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Este trabalho trata da Geometria Euclidiana, mas existem outros tipos de Geometria. A morte de Alexandre, o Grande, gerou várias disputas entre os generais do exército grego mas em \(306\) a.C., o controle da parte egípcia do império passou às mãos de Ptolomeu I e uma de suas primeiras criações foi uma escola ou instituto conhecido como Museu, em Alexandria. Chamou um grupo de sábios como professores, entre eles Euclides, o compilador de Os Elementos, que é o texto matemático de maior sucesso de todos os tempos. O grande organizador da geometria foi Euclides (\(300\) a.C.), cuja vida e até mesmo o local de nascimento é algo dúbio. Ele é conhecido como Euclides de Alexandria, pois lá esteve para ensinar Matemática.
Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre na Geometria. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como podemos imaginar ou formar conceitos de ponto, reta e plano, então serão aceitos sem definição.
Podemos ilustrar com as seguintes ideias para entender alguns conceitos primitivos em Geometria:
Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano, da seguinte forma:
O plano \(\alpha\) é figura rosa, o plano \(\beta\) é a figura de fundo branco e o plano \(\gamma\) é a figura amarela.Nota: Por um único ponto passam infinitas retas. De um ponto de vista prático, imagine o Polo Norte e todas as linhas meridianas (imaginárias) da Terra passam por este ponto. Numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos, mas dois pontos distintos determinam uma única reta.
Em um plano e também fora dele, há infinitos pontos.
As expressões infinitos pontos ou infinitas retas, significam tantos pontos ou retas quantas você desejar.
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta. Na figura da esquerda, os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) são colineares, pois todos pertencem à mesma reta \(r\). Na figura da direita, os pontos \(R\), \(S\) e \(T\) não são colineares, pois \(T\) não pertence à reta \(s\).
Semirretas: Um ponto \(O\) sobre uma reta \(s\), divide esta reta em duas semirretas. O ponto \(O\) é a origem comum às duas semirretas que são denominadas semirretas opostas.
O ponto \(A\) é a origem da semirreta que contém os pontos \(A\) e \(B\) e também é a origem da semirreta que contém os pontos \(A\) e \(C\), nas duas figuras saeguintes. A semirreta que contém os pontos \(A\) e \(B\) e a semirreta que contém os pontos \(A\) e \(C\) são semirretas opostas. A notação \(XY\) para uma semirreta significa uma semirreta que contém os pontos \(X\) e \(Y\).
As semirretas \(AB\) e \(AC\) estão na mesma reta, têm a mesma origem e são infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se prolongam infinitamente.
Dada uma reta \(s\) e dois pontos distintos \(A\) e \(B\) sobre esta reta, o conjunto de todos os pontos localizados entre \(A\) e \(B\), inclusive os próprios \(A\) e \(B\), recebe o nome de segmento de reta, neste caso, denotado por \(AB.\) Às vezes, é interessante trabalhar com segmentos que tem início em um ponto denominado origem e terminam em outro ponto denominado extremidade. Os segmentos de reta são classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são consecutivos se, a extremidade de um deles é também extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro.
Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares se estão numa mesma reta.
Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas situações:
Os segmentos \(AB\), \(BC\) e \(CD\) são consecutivos e colineares, mas os segmentos \(AB\) e \(CD\) não são consecutivos embora sejam colineares, mas os segmentos de reta \(EF\) e \(FG\) são consecutivos e não são colineares
Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas. No desenho seguinte \(AB\) e \(CD\) são congruentes. A congruência entre os segmentos \(AB\) e \(CD\) é denotada por \(AB \cong CD\), que se lê: \(AB\) é congruente a \(CD\), onde \(\cong\) é o símbolo de congruência.
Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas uma extremidade e não têm outros pontos em comum. \(MN\) e \(NP\) são adjacentes, tendo somente \(N\) em comum. \(MP\) e \(NP\) não são adjacentes, pois existem muitos pontos em comum.
\(M\) é o ponto médio do segmento de reta \(AB\), se \(M\) divide o segmento \(AB\) em dois segmentos congruentes, ou seja, \(AM \cong MB\). O ponto médio é o ponto de equilíbrio de um segmento de reta.
Na sequência, vamos obter o ponto médio \(M\) de um segmento de reta \(AB\), usando com régua e compasso.
Ângulos congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. No desenho seguinte, os ângulos \(a\) e \(b\) são congruentes e os ângulos \(c\) e \(d\) também são congruentes.
Duas retas são paralelas se estão em um mesmo plano e não possuem qualquer ponto em comum. Se as retas são coincidentes (a mesma reta) elas são paralelas.
É usual a notação \(a//b\), para indicar que as retas \(a\) e \(b\) são paralelas.
Propriedade da paralela: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta paralela. Este fato é verdadeiro apenas na Geometria Euclidiana, que é a Geometria do nosso cotidiano.
Construção de paralela com régua e compasso
Dada uma reta \(r\) e um ponto \(C\) fora dessa reta, podemos construir uma reta paralela à reta dada que passa por \(C\). Este tipo de construção gerou muitas controvérsias e culminou com outras definições de geometrias denominadas não Euclidianas, que mesmo sendo utilizadas na prática, não se comportam da forma usual como um ser humano olha localmente para um objeto geométrico.
Duas retas são concorrentes se possuem um único ponto em comum. Um exemplo de retas concorrentes pode ser obtido pelas linhas retas que representam ruas no mapa de uma cidade e a concorrência ocorre no cruzamento das retas (ruas).
Ângulo reto: Um ângulo que mede 90 graus. Todos os ângulos retos são congruentes. Este tipo de ângulo é fundamental nas edificações.
Retas perpendiculares: são retas concorrentes que formam ângulos de 90 graus. Usamos a notação \(a \perp b\) para indicar que as retas \(a\) e \(b\) são perpendiculares.
Propriedade da reta perpendicular: Por um ponto localizado fora de uma reta dada, pode ser traçada apenas uma reta perpendicular.
Construção da perpendicular com régua e compasso (1)
Dada uma reta e um ponto fora da reta, podemos construir uma outra reta perpendicular à primeira, da seguinte forma:
Construção da perpendicular com régua e compasso (2)
Dada uma reta e um ponto P na reta, podemos obter uma reta perpendicular à reta dada, do seguinte modo:
Uma Reta transversal a outras retas, é uma reta que tem interseção com as outras retas em pontos diferentes.
Na figura anterior, a reta \(t\) é transversal às retas \(m\) e \(n\) e estas três retas formam \(8\) ângulos, sendo que os ângulos \(3,4,5,6\) são ângulos internos e os ângulos \(1,2,7,8\) são ângulos externos. Cada par destes ângulos, recebe nomes de acordo com a localização em relação à reta transversal e às retas \(m\) e \(n\).
Ângulos alternos e colaterais ainda podem ser internos ou externos:
Propriedades das retas tranversais
Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal (em cor vermelha), os ângulos correspondentes são congruentes, isto é, têm as mesmas medidas.
Se duas retas paralelas são cortadas por uma reta transversal, os ângulos alternos internos são congruentes.
Na figura, o ângulo \(3\) também é congruente aos ângulos \(1\) e \(2\).
Quando duas retas \(r\) e \(s\) são paralelas e uma reta transversal \(t\) é perpendicular a uma das paralelas, então ela também será perpendicular à outra.
Ângulos com lados paralelos: Sejam os ângulos \(A\) e \(A'\) suplementares cujos lados são indicados pelas retas \(A_1\) e \(A_2\), e os ângulos \(B\) e \(B'\) suplementares cujos lados são indicados pelas retas \(B_1\) e \(B_2\).
Se a reta \(A_1\) é paralela à reta \(B_1\) e a reta \(A_2\) é paralela à reta \(B_2\), então os ângulos \(A\) e \(B\) são congruentes e os ângulos \(A'\) e \(B'\) também são congruentes.
Ainda temos uma outra informação que os ângulos \(A\) e \(B'\) são suplementares, da mesma forma que os ângulos \(A'\) e \(B\) são suplementares.
Um ângulo é obtido pela rotação do outro em torno do seu vértice: CSeja a situação em que dois ângulos \(A\) e \(B\) possuem lados paralelos, como no caso acima.
Se a reta \(B_1\) for rodada de um ângulo \(\theta=0\) em torno do vértice \(V_b\) para obter a reta \(R_1\) e a reta \(B_2\) for rodada de um ângulo \(\theta\) em torno do vértice \(V_b\) para obter a reta \(R_2\), ocorre a formação de dois ângulos suplementares \(R\) e \(R'\). Assim, os ângulos \(A\) e \(R\) são congruentes e os ângulos \(A'\) e \(R'\) também são congruentes.
A outra informação é que os ângulos \(A\) e \(R'\) são suplementares, da mesma forma que os ângulos \(A'\) e \(R\) são suplementares. Um importante caso particular deste fato, é quando \(\theta=90\) graus , que será explicitado abaixo.
Ângulos que possuem lados perpendiculares:
Sejam os ângulos \(A\) e \(A'\) suplementares cujos lados são indicados pelas retas \(A_1\) e \(A_2\) e, os ângulos \(B\) e \(B'\) suplementares cujos lados são indicados pelas retas \(B_1\) e \(B_2\).
Se a reta \(A_1\) é perpendicular à reta \(B_1\) e a reta \(A_2\) é perpendicular à reta \(B_2\), então os ângulos \(A\) e \(B\) são congruentes e os ângulos \(A'\) e \(B'\) também são congruentes.
Temos outra informação que os ângulos \(A\) e \(B'\) são suplementares, da mesma forma que os ângulos \(A'\) e \(B\) são suplementares.
Ângulos de lados perpendiculares: são ângulos cujos lados são perpendiculares e nesse caso, podem ser congruentes ou suplementares.
Nos exercícios abaixo, você deve obter as medidas dos ângulos, a partir de cada figura anexada.
