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A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e usar alguns procedimentos matemáticos.
Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla \(PV\).
Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas.
| Regime | Processo de funcionamento |
|---|---|
| Simples | Somente o principal rende juros. |
| Compostos | Após cada período, os juros são incorporados |
| ao Capital, proporcionando juros sobre juros. |
Notações comuns que são utilizadas neste material
| Símbolo | Representação |
|---|---|
| C | Capital |
| n | número de períodos |
| j | juros simples decorridos n períodos |
| J | juros compostos decorridos n períodos |
| r | taxa percentual de juros |
| i | taxa unitária de juros (i=r/100) |
| P | Principal ou valor atual |
| M | Montante de capitalização simples |
| S | Montante de capitalização composta |
Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos devem ser respectivamente, mensais, trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentes ou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões de unidades.
Exemplo: Na fórmula
a taxa unitária de juros \(i\) deve estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos \(n\), ou seja, se a taxa é \(i=0,05\) ao mês, então \(n\) deve ser um número em meses.
Se \(n\) é o numero de periodos, \(i\) é a taxa unitária ao período e \(P\) é o valor principal, então os juros simples são calculados por:
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de \(14\%\) ao ano são dados por:
Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituimos \(i\) por \(r/100\) e obtemos a fórmula:
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital \(P=1.250,00\) durante 4 anos à taxa de \(14\%\) ao ano são dados por:
Se a taxa é \(r\%\) ao mês, usamos \(m\) como o número de meses e a fórmula:
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de \(2\%\) ao mês são dados por:
Se a taxa é \(r\%\) ao dia, usamos \(d\) como o número de dias para obter os juros exatos (número exato de dias) ou comerciais simples com a fórmula:
Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de \(0,02\%\) ao dia são dados por:
Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses do ano de 1999 (181 dias), à taxa de \(0,2\%\) ao dia, são dados por:
Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Em inglês, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla \(FV\). O montante é obtido por uma das fórmulas:
Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de \(150\%\) ao ano, quantos meses são necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples?
Desenvolvimento: Como \(2P=P(1+1,5 n)\), então \(2=1+1,5 n\), logo \(n=2/3\) de um ano = 8 meses.
Exemplo: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa \(i=100\%\) ao ano se o valor principal é \(P=1.000,00\) e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deve ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?
Contagem do tempo:
| Período | No. de dias |
|---|---|
| De 10/01 até 31/01 | 21 dias |
| De 01/02 até 28/02 | 28 dias |
| De 01/03 até 31/03 | 31 dias |
| De 01/04 até 12/04 | 12 dias |
| Total | 92 dias |
Fórmula para o cálculo dos juros exatos:
Cálculo:
Apresentamos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa. O internauta interessado em obter mais detalhes, pode acessar outro link que construímos sobre Fluxo de caixa. Em nossa Página, existem muitos outros links sobre Matemática Financeira que construímos para dar suporte a este curso.
Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em determinados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações.
A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é uma coisa comum e pode ser realizada sem problema.
Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de 5.000,00 em uma conta que rende juros de \(4\%\) ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores de \(1.000,00\) durante os 5 meses seguintes. No 6o. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destes depósitos.
Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitos matemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.
Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) \(S\) obtido pela aplicação de um único valor principal \(P\) no instante \(t=0\), à taxa \(i\) de juros (por período) durante \(n\) períodos.
Exemplo: Considere a situação hipotética tal que, em 1994 a correção da caderneta de poupança tenha sido de \(50\%\) em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou \(100,00\) em 01/01/94, poderíamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.
| Tempo | Data | Principal | Juros | Montante |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 01/01/94 | 100,00 | 0 | 100,00 |
| 1 | 01/02/94 | 100,00 | 50,00 | 150,00 |
| 2 | 01/03/94 | 150,00 | 75,00 | 225,00 |
| 3 | 01/04/94 | 225,00 | 112,50 | 337,50 |
| 4 | 01/05/94 | 337,50 | 168,75 | 506,20 |
| 5 | 01/06/94 | 506,25 | 253,13 | 759,38 |
Os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aos montantes dos finais dos meses anteriores.
Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)
A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5. Assim:
Em geral:
onde
Nota: A taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos com respeito à unidade de tempo.
A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal \(P\), da taxa \(i\) ao período e do número de períodos \(n\), é dada por:
Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de \(150\%\) ao ano, quanto tempo é necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?
Objetivo: \(S=2P\), Taxa anual: \(i=150/100=1,5\).
