reais: \(x_1=3\) e \(x_2=0\).

Exemplos: Mostrar que o conjunto solução de cada equação incompleta do segundo grau é o que está indicado junto à equação:

  1. \(x^2+6x=0\), conjunto solução: \(S=\{0,-6\}\).
  2. \(2x^2=0\), conjunto solução: \(S=\{0\}\).
  3. \(3x^2+7=0\), conjunto solução: \(S=\emptyset\).
  4. \(10x^2=0\), conjunto solução: \(S=\{0\}\).
  5. \(9x^2-18=0\), conjunto solução: \(S=\{-\sqrt{2},+\sqrt{2}\}\).

7 Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: \(ax^2+bx+c=0\), é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

\[x = \frac{-b \pm\Delta}{2a}\]

onde \(\Delta=b^2-4ac\) é o discriminante da equação.

Para cada discriminante \(\Delta\) há três possíveis situações:

  1. Se \(\Delta<0\), não existe solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
  2. Se \(\Delta=0\), há duas soluções iguais: \(x_1=x_2=-b/2a\).
  3. Se \(\Delta>0\), há duas soluções reais e diferentes: \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) e \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\).

Exemplos: Para cada equação do segundo grau, preencher a tabela com os coeficientes, o discriminante e os tipos de raízes:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|c|l|} \hline \text{Equação} & a & b & c & \Delta & \text{Tipos de raízes} \\ \hline x^2-6x+8=0 & 1 & -6 & 8 & 4 & \text{reais e diferentes} \\ \hline x^2-10x+25=0 & & & & & {\qquad} \\ \hline x^2+2x+7=0 & & & & & {\qquad} \\ \hline x^2+2x+1=0 & & & & & {\qquad} \\ \hline x^2+2x=0 & & & & & {\qquad} \\ \hline \end{array}\]

8 O uso da fórmula de Bhaskara

Você pode calcular Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\) em um formulário, mesmo no caso em que \(\Delta<0\), o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Para estudar estas raízes complexas, visite o nosso link Números Complexos.

Agora, vamos resolver equação \(x^2-5x+6=0\) com a fórmula de Bhaskara.

  1. Identificamos os coeficientes: \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\);
  2. Escrevemos a fórmula do discriminante \(\Delta=b^2-4ac\);
  3. Calculamos \(\Delta=(-5)^2-4{\times}1{\times}6=25-24=1\);
  4. Usamos a fórmula de Bhaskara:
  5. Substituímos os coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\) na fórmula para obter: \(x_1 =\frac12(5+\sqrt{1}) =\frac12(5+1) =3\) e \(x_2 =\frac12(5-\sqrt{1}) =\frac12(5-1) =2.\)

Exercícios: Para cada equação, calcular o discriminante e analisar as raízes:

  1. \(x^2+9x+8=0\)
  2. \(9x^2-24x+16=0\)
  3. \(x^2-2x+4=0\)
  4. \(3x^2-15x+12=0\)
  5. \(10x^2+72x-64=0\)

Resolver as equações:

  1. \(x^2+6x+9=0\)
  2. \(3x^2-x+3=0\)
  3. \(2x^2-2x-12=0\)
  4. \(3x^2-10x+3=0\)

9 Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

  1. \(\dfrac{3}{x^2-4} + \dfrac{1}{x-3} = 0\)
  2. \(\dfrac{3}{x^2-4} + \dfrac{1}{x-2} = 0\)

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de \(x\) que anulam os denominadores, pois tais valores não servem para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a \(0\). Na sequência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houver necessidade.

Exemplo 1: Consideremos o primeiro exemplo:

\[\frac{3}{x^2-4} + \frac{1}{x-3} = 0\]

\(x\) deve ser diferente de \(3\), diferente de \(2\) e diferente de \(-2\), assim podemos obter o mínimo múltiplo comum entre os termos como:

\[MMC(x) = (x^2-4)(x-3)\]

Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deve ser \(MMC(x)\), obtemos:

\[\frac{3(x-3)+1(x^2-4)}{(x^2-4)(x-3)} = 0\]

o que significa que o numerador deve ser:

\[3(x-3)+1(x^2-4) = 0\]

que desenvolvido nos dá:

\[x^2+3x-13=0\]

que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara, mas, não existem números reais satisfazendo esta equação.

