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Em uma operação financeira de Investimento ou Financiamento, existem várias situações que interferem na nossa decisão sobre a escolha de uma dentre as várias possíveis alternativas. Em geral, conhecemos a taxa de mercado, conhecida como a taxa de atratividade do mercado e desejamos saber a taxa real de juros da operação, para tomar uma decisão.
Existem dois importantes objetos matemáticos que são usados na análise da operação financeira de investimento ou financiamento: Valor Presente Líquido \(NPV\) e Taxa Interna de Retorno \(IRR\).
O Valor Presente Líquido, denotado por \(NPV\) (Net Present Value
), de um fluxo de caixa de uma operação é a soma de todos os valores atuais calculados no instante \(t=0\) para cada elemento isolado da operação.
A Taxa Interna de Retorno, denotada por \(IRR\) (Internal Rate Return
) de um fluxo de caixa da operação é a taxa real de juros da operação financeira.
Há uma íntima relação entre esses dois objetos matemáticos \(NPV\) e \(IRR\), sendo que as considerações sobre eles devem resultar de análises invertidas quando se trata de investimento ou financiamento.
A razão desta inversão é que alguém, ao realizar um investimento de um capital espera ampliar o mesmo, ao passo que ao realizar um financiamento de um bem, ele espera reduzir a dívida.
Em um investimento, em que a taxa de mercado é \(i\), temos:
Nota: Observe com atenção os sínais de desigualdade.
Conclusão: Em um investimento, se \(NPV\) aumenta, então a taxa real \(IRR\) também aumenta.
Em um financiamento, em que a taxa de mercado é \(i\), temos:
Nota: Observe com atenção os sínais de desigualdade.
Conclusão: Em um financiamento, se \(NPV\) aumenta a taxa real \(IRR\) diminui.
Estas análises podem ser reduzidas ao quadro comparativo, onde \(i\) é a taxa de mercado.
NPV | Investimento | Financiamento |
---|---|---|
Nulo | \(IRR = i\) | \(IRR = i\) |
Positivo | \(IRR > i\) | \(IRR < i\) |
Negativo | \(IRR < i\) | \(IRR > i\) |
Para dois investimentos: \(Inv_1\) e \(Inv_2\) e seus respectivos Valores Presentes Líquidos \(NPV_1\) e \(NPV_2\), ocorrem as seguintes situações:
Para obter o Valor Presente Líquido \(NPV\), devemos construir um Fluxo de Caixa da operação e considerar três possibilidades:
Seja uma operação de investimento ou financiamento por \(n\) períodos, com uma renda \(R\) em cada período, a partir do instante \(t=0\) a uma Taxa \(i\) de mercado. O fluxo de caixa aparece na tabela:
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | .. | n-1 | n |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Renda | R | R | R | R | R | R | R | 0 |
Tomando \(u=1+i\), podemos escrever:
ou a forma mais simples
Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um investimento mensal de \(R=100,00\), durante \(n=24\) meses, à taxa de mercado \(i=1,5\%\), iniciando a aplicação no instante \(t=0\)?
Agora, (Begin): \(R=100\), \(n=24\) e \(i=0,015\). Usando a fórmula acima, obtemos:
Seja uma operação de investimento ou financiamento por \(n\) períodos, com uma renda \(R\) em cada período, a partir do instante \(t=1\) a uma taxa \(i\) de mercado. O fluxo de caixa aparece na tabela:
t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | .. | n-1 | n |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Renda | 0 | R | R | R | R | R | R | R |
Tomando \(u=1+i\), podemos escrever:
ou na forma mais simples
Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de um investimento mensal de \(R=100,00\), por \(n=24\) meses, à taxa de \(i=1,5\%\), iniciando a aplicação no instante \(t=1\)?
Neste caso (End): \(R=100\), \(n=24\) e \(i=0,015\). Usando a fórmula acima, obtemos:
Considere que um indivíduo invistiu durante algum tempo parcelas distintas, a partir do instante \(t=0\%\) a uma taxa \(i\) de mercado. O fluxo de caixa de tal situação pode ser visto na tabela:
Tomando \(u=1+i\), podemos escrever:
Exemplo: Qual é o Valor Presente Líquido (NPV) de alguns investimentos de acordo com a tabela abaixo, à taxa de mercado \(i=1,25\%\) ao mês.
Tempo | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|---|
Renda | 0 | 1000 | 2000 | 1500 | 2500 |
Tomando \(u=1+i=1,0125\), obtemos: