Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Geometria
Ângulos
Giovana K.A.M.Viana
Sônia F.L.Toffoli
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Segmentos de reta e semirretas

Um segmento de reta orientado AB é um segmento de reta que tem início em A e extremidade final em B.

Uma semirreta orientada AB é a parte de uma reta que tem início em A, passa por B e se prolonga indefinidamente.

2 O conceito de ângulo

Ângulo é a reunião de dois segmentos de reta orientados (ou duas semirretas orientadas) a partir de um ponto comum.

A interseção entre os dois segmentos (ou semirretas) é o vértice do ângulo e os lados do ângulo são os dois segmentos (ou semirretas).

Nota: Mostraremos nas notas históricas que não existe uma definição bem estabelecida de ângulo.

Podem ser usadas três letras, por exemplo AOC ou AÔC para representar um ângulo, sendo que a letra do meio O representa o vértice, a primeira letra A representa um ponto do primeiro segmento de reta (ou semirreta) e a terceira letra C representa um ponto do segundo segmento de reta (ou semirreta).

Usamos a notação \(\angle\) para um ângulo, como por exemplo: \(\angle{AOC}\).

O mesmo ângulo poderia ser representado pelas letras COA, e neste caso, deve ficar claro que foi escolhido como primeiro segmento (ou semirreta) aquele que contém o ponto C, enquanto que o segundo segmento (ou semirreta) foi escolhido como aquele que contém o ponto A, sendo o vértice do ângulo o mesmo da situação anterior.

Um ângulo pode ser orientado da seguinte forma. Centramos um compasso no vértice O do ângulo e com uma certa abertura positiva (raio) traçamos um arco de circunferência a partir de um ponto A localizado em um dos segmentos (ou semirretas) até que este arco toque o outro segmento de reta (ou semirreta) em um ponto B.

O ângulo AOB está orientado positivamente se o arco foi construído no sentido anti-horário enquanto o ângulo BOA está orientado negativamente, isto é, o arco foi construído no sentido horário, aquele sentido seguido pelos ponteiros de um relógio.

Quando não há dúvida ou necessidade de orientação, podemos indicar o ângulo simplesmente pela letra que representa o vértice, como por exemplo: O. Uma outra notação para ângulo é AOB, onde O é o vértice do mesmo e as letras A e B localizadas nos lados do ângulo.

3 Notas históricas sobre ângulos

O conceito de ângulo aparece primeiramente em materiais gregos no estudo de relações envolvendo elementos de um círculo junto com o estudo de arcos e cordas. As propriedades das cordas, como medidas de ângulos centrais ou inscritas em círculos, eram conhecidas desde o tempo de Hipócrates e talvez Eudoxo tenha usado razões e medidas de ângulos na determinação das dimensões do planeta Terra e no cálculo de distâncias relativas entre o Sol e a Terra. Eratóstenes de Cirene (276 a.C.-194 a.C) já tratava de problemas relacionados com métodos sistemáticos de uso de ângulos e cordas.

Desde os tempos mais antigos, os povos olham para o céu na tentativa de encontrar respostas para a vida tanto na Terra bem como entender os corpos celestes que aparecem à nossa vista. Assim, a Astronomia talvez tenha sido a primeira ciência a incorporar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática.

Na determinação de um calendário ou de uma hora do dia, havia a necessidade de realizar contagens e medidas de distâncias. Frequentemente, o Sol servia como referência e a determinação da hora dependia da inclinação do Sol e da relativa sombra projetada sobre um certo indicador (relógio de Sol).

Para obter a distância que a Lua estava acima do horizonte, dever-se-ia calcular uma distância que nunca poderia ser medida por um ser humano comum. Para resolver este problema, esticava-se o braço e se calculava quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte ou então, segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e se media a distância.

Os braços deveriam permanecer bem esticados para que a resposta fosse a mais fiel possível. A medida era diferente de uma medida comum e este modo foi o primeiro passo para medir um ângulo, objeto este que se tornou importantíssimo no contexto científico.

Na verdade, não se sabe quando o homem começou a medir ângulos, mas se sabe que estes eram medidos na Mesopotâmia e eram muito bem conhecidos quando Stonehenge foi construída, 2000 a.C.

Quanto ao conceito de ângulo, temos algumas definições:

Grécia antiga: Um ângulo é uma deflexão ou quebra em uma linha reta.

Euclides: Um ângulo plano é a inclinação recíproca de duas retas que num plano têm um extremo comum e não estão em prolongamento.

Em 1893, H.Schotten resumiu as definições de ângulo em três tipos:

  1. A diferença de direção entre duas retas;
  2. A medida de rotação necessária para trazer um lado de sua posição original para a posição do outro, permanecendo entrementes no outro lado do ângulo;
  3. A porção do plano contida entre as duas retas que definem o ângulo.

Em 1634, P.Henrigone definiu ângulo como um conjunto de pontos, definição esta que tem sido usada com mais frequência. Neste trabalho, aparece pela primeira vez o símbolo < para representar ângulo.

4 Ângulos consecutivos e adjacentes

Ângulos consecutivos: Dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.

  1. AÔC e BÔC são consecutivos e OC é o lado comum.
  2. AÔB e BÔC são consecutivos e OB é o lado comum.
  3. AÔB e AÔC são consecutivos e OA é o lado comum.

Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns. Na figura em anexo AÔB e BÔC são ângulos adjacentes.

5 Ângulos opostos pelo vértice

Sejam duas retas concorrentes cuja interseção seja o ponto O. Estas retas determinam quatro ângulos. Os ângulos que não são adjacentes são opostos pelo vértice.

Na figura anterior AÔB e CÔD são ângulos opostos pelo vértice e também AÔD e BÔC são ângulos opostos pelo vértice.

6 Ângulos congruentes

A congruência entre ângulos é uma noção primitiva. Dizemos que dois ângulos são congruentes se, superpostos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem.

Na figura em anexo, temos que ABC e DEF são ângulos congruentes. Usamos a notação \(\cong\) para denotar o símbolos de congruência de ângulos. Dois ângulos opostos pelo vértice são sempre congruentes.

7 Medida de um ângulo

A medida de um ângulo indicada por \(m(AÔB)\) é um número real positivo associado ao ângulo de tal forma que satisfaz as segintes condições:

  1. Ângulos congruentes possuem medidas iguais e, ângulos que com medidas iguais são congruentes. Assim, \(AÔB \cong DÊF\) se, e somente se, \(m(AÔB)=m(DÊF)\).
  2. Quando afirmamos que um ângulo é maior do que outro, isto significa que a sua medida é maior do que a medida deste outro. Assim: \(AÔB>DÊF\), equivale a afirmar que \(m(AÔB)>m(DÊF)\).
  3. A partir de dois ângulos dados, podemos obter um terceiro ângulo, cuja medida corresponde à soma das medidas dos ângulos dados.

Se \(m(AÔB)\) é a medida do ângulo AÔB e \(m(BÔC)\) é a medida do ângulo BÔC, escrevemos \(AÔC \cong AÔB+BÔC\) e além disso:

\[m(AÔC) = m(AÔB)+m(BÔC)\]

8 Unidades de medida de ângulos

A unidade de medida de ângulo no Sistema Internacional é o radiano e o processo para obter um radiano é o seguinte:

Tomamos um segmento de reta OA. Com um compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçamos um arco de circunferência AB, sendo que B deve pertencer ao outro lado do ângulo AOB. Se o comprimento do arco AB for igual ao comprimento do segmento OA, dizemos que este ângulo tem medida igual a 1 radiano ou 1 rad.

Um modo prático de visualizar isto, é tomar uma reta horizontal passando pelo centro de uma circunferência. Indicamos o ponto A como uma das interseções da circunferência com a reta horizontal. Tomamos um barbante com a mesma medida do raio OA da circunferência.

Fixamos uma das extremidades do barbante sobre o ponto A e esticamos o barbante sobre a circunferência até atingir o ponto B, que coincide com a outra extremidade do barbante. Traçamos então o segmento de reta OB, que representa o outro lado do ângulo AOB. A medida do ângulo AOB é igual a 1 radiano.

Uma outra unidade muito usada nos primeiros níveis educacionais é o grau, que é obtido pela divisão da circunferência em 360 partes iguais, obtendo-se assim um ângulo de 1 grau, sendo que a notação desta medida utiliza um pequeno o como expoente do número, como \(1^0\).

Exemplo: Em geral, associa-se um número a um ângulo estabelecendo a razão entre este ângulo e outro ângulo tomado como unidade.

Multiplicando um ângulo de 1 radiano por \(\pi\), obtemos um ângulo \(A=\pi\) rad, cuja medida corresponde a 180 graus.

Pergunta: Você conhece a razão pela qual o círculo é dividido em \(360\) partes? Leia as notas históricas que seguem.

Existe uma outra unidade de medida muito menos conhecida, denominada grado. 1 grado é a medida de um ângulo de uma volta completa (360 graus) de uma circunferência por 400.

9 Notas sobre o grau e o radiano

Sobre os elementos geométricos relacionados com a Astronomia pouco se conhece. Sabe-se que Aristarco propôs um sistema que tinha o Sol como centro pelo menos 1500 antes de Copérnico, mas este material histórico se perdeu no tempo. Do ponto de vista histórico, o qu restou foi um tratado escrito por volta de 260 a.C. envolvendo tamanhos e distância do Sol à Terra e da Lua à Terra.

A divisão do círculo em 360 partes iguais aparece mais tarde e uma razão para isso era que o ano tinha 360 dias. Talvez exista outra razão histórica que justifique a existência de tal número no contexto de estudos do povo babilônio, que viveu entre 4000 a.C. e 3000 a.C. Este povo realizava muitos estudos no trato de terrenos pantanosos e construções de cidades e tinha interesse pela Astronomia assim como pela sua relação com conceitos religiosos (eram politeistas) e para viabilizar tais procedimentos, criaram um sistema de numeração com base 60 (sistema hexagesimal).

Não se sabe quais as razões pelas quais, foi escolhido o número 360 para se dividir a circunferência, sabe-se apenas que o número 60 tem dois dígitos e possui uma grande quantidade de divisores distintos:

Divisores de 60
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

razão forte pela qual este número tenha sido adotado.

O primeiro astrônomo grego a dividir o círculo em 360 partes foi Hipsicles (\(180\) a.C.), seguido pelos caldeus. Por volta de 150 a.C. encontramos uma generalização de Hiparco para este procedimento.

Dividir um círculo em 6 partes iguais era algo muito simples para os especialistas da época e é possível que se tenha usado o número 60 para representar \(1/6\) do total que passou a ser 360.

Outro fato que pode ter influenciado na escolha do número 360 é que o movimento de translação da Terra em volta do Sol se realizava em um período aproximado de 360 dias, o que era uma estimativa razoável para a época. Hiparco mediu a duração do ano com grande exatidão ao obter 365,2467 dias, sendo que atualmente esta medida corresponde a 365,2222 dias.

Entendemos que o sistema sexagesimal (base 60) tenha influenciado a escolha da divisão do círculo em 360 partes iguais, bem como a divisão de cada uma dessas partes em 60 partes menores e também na divisão de cada uma dessas subpartes em 60 partes menores. Uma garantia para isto é, que os babilônios usavam frações com potências de 60 no denominador. As frações sexagesimais babilônicas, usadas em traduções árabes de Ptolomeu, eram traduzidas como:

  1. primeiras menores partes = sexagésimos.
  2. segundas menores partes = sexagésimos de sexagésimos.

