Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Ensino Fundamental
Divisão proporcional
Ulysses Sodré

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1 Divisão em 2 partes diretamente proporcionais

Para decompor um número \(M\) em duas partes \(A\) e \(B\) diretamente proporcionais a \(p\) e \(q\), montamos um sistema com duas equações e duas incógnitas, de modo que a soma das partes seja \(A+B=M\), mas

\[\frac{A}{B} = \frac{p}{q}\]

A solução segue das propriedades das proporções:

\[\frac{A}{p}=\frac{B}{q}=\frac{A+B}{p+q}=\frac{M}{p+q}=K\]

O valor de \(K\) proporciona a solução, pois:

\[A = K {\times} p \qquad \text{e} \qquad B = K {\times} q\]

Exemplo: Decompomos o número 100 em duas partes \(A\) e \(B\) diretamente proporcionais a \(2\) e \(3\), com o sistema de modo que \(A+B=100\), tal que:

\[\frac{A}2=\frac{B}{3}=\frac{A+B}{2+3}=\frac{100}{5}=20\]

Segue que \(A=2 {\times} 20 = 40\) e \(B=3 {\times} 20 = 60\).

Exemplo: Para obter números \(A\) e \(B\) diretamente proporcionais a \(8\) e \(3\), sabendo-se que a diferença entre eles é \(60\), basta resolver este problema, tomando \(A-B=60\) e escrever:

\[\frac{A}{8}=\frac{B}{3}=\frac{A-B}{8-3}=\frac{60}{5}=12\]

Segue que \(A=8{\times}12=96\) e \(B=3{\times}12=36\).

2 Divisão em n partes diretamente proporcionais

Para decompor um número \(M\) em \(n\) partes \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) diretamente proporcionais aos pesos \(p_1,p_2,\cdots,p_n\), montamos um sistema com \(n\) equações e \(n\) incógnitas, tomando \(X_1+X_2+\cdots+X_n=M\) e \(p_1+p_2+...+p_n=p\).

\[\frac{X_1}{p_1}=\frac{X_2}{p_2}=\cdots=\frac{X_n}{p_n}\]

A solução segue das propriedades das proporções:

\[\frac{X_1}{p_1} = \frac{X_2}{p_2} =\cdots= \frac{X_n}{p_n} = \frac{X_1 + X_2 +\cdots+ X_n}{p_1 + p_2 +\cdots+ p_n} = \frac{M}{p} = K\]

Exemplo: Decompomos o número \(120\) em três partes \(A\), \(B\) e \(C\) diretamente proporcionais a \(2\), \(4\) e \(6\), montando um sistema com 3 equações e 3 incógnitas tal que \(A+B+C=120\) e \(p=2+4+6=12\). Assim:

\[\frac{A}{2}=\frac{B}4=\frac{C}{6}=\frac{A+B+C}{2+4+6}=\frac{120}{12}=10\]

logo \(A=2{\times}10=20\), \(B=4{\times}10=40\) e \(C=6{\times}10=60\).

Exemplo: Determinar números A, B e C diretamente proporcionais a 2, 4 e 6, de modo que 2A+3B-4C=120. A solução segue das propriedades das proporções:

\[\frac{A}2=\frac{B}4=\frac{C}{6} =\frac{2A+3B-4C}{2{\times}2+3{\times}4-4{\times}6}=\frac{120}{-8}=-15\]

logo \(A=2{\times}(-15)=-30\), \(B=4{\times}(-15)=-60\) e \(C=6{\times}(-15)=-90\).

Também existem proporções com números negativos!

3 Divisão em 2 partes inversamente proporcionais

Para decompor um número \(M\) em duas partes \(A\) e \(B\) inversamente proporcionais a \(p\) e \(q\), deve-se decompor este número \(M\) em duas partes \(A\) e \(B\) diretamente proporcionais a \(\frac1{p}\) e \(\frac1{q}\), que são, respectivamente, os recíprocos (inversos) de \(p\) e \(q\).

Assim basta montar o sistema com duas equações e duas incógnitas tal que \(A+B=M\). Desse modo:

\[\frac{A}{\frac1{p}} = \frac{B}{\frac1{q}} = \frac{A+B}{\frac1{p}+\frac1{q}} = \frac{M}{\frac1{p}+\frac1{q}} = \frac{M{\times}p{\times}q}{p+q} = K\]

Com o valor de \(K\) obtemos a solução pois: \(A=\frac{K}{p}\) e \(B=\frac{K}{q}\).

Exemplo: Decompomos o número 120 em duas partes \(A\) e \(B\) inversamente proporcionais a 2 e 3, com o sistema tal que \(A+B=120\), de modo que:

\[\frac{A}{\frac12} = \frac{B}{\frac13} =\frac{A+B}{\frac12+\frac13}=\frac{120}{\frac56}=\frac{120{\times}6}{5}=144\]

Assim \(A=\frac{144}2=72\) e \(B=\frac{144}{3}=48\).