A fórmula é dada por:
Solução: \(2P=P(1+1,5)^n\), logo
Resolvemos esta última equação aplicando logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:
Nota: Tábua de logaritmo imediata na Web.
Para obter o logaritmo de um número \(N\) na base natural, basta trocar \(N\) pelo número desejado e escrever:
javascript:Math.log(N)
na caixa branca do seu navegador que indica Endereço (Location) desta página. Após obter o resultado, use o botão voltar (back) para contínuar os estudos. Uma forma alternativa é copiar a linha em azul para o Endereço, pressionando a seguir a tecla ENTER para obter o resultado.
Se \(i\) é a taxa ao período, \(n\) é o número de períodos, definimos o Fator de Acumulação de Capital ou Fator de \(P\) para \(S\), denotado por \(FAC(i,n)\) ou \(FPS(i,n)\), como:
Agora, podemos escrever o montante composto \(S\) como o produto do valor Principal \(P\) por FAC(i,n):
Utilidade: O \(FAC(i,n)=(1+i)^n\) pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se a taxa \(i\), soma-se 1, aperta-se o sinal \(\times\) (multiplicação) e a seguir tecla-se o sinal de igualdade \(n-1\) vezes.
Algumas variantes da fórmula do Montante Composto, são:
Uma variamte da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual \(P\) de um capital futuro conhecido \(S\).
Se \(i\) é a taxa ao período, \(n\) é o número de períodos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator de Desconto, denotado por \(FVA(i,n)\) ou \(FSP(i,n)\) como o inverso de \(FAC(i,n)=FPS(i,n)\):
Utilidade: O \(FVA(i,n)=(1+i)^{-n}\) pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente não executam potências. Digita-se a taxa \(i\), soma-se 1, aperta-se o sinal \(\times\) (multiplicação) e o sinal \(=\) (de igualdade) \(n-1\) vezes para obter \(FAC(i,n)\) e a seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal \(=\) (igual) para obter o \(FVA(i,n)\), que é o inverso do \(FAC(i,n)\).
Os juros compostos podem ser caslculados pela fírmula:
Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa \(i=100\%\) ao ano se o Principal é \(1.000,00\) e a dívida foi contraída no dia 10/01/94 e deve ser paga em 12/04/94?
Solução: A contagem dos dias corresponde a \(d=92\) dias.
Dúvida: Qual deve ser a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período é indicado em uma unidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:
Principal: \(P=1000\); Taxa anual: \(i=100/100=1\). A fórmula empregada é:
Solução:
Teste: Você saberia obter a raiz quarta de um número com uma calculadora que só extrai a raiz quadrada? E a raiz oitava de um número que só extrai a raiz quadrada?
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira.
Sobre taxas, existe uma interessante observação do Prof. José Dutra Vieira Sobrinho, na introdução do Cap.6 do seu livro Matemática Financeira:
No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas de juros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre as partes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira poluição de taxas de juros.
Se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:
A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplos:
| Taxa | Período | Capitalização | Formação |
|---|---|---|---|
| \(1200\%\) | ao ano | com capitalização | mensal |
| \(450\%\) | ao semestre | com capitalização | mensal |
| \(300\%\) | ao ano | com capitalização | trimestral |
A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
Exemplos:
| Taxa | Período | Capitalização | Formação |
|---|---|---|---|
| \(120\%\) | ao mês | com capitalização | mensal |
| \(450\%\) | ao semestre | com capitalização | semestral |
| \(1300\%\) | ao ano | com capitalização | anual |
Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela inflação do período da operação.
Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real \(i_{real}\) não é a diferença entre a taxa efetiva \(i_{efe}\) e a taxa da inflação \(i_{inf}\), mas existe uma relação íntima entre as três taxas, dadas por:
Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de \(30\%\) e um valor aplicado no início do mês produziu um rendimento global de \(32,6\%\) sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a \(1,326\) sobre cada 1 unidade monetária aplicada. Assim, a variação real \(var\) no final deste mês, será definida por:
que pode ser calculada por:
isto é:
o que significa que a taxa real no período, foi de:
Aplicação em poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona um rendimento real de \(0,5\%\) ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa da inflação \(i_{inf}\), isto é, deve ser multiplicado por \(1+i_{inf}\) e depois multiplicado por \(1+0,5\%=1,005\).
Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de \(670.890,45\) no dia 30/04/93 e a taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de \(35,64\%\) entao ele deveria ter em sua conta no dia 30/05/93, o valor de:
Duas taxas \(i_1\) e \(i_2\) são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital \(P\) durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.
Exemplo: A aplicação de \(1.000,00\) à taxa de \(10\%\) ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicação com a taxa de \(33,1\%\) ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.
Tomando \(P=1.000,00\), \(i_1=0,1\) ao mês e \(n_1=3\) meses, segue pela fórmula do Montante composto, que :
Tomando \(P=1.000,00\), \(i_2=33,1\%\) ao trimestre e \(n_2=1\) trimestre e usando a fórmula do Montante composto, obtemos:
Logo \(S_1=S_2\) e a taxa de \(33,1\%\) ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de \(10\%\) ao mês no mesmo trimestre.
Nota sobre taxas equivalentes: Afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de \(300\%\) ao ano capitalizada mensalmente, significa uma taxa de \(25\%\) que está sendo aplicada mês a mês, pois:
Analogamente, a taxa nominal de \(300\%\) ao ano corresponde a uma taxa de \(75\%\) aplicada a cada trimestre, porque:
Deve ficar claro que estas não são taxas efetivas.
Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processos de capitalização de um mesmo Principal \(P\) para obter um mesmo montante \(S\).
Tomamos \(i_a\) uma taxa ao ano e \(i_p\) uma taxa ao período \(p\), sendo que este período poderá ser: 1 semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro que tomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 ano é indicado por \(Np\).
Exemplo: 1 ano tem: 2 semestres, 3 quadrimestres, 4 trimestres, 12 meses, 24 quinzenas e 360 dias.
A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:
onde
Situações possíveis com taxas equivalentes
Exemplo: Qual é a taxa efetiva equivalente à taxa de \(12\%\) ao ano capitalizada mês a mês?
A frase: \(12\%\) ao ano capitalizada mês a mês
, significa que devemos dividir \(12\%\) por 12 (número de meses de 1 ano) para obter a taxa aplicada a cada mês. Se estivesse escrito \(12\%\) ao ano capitalizada trimestralmente deveríamos tomar a taxa igual a \(12\%\) ao trimestre dividida por 4 (número de trimestres de 1 ano) que é \(3\%\).
Vamos observar o fluxo de caixa da situação:
Solução: A taxa mensal é \(i_1=12\%/12=1\%=0,01\), assim a taxa efetiva é obtida por:
logo
Nota: Se \(i_{\text{inflação}}=0\), a taxa real equivale à taxa efetiva.
Exemplo: A taxa mensal efetiva, denotada por \(i_m\), equivale à taxa anual \(i_a=12\%\), é dada pela fórmula:
Como \(i_a=12\%=0,12\) basta obter \(i_m\) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter:
Existem outros modos para resolver esta equação exponencial mas vamos aplicar o logaritmo na base 10 a ambos os lados da igualdade para obter:
assim
Usando esta igualdade e elevando ambos os membros à potência 10, obtemos
assim
e finalmente obtemos
Se você não lembra mas tem interesse em estudar o assunto, visite o link Logaritmos nesta mesma Página Matemática Essencial, que possui coisas interessantes sobre o assunto.
Nota: Interprete os últimos exemplos com muito cuidado!
Notações comuns na área de descontos:
Desconto é a diferença entre o Valor Nominal \(N\) de um título (futuro) e o Valor Atual \(A\) deste mesmo título.
Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).
Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais.
Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital \(P\) na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal \(N\) do título.
| Desconto por fora | Juros simples |
|---|---|
| \(D = N i n\) | \(j = P i n\) |
| \(N\) é o Valor Nominal | \(P\) é o Valor Principal |
| \(i\) é a taxa de desconto | \(i\) é a taxa de juros |
| \(n\) é o no. de períodos | \(n\) é o no. de períodos |
O valor atual no desconto por fora, é calculado por:
Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital \(P\) na fórmula de juros simples pelo Valor Atual \(A\) do título.
O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.
| Desconto por dentro | Juros simples |
|---|---|
| \(D = A i n\) | \(j = P i n\) |
| \(A\) é o Valor Atual | \(P\) é o Valor Principal |
| \(i\) é a taxa de desconto | \(i\) é a taxa de juros |
| \(n\) é o no. de períodos | \(n\) é o no. de períodos |
Como no desconto por dentro, \(N=A+D=A+Ain\), o valor atual é dado por:
Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal \(P\) pelo Valor Nominal \(N\) do título.
| Desconto composto por fora | Juros compostos |
|---|---|
| \(A = N(1-i)^n\) | \(S = P(1+i)^n\) |
| \(A\) é o Valor Atual | \(P\) é o Valor Principal |
| \(i\) é a taxa negativa de desconto | \(i\) é a taxa de juros |
| \(n\) é o no. de períodos | $$n é o no. de períodos |
Apenas para fins didáticos, vamos obter a fórmula para o cálculo deste desconto, que é obtida por aplicações repetidas do desconto simples para 1 período.