Quando tais palavras foram traduzidas para o Latim, que foi a língua internacional dos intelectuais por muito tempo, passamos a ter:

  1. primeiras menores partes = partes minutae primae.
  2. segundas menores partes = partes minutae secundae.

de onde apareceram as palavras minuto e segundo.

De um modo popular, usamos a unidade de medida de ângulo com graus, minutos e segundos. Na verdade, a unidade de medida de ângulo do Sistema Internacional é o radiano, que foi uma unidade alternativa criada pelo matemático Thomas Muir e o físico James T.Thomson, de modo independente. O termo radian apareceu pprimeiramente em um trabalho de Thomson em 1873.

Em 1884, muitos cientistas ainda não usavam este termo. Outros termos para o radiano eram: Pi-medida, circular ou medida arcual, o que mostra a forma lenta como uma unidade é implementada ao longo do tempo.

10 Alguns ângulos especiais

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como: reto, agudo, obtuso e raso.

  1. Ângulo agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. Ao lado temos um ângulo de 45 graus.
  2. Ângulo reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90 graus. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
  3. Ângulo obtuso: Um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. Na figura seguinte temos o exemplo de um ângulo obtuso de 135 graus.
  4. Ângulo raso: Ângulo que mede exatamente 180 graus, os seus lados são semirretas opostas. Neste caso os seus lados estão localizados sobre uma mesma reta.

O ângulo reto (de 90 graus) talvez seja o ângulo mais importante, pois o aparece em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc

Um ângulo de 360 graus é o ângulo correspondente a uma (1) volta completa em um círculo. Este ângulo inicia com o ângulo de zero graus e termina com a medida de 360 graus (360 graus).

Nota: É possível obter ângulos maiores do que 360 graus mas os lados destes ângulos coincidem com os lados dos ângulos menores do que 360 graus na medida que ultrapassa 360 graus. Para obter tais ângulos basta subtrair 360 graus do ângulo até que este seja menor do que 360 graus.

Por exemplo um ângulo de 400 graus equivale a um ângulo de 40 graus pois: 400-360=40 (graus).

11 Transferidor

Para obter a medida aproximada de um ângulo traçado em um papel, usamos um instrumento denominado transferidor, que contém um segmento de reta em sua base e um semicírculo na parte superior marcado com unidades de 0 a 180. Alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os sentidos do arco para realizar a medida do ângulo sem muito esforço.

Para medir um ângulo, coloque o centro do transferidor (ponto 0) no vértice do ângulo, alinhe o segmento de reta \(OA\) (ou \(OE\)) com um dos lados do ângulo e o outro lado do ângulo determina a medida do ângulo, como mostra a figura seguinte:

Temos que m(AÔC)=70 graus. Na figura acima, podemos ler diretamente as medidas (em graus) dos seguintes ângulos:

Ângulo 1 Ângulo 2
m(AÔB)= 27 m(EÔB)=153
m(AÔC)= 70 m(EÔC)=110
m(AÔD)=120 m(EÔD)= 60
m(AÔE)=180 m(EÔA)=180

Nota: Os ângulos AÔB e EÔB são suplementares. O mesmo acontece com os pares de ângulos: AÔC e EÔC, AÔD e EÔD.

Exemplos:

  1. O ângulo BÔC (em graus) pode ser medido mudando a posição do transferidor ou subtraindo dois ângulos conhecidos.
    \(m(BÔC)=m(AÔC)-m(AÔB)=70-26=44^0\)
  2. O ângulo \(DÔB\) (em graus) pode ser medido mudando a posição do transferidor ou subtraindo dois ângulos conhecidos.
    \(m(DÔB)=m(EÔB)-m(EÔD)=154-60=94^0\)

12 Subdivisões do grau

Em problemas reais, medidas de ângulos nem sempre são números inteiros, e devemos usar outras unidades menores como minutos e segundos. A notação para 1 minuto é \(1'\) e a notação para 1 segundo é \(1''\).

