Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Matemática Financeira
Analise de um Investimento ou Financiamento
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Elementos gerais

Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, conhecemos a taxa de mercado, conhecida como a taxa de atratividade do mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para tomar uma decisão.

Existem dois importantes objetos matemáticos que são usados na análise da operação financeira de investimento ou financiamento: Valor Presente Líquido \(NPV\) e Taxa Interna de Retorno \(IRR\).

2 Valor Presente Líquido (NPV)

O Valor Presente Líquido, denotado por \(NPV\) (Net Present Value), de um fluxo de caixa de uma operação é a soma de todos os valores atuais calculados no instante \(t=0\) para cada elemento isolado da operação.

3 Taxa Interna de Retorno (IRR)

A Taxa Interna de Retorno, denotada por \(IRR\) (Internal Rate Return) de um fluxo de caixa da operação é a taxa real de juros da operação financeira.

4 Conexão entre NPV e IRR

Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos \(NPV\) e \(IRR\), sendo que as considerações sobre eles devem resultar de análises invertidas quando se trata de investimento ou financiamento.

A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um investimento de um capital espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um financiamento de um bem, ele espera reduzir a dívida.

Em um investimento, em que a taxa de mercado é \(i\), temos:

  1. Se \(NPV > 0\), então \(IRR > i\);
  2. Se \(NPV < 0\), então \(IRR < i\);
  3. Se \(NPV = 0\), então \(IRR = i\).

Nota: Observe com atenção os sínais de desigualdade.

Conclusão: Em um investimento, se \(NPV\) aumenta, então a taxa real \(IRR\) também aumenta.

Em um financiamento, em que a taxa de mercado é \(i\), temos:

  1. Se \(NPV > 0\), então \(IRR < i\);
  2. Se \(NPV < 0\), então \(IRR > i\);
  3. Se \(NPV = 0\), então \(IRR = i\).

Nota: Observe com atenção os sínais de desigualdade.

Conclusão: Em um financiamento, se \(NPV\) aumenta a taxa real \(IRR\) diminui.

Estas análises podem ser reduzidas ao quadro comparativo, onde \(i\) é a taxa de mercado.

NPV Investimento Financiamento
Nulo \(IRR = i\) \(IRR = i\)
Positivo \(IRR > i\) \(IRR < i\)
Negativo \(IRR < i\) \(IRR > i\)

5 Análise entre dois Investimentos

Para dois investimentos: \(Inv_1\) e \(Inv_2\) e seus respectivos Valores Presentes Líquidos \(NPV_1\) e \(NPV_2\), ocorrem as seguintes situações:

  1. O investimento com maior \(NPV\) é o que produz maior retorno ao investidor, isto é: Se \(NPV_1 > NPV_2\) então \(Inv_1\) é melhor do que \(Inv_2\).
  2. O financiamento com maior \(NPV\) é o que produz menor retorno para quem financiou, isto é: Se \(NPV_1 > NPV_2\) então \(Fin_1\) é pior que \(Fin_2\).

6 A Matemática do Valor Presente Líquido (NPV)

Para obter o Valor Presente Líquido \(NPV\), devemos construir um Fluxo de Caixa da operação e considerar três possibilidades:

  1. Operação com parcelas iguais (Begin)
  2. Operação com parcelas iguais (End)
  3. Operação com parcelas diferentes

7 Operação com parcelas iguais (Begin)

Seja uma operação de investimento ou financiamento por \(n\) períodos, com uma renda \(R\) em cada período, a partir do instante \(t=0\) a uma Taxa \(i\) de mercado. O fluxo de caixa aparece na tabela:

t 0 1 2 3 4 .. n-1 n
Renda R R R R R R R 0

Tomando \(u=1+i\), podemos escrever:

\[NPV = R+\frac{R}{u}+\frac{R}{u^2}+\frac{R}{u^3} +...+\frac{R}{u^{n-1}}\]

ou a forma mais simples

\[NPV = R \frac{u^n - 1}{iu^{n-1}}\]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um investimento mensal de \(R=100,00\), durante \(n=24\) meses, à taxa de mercado \(i=1,5\%\), iniciando a aplicação no instante \(t=0\)?

Agora, (Begin): \(R=100\), \(n=24\) e \(i=0,015\). Usando a fórmula acima, obtemos:

\[NPV = 100 \frac{(1,015)^{24}-1}{0,015(1,015)^{23}} = 2.033,09\]

8 Operação com parcelas iguais (End)

Seja uma operação de investimento ou financiamento por \(n\) períodos, com uma renda \(R\) em cada período, a partir do instante \(t=1\) a uma taxa \(i\) de mercado. O fluxo de caixa aparece na tabela:

t 0 1 2 3 4 .. n-1 n
Renda 0 R R R R R R R

Tomando \(u=1+i\), podemos escrever:

\[NPV = \frac{R}{u}+\frac{R}{u^2}+\frac{R}{u^3}+...+\frac{R}{u^n}\]

ou na forma mais simples

\[NPV = R \frac{u^n -1}{i u^n}\]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um investimento mensal de \(R=100,00\), por \(n=24\) meses, à taxa de \(i=1,5\%\), iniciando a aplicação no instante \(t=1\)?

Neste caso (End): \(R=100\), \(n=24\) e \(i=0,015\). Usando a fórmula acima, obtemos:

\[NPV = 100 \frac{(1,015)^{24}-1}{0,015(1,015)^{24}}= 2.003,04\]

9 Operação com parcelas diferentes

Considere que um indivíduo invistiu durante algum tempo parcelas distintas, a partir do instante \(t=0\%\) a uma taxa \(i\) de mercado. O fluxo de caixa de tal situação pode ser visto na tabela:

\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & ... & n-1 \\ \hline \text{Renda} & R_0 & R_1 & R_2 & R_3 & R_4 & ... & R_{n-1} \\ \hline \end{array}\]

Tomando \(u=1+i\), podemos escrever:

\[NPV = R_0 + \frac{R_1}{u^1} + \frac{R_2}{u^2} + \frac{R_3}{u^3} +...+ \frac{R_{n-1}}{/u^{n-1}}\]

Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de alguns investimentos de acordo com a tabela abaixo, à taxa de mercado \(i=1,25\%\) ao mês.

Tempo 0 1 2 3 4
Renda 0 1000 2000 1500 2500

Tomando \(u=1+i=1,0125\), obtemos:

\[NPV = \frac{1000}{u} + \frac{2000}{u^2} + \frac{1500}{u^3} +\frac{2500}{u^4} = 6.762,51\]