Exemplo: Determinar números \(A\) e \(B\) inversamente proporcionais a 6 e 8, sabendo-se que a diferença entre eles é 10. Para resolver este problema, tomamos \(A-B=10\). Assim:

\[\frac{A}{\frac16} = \frac{B}{\frac18} = \frac{A-B}{\frac16 - \frac18} = \frac{10}{\frac1{24}} =240\]

Assim \(A=\frac16{\times}240=40\) e \(B=\frac18{\times}240=30\).

4 Divisão em n partes inversamente proporcionais

Para decompor um número \(M\) em \(n\) partes \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) inversamente proporcionais aos pesos \(p_1,p_2,\cdots,p_n\), basta decompor este número \(M\) em \(n\) partes \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) diretamente proporcionais a \(\frac1{p_1}\), \(\frac1{p_2}\), , \(\frac1{p_n}\).

A montagem do sistema com \(n\) equações e \(n\) incógnitas, assume que \(X_1+X_2+\cdots+X_n=M\) e além disso

\[\frac{X_1}{\frac1{p_1}} = \frac{X_2}{\frac1{p_2}}=\cdots=\frac{X_n}{\frac1{p_n}}\]

cuja solução segue das propriedades das proporções:

\[\frac{X_1}{\frac1{p_1}} = \frac{X_2}{\frac1{p_2}} = \cdots = \frac{X_n}{\frac1{p_n}} = \frac{X_1 + X_2 +\cdots+ X_n}{\frac1{p_1}+\frac1{p_2}+\cdots+\frac1{p_n}} = \frac{M}{\frac1{p_1}+\frac1{p_2}+\cdots+\frac1{p_n}}\]

Exemplo: Para decompor o número 220 em três partes \(A\), \(B\) e \(C\) inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, montamos um sistema com 3 equações e 3 incógnitas, de modo que \(A+B+C=220\). Desse modo:

\[\frac{A}{\frac12}=\frac{B}{\frac14}=\frac{C}{\frac16} = \frac{A+B+C}{\frac12+\frac14+\frac16}=\frac{220}{\frac{11}{12}}=240\]

A solução é \(A=\frac{240}2=120\), \(B=\frac{240}4=60\) e \(C=\frac{240}{6}=40\).

Exemplo: Para obter números \(A\), \(B\) e \(C\) inversamente proporcionais a \(2\), \(4\) e \(6\), de modo que \(2A+3B-4C=10\), devemos montar as proporções:

\[\frac{A}{\frac12}=\frac{B}{\frac14}=\frac{C}{\frac16} =\frac{2A+3B-4C}{\frac22+\frac34-\frac46}=\frac{10}{\frac{13}{12}} =\frac{120}{13}\]

para obter \(A=\frac12(\frac{120}{13})=\frac{60}{13}\), \(B=\frac14(\frac{120}{13})=\frac{30}{13}\) e \(C=\frac16(\frac{120}{13})=\frac{20}{13}\). Notamos que existem proporções com números fracionários!

5 Divisão em 2 partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número \(M\) em duas partes \(A\) e \(B\) diretamente proporcionais a \(c\) e \(d\), e inversamente proporcionais a \(p\) e \(q\), deve-se decompor este número \(M\) em duas partes \(A\) e \(B\) diretamente proporcionais a \(c/q\) e \(d/q\), basta montar um sistema com duas equações e duas incógnitas de forma que \(A+B=M\) e além disso:

\[\frac{A}{\frac{c}{p}} = \frac{B}{\frac{d}{q}} = \frac{A+B}{\frac{c}{p} + \frac{d}{q}} = \frac{M}{\frac{c}{p} + \frac{d}{q}} = \frac{M{\times}p{\times}q}{c{\times}q + p{\times}d} = K\]

Com o valor de \(K\), obtemos a solução: \(A=K\frac{c}{p}\) e \(B=K\frac{d}{q}\).

Exemplo: Para decompor o número 58 em duas partes \(A\) e \(B\) diretamente proporcionais a \(2\) e \(3\), e, inversamente proporcionais a 5 e 7, devemos montar as proporções:

\[\frac{A}{\frac25} = \frac{B}{\frac37} = \frac{A+B}{\frac25 + \frac37} = \frac{58}{\frac{29}{35}} = 70\]

Assim \(A=\frac25(70)=28\) e \(B=\frac37(70)=30\).

Exemplo: Para obter números \(A\) e \(B\) diretamente proporcionais a \(4\) e \(3\) e inversamente proporcionais a \(6\) e \(8\), sabendo-se que a diferença entre eles é \(21\). Tomamos \(A-B=21\) e resolvemos as proporções:

\[\frac{A}{\frac46} = \frac{B}{\frac38} = \frac{A-B}{\frac46 - \frac38} = \frac{21}{\frac{7}{24}} = 72\]

Assim \(A=\frac46(72)=48\) e \(B=\frac38(72)=27\).