Unidade No. de unidades Notação
1 ângulo reto 90 graus \(90^0\)
1 grau 60 minutos \(60'\)
1 minuto 60 segundos \(60''\)

Assim

  1. 1 grau = 1 ângulo reto dividido por 90.
  2. 1 minuto = 1 grau dividido por 60.
  3. 1 segundo = 1 minuto dividido por 60.

Exemplo: Expressar a medida do ângulo \(35^{\circ}48'36''\) como fração decimal do grau.

\[\begin{align*} 35^{\circ} 48'36'' & = 35^{\circ} + 48' + 36'' \\ & = 35^{\circ} + (48/60)^{\circ} + (36/3600)^{\circ} \\ & = 35^{\circ} + 0,80^{\circ} + 0,01^{\circ} \\ & = 35,81^{\circ} \\ \end{align*}\]

13 Alguns exercícios resolvidos

  1. Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de cada relógio?

    Solução: No relógio lilás, o menor ângulo formado pelos ponteiros é de aproximadamente 120 graus enquanto que no relógio verde o menor dos ângulos formados pelos ponteiros é de aproximadamente 150 graus.
  2. Para expressar \(2/3\) de 1 grau em minutos, basta tomar:
    \[(2/3)^0 = \frac23 {\times} 60' = 40'\]
  3. Para escrever \(48'\) como uma parte fracionária do grau, basta tomar:
    \[48'=(48/60)^0=(4/5)^0= \frac45 \times 1^0\]
  4. Para expressar \(3/4\) de \(1'\) em segundos, tomamos
    \[(3/4)' = (3/4){\times}60'' = 45''\]
  5. Utilizando o gráfico

    verificar que a medida indicada (apenas pelo ângulo) na terceira coluna da tabela seguinte é correta.
    Ângulo1Ângulo2Ângulo3
    \(AÔC\)\(AÔB\)\(BÔC\)
    \(62^0 20'\)\(32^0 40'\)\(18^0 40'\)
    \(AÔC\)\(BÔC\)\(AÔB\)
    \(61^0 42'\)\(19^0 3'20''\)\(42^0 38'\)
    \(AÔB\)\(BÔC\)\(AÔC\)
    \(43^0 42'20''\)\(21^0 49'52''\)\(65^032'12''\)
    \(AÔC\)\(AÔB\)\(BÔC\)
    \(64^0 18'\)\(45^0 25'34''\)\(18^0 52'26''\)
  6. Na figura

    as retas AC e BD se intersectam no ponto O. Pergunta-se:
    1. Quais são ângulos agudos? Resposta: BÔA e CÔD.
    2. Quais são ângulos obtusos? Resposta: BÔC e DÔA.
    3. Quais são os nomes de quatro pares de ângulos suplementares? Resposta: São DÔC e CÔB, CÔB e BÔA, BÔA e DÔA, BÔA e CÔD.
    4. Quais ângulos são opostos pelo vértice? Resposta: DÔC e AÔB, AÔD e BÔC.
    5. Identifique dois ângulos adjacentes ao ângulo DÔA. Resposta: BÔA e DÔC.

Exemplo: Mostramos que ângulos opostos pelo vértice são congruentes.

Realmente, se m(AÔB)=\(x\), m(CÔD)=\(y\) e m(CÔB)=\(z\), como os pares de ângulos AÔB, BÔC e BÔC, CÔD são suplementares, temos que \(x+z=180\) graus e \(y+z=180\) graus , portanto \(x=y\), o que implica que os ângulos AÔB e CÔD são congruentes.