Para \(n=1\), o desconto composto por fora, funciona como o desconto simples por fora, logo:
onde \(A_1\) é o valor atual do título com valor nominal \(N\).
Para \(n=2\), devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora \(N\) por \(A_1\), para obter \(A_2\), isto é:
Com este raciocínio, temos que, para cada número natural \(n\):
Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:
Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito usado no Brasil.
Se \(D = N-A\) e \(N=A(1+i)^n\), então
O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual \(A\) como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal \(N\) como o montante desta aplicação, levando em consideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.
Exemplo a: Obter o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é \(10.000,00\), se o prazo de vencimento é de \(n=5\) meses e a taxa de desconto é de \(3,5\%\) ao mês.
Solução:
Exemplo b: Uma empresa tomou um empréstimo que deve ser pago 1 ano após em um único pagamento de \(18.000,00\) à taxa de \(4,5\%\) ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições de resgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxa de juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?
Fórmula:
No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é muito mais útil no nosso cotidiano do que outras matemáticas. Aqui se vê a força do estudo de progressões geométricas (PG), fato que não é possível explicitar facilmente a alunos de níveis elementares.
Mas, praticamente todos os indivíduos estão envolvidos com compras de bens de consumo no seu cotidiano, este ponto é fundamental pois transforma o estudo de Progressões Geométricas em algo muito útil.
O sistema Price (Richard Price), é também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país que utilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos os pagamentos sao iguais.
A idéia essencial neste contexto é construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor Presente de uma série uniforme de pagamentos.
Antes de contínuar, vamos mostrar uma situação para identificar o que está escondido sob os cálculos de um financiamento.
Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tenha comprado um carro para pagar em 4 prestações mensais consecutivas e iguais de \(8.000,00\), sem entrada, com taxa de \(10\%\) ao mês. Qual será o Valor Atual (real) deste carro?
Exercício: Construir o fluxo de caixa do problema.
O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter o Valor Atual do bem financiado.
Assim o Valor Atual é a soma dos valores atuais parciais
que pode ser escrito como:
que é o valor à vista que custa o carro.
Um fato curioso é a expressão:
que indica a soma dos termos de uma progressão geométrica (PG) com 4 termos.
Na sequência, analisamos a situação geral quando temos \(n\) prestações em um modelo semelhante, considerando agora um financiamento cujo Valor Atual \(A\) na data inicial (tempo=0) será pago em \(n\) prestações iguais a \(R\) ao final de cada um dos \(n\) meses seguidos, a taxas mensais iguais a \(i\).
Fluxo de caixa do problema
O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como :
Pondo em evidência o termo (1+i)^{-n}, segue que:
e o termo do numerador corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termo é igual 1 e cuja razão é igual a \((1+i)\).
A fórmula seguinte é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados os cálculos de taxas de juros em financiamentos.
Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa \(i\), o número de períodos \(n\) e o valor de cada prestação \(R\) é bastante fácil obter o Valor Atual \(A\).
Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) \(A\), a prestação \(R\) e o número \(n\) de períodos, não é fácil obter a taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e financeiras em geral, embutem muitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa!
Esta fórmula matemática pode ser escrita como:
onde \(FVA\) é a sigla para Fator de Valor Atual para uma série uniforme, definido por:
Esta é a fórmula usada nas tabelas financeiras que existem no comércio em geral e através dela podemos obter a taxa de um financiamento em prestações com pagamentos iguais.
Para o próximo exemplo, vamos admitir que o vendedor ou o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa ao período, que eu não acredito em geral.
Para obter o valor da prestação \(R\) de um bem cujo preço à vista é \(A\) e será pago em n prestações iguais sem entrada, à taxa \(i\) ao período, sendo que a primeira prestação será paga no final do primeiro período, divide-se o valor atual \(A\) pelo \(FVA(i,n)\), isto é:
Exemplo: Determinar a prestação \(R\) da compra de uma geladeira que custa à vista \(A=1.000,00\) e que será paga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de \(5\%\) ao mês.
Para realizar estes cálculos de uma forma mais simples, acesse nesta mesma página o link Prestação mensal em um financiamento.
Se você souber o Valor à vista \(A\), a prestação \(R\) e o número \(n\) de meses, você pode obter a taxa \(i\) ao mês, desde que possua uma tabela financeira ou então acessar o link Taxa de juros em um financiamento.