6 Divisão em n partes direta e inversamente proporcionais

Para decompor um número \(M\) em \(n\) partes \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) diretamente proporcionais aos pesos \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) e inversamente proporcionais aos pesos \(q_1,q_2,\cdots,q_n\), basta decompor este número \(M\) em \(n\) partes \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) diretamente proporcionais às divisões: \(p_1/q_1\), \(p_2/q_2\) ,, \(p_n/q_n\).

A montagem do sistema com \(n\) equações e \(n\) incógnitas assume que \(X_1+X_2+\cdots+X_n=M\) e além disso

\[\frac{X_1}{\frac{p_1}{q_1}} = \frac{X_2}{\frac{p_2}{q_2}} = \cdots = \frac{X_n}{\frac{p_n}{q_n}}\]

A solução segue das propriedades das proporções:

\[\frac{X_1}{\frac{p_1}{q_1}}=\frac{X_2}{\frac{p_2}{q_2}} = \cdots = \frac{X_n}{\frac{p_n}{q_n}} = \frac{X_1 + X_2 +\cdots+ X_n}{\frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} + \cdots + \frac{p_n}{q_n}}\]

Exemplo: Para decompor o número \(115\) em três partes \(A\), \(B\) e \(C\) diretamente proporcionais a \(1\), \(2\) e \(3\) e inversamente proporcionais a \(4\), \(5\) e \(6\), devemos montar um sistema com \(3\) equações e \(3\) incógnitas de modo que \(A+B+C=115\) e tal que:

\[\frac{A}{\frac14} = \frac{B}{\frac25} = \frac{C}{\frac36} = \frac{A+B+C}{\frac14 + \frac25 + \frac36} = \frac{115}{\frac{23}{20}} = 100\]

logo \(A=\frac14(100)=25\), \(B=\frac25(100)=40\) e \(C=\frac36(100)=50\).

Exemplo: Determinar números \(A\), \(B\) e \(C\) diretamente proporcionais a \(1\), \(10\) e \(2\) e inversamente proporcionais a \(2\), \(4\) e \(5\), de modo que \(2A+3B-4C=10\). A montagem do problema fica na forma:

\[\frac{A}{\frac12} = \frac{B}{\frac{10}4} = \frac{C}{\frac25} = \frac{2A+3B-4C}{2{\times}\frac12 + 3{\times}\frac{10}4 -4{\times}\frac25} = \frac{10}{\frac{69}{10}} = \frac{100}{69}\]

A solução é \(A=\frac12{\times}\frac{100}{69}=\frac{50}{69}\), \(B=\frac{10}4{\times}\frac{100}{69}=\frac{250}{69}\) e \(C=\frac25{\times}\frac{100}{69}=\frac{40}{69}\).

7 Regra de Sociedade

Regra de sociedade é um procedimento matemático que indica a forma de distribuir um resultado (lucro ou prejuízo) de uma sociedade, sendo que os membros podem participar com capitais distintos e tempos distintos.

Os capitais dos membros participantes são indicados por: \(C_1,C_2,\cdots,C_n\) e os respectivos tempos de participação deste capitais da sociedade por \(t_1,t_2,\cdots,t_n\). Para cada \(k=1,\cdots,n\), definimos o peso \(p_k\) de cada participante como o produto:

\[p_k = C_k t_k\]

e indicamos o capital total como a soma dos capitais participantes:

\[C = C_1 + C_2 + \cdots + C_n\]

A Regra de Sociedade é uma aplicação imediata do caso de decomposição de um valor \(C\) diretamente proporcional aos pesos \(p_1,p_2,\cdots,p_n\).

Exemplo: Foi formada uma sociedade por três pessoas \(A\), \(B\) e \(C\), sendo que \(A\) entrou com um capital de \(50.000,00\) e nela permaneceu por \(40\) meses, \(B\) entrou com um capital de \(60.000,00\) e nela ficou por \(30\) meses e \(C\) entrou com um capital de \(30.000,00\) e nela ficou por \(40\) meses. Se o resultado (pode ser um lucro ou um prejuizo) da empresa após um certo período posterior, foi de \(25.000,00\), quanto deve receber (ou pagar) cada sócio?

Os pesos de cada sócio são indicados em milhares para não termos muitos zeros nas expressões dos pesos. Desse modo:

\[p_1{=}50(40){=}2000,\quad p_2{=}60(30){=}1800,\quad p_3{=}30(40){=}1200\]

A montagem do problema exige que \(A+B+C=25000\) e além disso:

\[\frac{A}{2000} = \frac{B}{1800} = \frac{C}{1200}\]

A solução segue das propriedades das proporções:

\[\frac{A}{2000} = \frac{B}{1800} = \frac{C}{1200} = \frac{A+B+C}{5000} = \frac{25000}{5000} = 5\]

Resultado: \(A{=}5(2000){=}10000\), \(B{=}5(1800){=}9000\) e \(C{=}5(1200){=}6000\).