Exemplo 2: Consideremos agora um segundo exemplo:

\[\frac{x+3}{2x-1}=\frac{2x}{x+4}\]

O mínimo múltiplo comum entre os denominadores \(2x-1\) e \(x+4\) é \(MMC=(2x-1)(x-4)\) (o produto entre estes fatores) e \(MMC\) somente se anula se \(x=1/2\) ou \(x=-4\). Multiplicando os termos da equação pelo \(MMC\), obtemos em sequência, as expressões:

  1. \((x+3)(x+4)=2x(2x-1)\) (Desenvolvendo os produtos);
  2. \(x^2 + 7x + 12 = 4x^2 -2x\) (Reunindo os termos no 1o. membro);
  3. \(-3x^2 + 9x + 12 = 0\) (Multiplicando a equação por -1);
  4. \(3x^2 - 9x - 12 = 0\) (Divindindo todos os termos por 3);
  5. \(x^2 - 3x - 4 = 0\) (Fatorando a equação quadrática);
  6. \((x-4)(x+1) = 0\) (fatoração).

O cojunto solução é \(S=\{4, -1\}\).

Exemplo 3: Estudemos outro exemplo:

\[\frac{3}{x^2-4} +\frac{1}{x-2}=0\]

O mínimo múltiplo comum é \(MMC=x^2-4=(x-2)(x+2)\) e este \(MMC\) somente se anula se \(x=2\) ou \(x=-2\). Multiplicando os termos da equação pelo \(MMC\), obtemos:

\[3+(x+2)=0\]

cuja solução é \(x=-5\).

Exercícios: Resolver as equações fracionárias do segundo grau:

  1. \(x+\dfrac{6}{x}=-7 \qquad\) Dica:Multiplicar toda a equação por \(x\neq 0\).
  2. \(\dfrac{x+2}{x+1} = \dfrac{2x}{x-4}\)
  3. \(\dfrac{2-x}{x} + \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{3}{x}\)
  4. \(\dfrac{x+2}{x-2} + \dfrac{x-2}{x+2} = 1\)

10 Equações biquadradas

São equações do quarto grau na incógnita \(x\), da forma geral:

\[a x^4 + b x^2 + c = 0\]

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição \(y = x^2\) para gerar

\[a y^2 + b y + c = 0\]

Com a fórmula quadrática, resolvemos esta última equação para obter as soluções \(y_1\) e \(y_2\), mas no final devemos ser mais cuidadosos, pois \(x^2=y_1\) ou \(x^2 = y_2\) e se \(y_1<0\) ou \(y_2<0\), não existem soluções para \(x\).

Exemplo1: Para resolver a equação \(x^4-13x^2+36=0\), tomamos \(y=x^2\), para obter \(y^2-13y+36=0\), cujas raízes são \(y_1=4\) ou \(y_2=9\), assim: \(x^2=4\) ou \(x^2=9\), e segue que o conjunto solução é \(S=\{2,-2,3,-3\}\).

Exemplo2: Para resolver \(x^4-5x^2-36=0\), tomamos \(y=x^2\), para obter \(y^2-5y-36=0\), cujas raízes são \(y_1= -4\) ou \(y_2=9\) e desse modo: \(x^2=-4\) ou \(x^2=9\), garantindo que o conjunto solução é \(S=\{3,-3\}\).

Exemplo3: Tomando \(y=x^2\) na equação \(x^4+13x^2+36=0\), obtemos \(y^2+13y+36=0\), cujas raízes são \(y_1=-4\) ou \(y_2=-9\) e dessa forma: \(x^2=-4\) ou \(x^2=-9\), logo, o conjunto solução é vazio.

Atualizada por Ulysses Sodré
Londrina-PR, 29-julho-2020