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Algumas vezes, precisamos apenas saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem precisar obter o resultado da divisão. Neste caso, utilizamos os critérios de divisibilidade. Na sequência, apresentamos as regras de divisibilidade por: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 29, 31 e 49.
Para saber se um número inteiro \(M\) é divisível por um outro inteiro \(N\). Insira os números inteiros, nas caixas do formulário e clique no botão apropriado. Já existem dois números para teste do programa.
No navegador, podemos digitar a linha de comando: javascript: M % N exatamente como está, na caixa com o nome do arquivo que está sendo acessado no momento.
Para saber se 960 é divisível por 45, digite: javascript: 960 % 45.
Depois, pressione ENTER para ver uma calculadora em outra página que também pode ser usada para outros cálculos.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em \(0,2,4,6,8,10,12,14,\cdots\).
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3, se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4, se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 ou 5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 e nem 5.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 se o dobro do seu último algarismo subtraído do número sem o último algarismo, resulta em um número divisível por 7. Se a diferença ainda é grande, repetimos o processo até verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.
Como 34 não é divisível por 7, o número 4261 também não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois \(128/8=16\), mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é divisível por 9.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 se a soma \(Sp\) dos algarismos de ordem par menos a soma \(Si\) dos algarismos de ordem ímpar é um número divisível por 11. Em particular, se \(Sp=Si\), o número dado é divisível por 11.
Exemplo: \(1353\) é divisível por \(11\), pois:
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem ímpar e a sua soma é: \(Si=1+5=6\). O segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: \(Sp=3+3=6\). Como a soma dos algarismos de ordem par \(Sp\) é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar \(Si\), o número \(1353\) é divisível por \(11\).
Exemplo: O número 29458$ é divisível por 11, pois:
A soma dos algarismos de ordem ímpar é \(Si=2+4+8=14\) e a soma dos algarismos de ordem par é \(Sp=9+5=14\). Como essas somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
A soma dos algarismos de ordem impar é \(Si=2+4=6\) e a soma dos algarismos de ordem par é \(Sp=5+3=8\). Como a diferença \(Sp-Si=8-6=2\) que não é divisível por 11, o número 2543 não é divisível por 11.
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois, a soma dos algarismos de ordem impar é \(Si=6+2+8=16\), a soma dos algarismos de ordem par é \(Sp=5+0=5\) e a diferença \(Si-Sp=11\), que é divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4 e a soma dos seus algarismos é múltiplo de 3.
Divisibilidade por 13: Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado com o número sem o último algarismo, resulta em um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é similar ao da divisibilidade por 7, apenas que no presente caso usamos a soma ao invés de diferença no outro caso.
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Como a última soma é divisível por 13, então o número 16562 também é divisível por 13.
Divisibilidade por 14: Um número é divisível por 14 se é par e também é divisível por 7.
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 se é divisível por 3 e também é divisível por 5.
Divisibilidade por 16: Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.
Exemplos: O número 54096 é divisível por 16 pois o número 4096, formado pelos seus quatro últimos dígitos, dividido por 16 fornece 256 que é divisível por 16. O número 45321 não é divisível por 16 pois 5321, formado pelos seus quatro últimos dígitos, não é divisível por 16.
Divisibilidade por 17: Um número é divisível por 17 se o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, produz um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.
Exemplo: 18598$ é divisível por 17 pois:
Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.
A diferença negativa, mas é divisível por 17 e o número 18598 também é divisível por 17.
Divisibilidade por 18: Um número é divisível por 18 se é par e a soma dos seus algarismos é múltiplo de 9.
Divisibilidade por 19: Um número é divisível por 19, se o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, produz um número divisível por 19. Se o número obtido ainda é grande, repetimos o processo até verificarmos a divisão por 19.
Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Como a última soma não é divisível por 19, o número 165928 não é divisível por 19.
Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Como a última Soma é o próprio 19, o número 4275 dado é divisível por 19.
Divisibilidade por 23: Um número é divisível por 23, se o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, produz um número divisível por 23. Se o número obtido ainda é grande, repetimos o processo até verificarmos a divisão por 23.
Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Como a última soma é divisível por 23, então o número 185909 é divisível por 23.
Divisibilidade por 29: Um número é divisível por 29, se o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, produz um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até verificarmos a divisão por 29.
Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?
Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a diferença obtida no processo anterior.
Como a diferença negativa não é divisível por 29, o número 8598 não é divisível por 29.
Divisibilidade por 31: Um número é divisível por 31, se o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporciona um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até verificarmos a divisão por 31.
Exemplo: 8598 é divisível por 31?
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Como a soma não é divisível por 31, o número 8598 não é divisível por 31.
Divisibilidade por 49: Um número é divisível por 49, se o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporciona um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.
Exemplo: 8598 é divisível por 49?
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Repete-se o processo com a soma obtida no processo anterior.
Como a soma não é divisível por 4$, o número 8598 não é divisível por 49.