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Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.
Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e é necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.
Trabalhamos com uma situação real e dela tiramos algumas informações importantes. Observe a balança equilibrada.
No prato esquerdo foi posto um peso (massa) de \(2\operatorname{kg}\) e duas melancias com pesos (massas) iguais. No prato direito existe um peso (massa) de \(14\operatorname{kg}\). Quanto pesa cada melancia?
A expressão 2 melancias + 2 kg = 14 kg pode ser substituída pelo uso de uma letra, como por exemplo \(x\), para simbolizar o peso (massa) de cada melancia. Assim, a equação pode ser escrita matematicamente, como:
Este é um exemplo simples de equação com uma variável, mas é muito útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples!
Podemos ver que toda equação tem:
No link Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra \(x\) é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.
| Primeiro membro | Sinal de igualdade | Segundo membro |
|---|---|---|
| 2 x + 2 | = | 14 |
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação. Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o valor de \(x\).
Nota: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.
Exemplo1: A soma das idades de André e Carlos é \(22\) anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é \(4\) anos mais novo do que Carlos.
Solução: Primeiro passamos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra \(C\) para a idade de Carlos e a letra \(A\) para a idade de André, logo \(A=C-4\). Assim, a sequência que segue produz a solução:
Resposta: Carlos tem \(13\) anos e André tem \(13-4=9\) anos.
Exemplo2: A população de uma cidade é o triplo da população de outra cidade. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a segunda cidade?
Solução: Identificando a população da primeira cidade pela letra \(A\) e a população da outra cidade pela letra \(B\). Assumindo que \(A=3B\), podemos escrever a sequência de passos:
Resposta: Como \(A=3B\), então a população da primeira cidade corresponde a: \(A=3{\times}25.000=75.000\) habitantes.
Exemplo3: Uma casa com \(260m^2\) de área construída possui 3 quartos de mesmo tamanho. Qual é a área de cada quarto, se as outras dependências da casa ocupam \(140 m^2\)?
Solução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra \(X\). Com a sequência abaixo, obtemos:
Resposta: Cada quarto tem \(40m^2\).
Exercícios: Resolver as equações
Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:
Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todos os possíveis valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.
Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade: \(2x+2 < 14\). Para resolver esta desigualdade, seguimos os seguintes passos:
Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números naturais menores do que \(6\), isto é, \(S = \{1,2,3,4,5\}\).
Exemplo: Para obter todos os números pares positivos que satisfazem à desigualdade \(2x+2 < 14\) obtemos o conjunto solução é \(S = \{2,4\}\).
Nota: Se existe mais do que um sinal de desigualdade na expressão, temos várias desigualdades disfarçadas em uma.
Exemplo: Para determinar todos os números naturais para os quais valem as (duas) desigualdades:
podemos seguir o seguinte processo:
O conjunto solução é \(S = \{6,7,8,9\}\).
Exemplo: Para obter todos os números inteiros negativos que satisfazem às (duas) desigualdades \(12 < 2x+2 < 20\) obtemos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é], \(S = \emptyset\).
Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudamos aqui apenas o caso em aparecem \(2\) incógnitas \(x\) e \(y\). Uma forma geral típica, pode ser:
onde \(a\), \(b\) e \(c\) são valores dados.
Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais para os quais \(2x+3y \geq 0\), notamos que o conjunto solução contém os pares:
Na verdade, existem infinitos pares ordenados de números reais que satisfazem esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizamos um processo geométrico que permite obter uma solução geométrica satisfatória.
Processo geométrico:
Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência \(1\). Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.
Um sistema de equações do primeiro grau nas incógnitas \(x\) e \(y\), é um conjunto formado por duas equações do primeiro grau nestas incógnitas.
Exemplo: Seja o sistema de duas equações:
Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de \(x\) e de \(y\) que satisfazem simultaneamente a ambas as equações.
\(x=10\) e \(y=6\) são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar o valor algébrico de uma variável, por exemplo \(x\), e, aplicar o resultado à outra equação.
Para entender o método, consideremos o sistema:
Para extrair o valor de \(x\) na primeira equação, usamos o seguinte processo:
Substituímos aqora o valor de \(x\) na segunda equação \(3x-2y=18\):
Substituindo \(y=6\) na equação \(x=19-(3y/2)\), obtemos:
Exercício: Determinar a solução do sistema:
Cada equação do sistema acima pode ser visto como reta no plano cartesiano. Construa as duas retas no plano e verifique que, neste caso, a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.
No contexto que estamos trabalhando aqui, cada equação da forma \(ax+by=c\), representa uma reta no plano cartesiano. Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano.
Há três modos de construir retas no plano: retas concorrentes, retas paralelas e retas coincidentes. 
Se o sistema é formado por duas equações que são retas no plano cartesiano, temos a ocorrência de retas:
Problemas com sistemas de equações:
Problema1: A soma das idades de André e Carlos é \(22\) anos. Descubra as idades de cada um deles, se André é \(4\) anos mais novo do que Carlos.
Solução: A idade de André será tomada com a letra \(A\) e a idade de Carlos com a letra \(C\). O sistema de equações será:
Resposta: \(C=13\) e \(A=9\),
Problema2: A população de uma cidade \(A\) é o triplo da população da cidade \(B\). Se as duas cidades juntas têm uma população de \(100.000\) habitantes, quantos habitantes tem a cidade \(B\)?
Solucão: Se a população da cidade é indicada pela letra \(A\) e a população da cidade \(B\) pela letra \(B\), o sistema de equações tem a forma:
Resposta: \(A=75000\), \(B=25000\).
Problema3: Uma casa com \(260\) m^2 de área construída tem \(3\) dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam $140 $m^2?
Solução: A área de cada dormitório é indicada pela letra \(D\) e a área das outras dependências com a letra \(O\). Assim, o sistema será:
Resposta: \(D=40\).
Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com \(2\) equações em \(2\) ou mais incógnitas. Estudamos aqui apenas o caso em aparecem \(2\) equações e \(2\) incógnitas \(x\) e \(y\). Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:
onde as constantes: \(a,b,c,d,e,f\) são conhecidas.
Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:
Existem infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.
Processo geométrico:
Esta situação gráfica é utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. Um dos ramos da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.