Problemas:

  1. A soma de dois ângulos adjacentes é 120 graus. Calcule a medida de cada ângulo, sabendo que a medida de um deles é o triplo da medida do outro menos 40 graus.
    Solução: Se \(x\) e \(y\) são as medidas dos ângulos, temos duas equações: \(x+y=120\) graus e \(x=3y-40\) graus. Resolvendo este sistema, obtemos \(x=40\) graus e \(y=80\) graus .
  2. Dois ângulos são suplementares, e a medida de um deles é 24 graus menor que o dobro da medida do outro.Calcule a medida de cada ângulo.
    Solução: Se \(x\) e \(y\) são as medidas dos ângulos, \(x+y=180\) graus e \(x=2y-24\) graus, então \(x=112\) graus e \(y=68\) graus .
  3. Um entre dois ângulos complementares tem medida 18 graus menor do que o dobro da medida do outro. Calcule as medidas de cada ângulo.
    Solução: Medidas dos ângulos: 36 graus e 54 graus .
  4. Dois ângulos complementares têm medidas respectivamente iguais a \(3x-10\) e \(2x+10\). Obter a medida de cada ângulo.
    Solução: Os ângulos medem 44 graus e 46 graus .
  5. Em quantos graus, a medida do suplementar de um ângulo agudo excede a medida do complementar deste ângulo?
    Solução: Se \(x\) é a medida do ângulo, então a medida do suplementar de \(x\) é igual a \(180-x\) graus e a medida do complementar de \(x\) é igual a \(90-x\) graus, logo, a medida do suplementar de \(x\) que excede a medida do complementar de \(x\) é igual 90 graus.
  6. Se \(3x-15\) graus é a medida de um ângulo agudo, que restrições devemos ter para o número \(x\)?
    Solução: O ângulo agudo mede \(3x-15\). Temos que um ângulo agudo deve medir mais do que zero graus e menos do que 90 graus, assim, \(0<3x-15<90\), logo \(5<x<35\).
  7. A soma das medidas de dois ângulos complementares é 86 graus maior do que a diferença de suas medidas. Calcule a medida de cada ângulo.
    Solução: Os ângulos medem: 4 graus e 47 graus.

14 Interior e exterior de um ângulo

O interior do ângulo AÔB é a interseção do semi-planos \(\alpha_1\) com origem na reta OA e que contém o ponto B e do semi-plano \(\alpha_2\) com origem em OB e que contém o ponto A.

Assim, podemos obter o interior do ângulo AÔB, como a interseção desse semi-planos, isto é:

\[\text{Interior de AÔB } = \alpha_1 \cap \alpha_2\]

Se um ângulo é menor do que um ângulo raso, o interior deste ângulo é uma região convexa, o que significa que quaisquer dois pontos contidos no interior do ângulo são extremidades de um segmento de reta inteiramente contido nesta região.

Os pontos do interior de um ângulo são pontos internos ao ângulo e a reunião de um ângulo com seu interior é um setor angular, também conhecido como ângulo convexo. Alguns autores definem desta forma um ângulo.

O exterior do ângulo AÔB é o conjunto dos pontos que não pertencem nem ao ângulo AÔB nem ao interior de AÔB.

O exterior de AÔB é a reunião de dois semi-planos, o semi-plano \(\beta_1\) com origem na reta OA e que não contém o ponto B e o semi-plano \(\beta_2\) com origem em OB e que não contém o ponto A. Assim, basta tomar a reunião desses dois semi-planos:

\[\text{Exterior de AÔB } = \beta_1 \cup \beta_2\]

Se um ângulo é menor do que um ângulo raso, o exterior deste ângulo é uma região côncava, isto quer dizer que não é uma região convexa. Os pontos do exterior de um ângulo são pontos externos ao ângulo e a reunião do ângulo com seu exterior, também é conhecida como ângulo côncavo.

15 Ângulos complementares, suplementares e replementares

Dois ângulos são:

  1. complementares: Se a soma de suas medidas é igual a 90 graus e um ângulo é o \(\color{red}{com}\)plemento do outro.
  2. suplementares: Se a soma de suas medidas é igual a 180 graus e um ângulo é o \(\color{red}{su}\)plemento do outro.
  3. replementares: Se a soma de suas medidas é igual a 360 graus e um ângulo é o \(\color{red}{re}\)plemento do outro.
Situação Cálculo (graus) Gráfico
Complemento de \(x\) \(90-x\)
Suplemento de \(x\) \(180-x\)
Replemento de \(x\) \(360-x\)