Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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1 Introdução à amortização

Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada prestação corresponde à soma do reembolso do Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que

Juros são sempre calculados sobre o saldo devedor!

Os principais sistemas de amortização são:

1. Sistema de Pagamento único: Um único pagamento no final.
2. Sistema de Pagamentos variáveis: Vários pagamentos diferenciados.
3. Sistema Americano: Pagamento no final com juros calculados período a período.
4. Sistema de Amortização Constante (SAC): A amortização da dívida é constante e igual em cada período.
5. Sistema Price ou Francês (PRICE): Os pagamentos são iguais.
6. Sistema de Amortização Misto (SAM): Os pagamentos são as médias aritméticas dos sistemas SAC e Price.
7. Sistema Alemão: Os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação.

Em todos os sistemas de amortização, cada pagamento é a soma do valor amortizado com os juros do saldo devedor, isto é:

Pagamento = Amortização + Juros

Em todas as nossas análises, utilizaremos um financiamento hipotético de \(\$300.000,00\) que será pago ao final de 5 meses à taxa mensal de \(4\%\).

Na sequência, usamos tabelas consolidadas com os dados de cada problema e com informações essenciais sobre o sistema de amortização. Em todas as análises, utilizamos a mesma tabela básica mostra na sequência, com os elementos indicados, lembrando que a amortização sempre ocorre sobre o saldo devedor do momento.

Sistema de Amortização de um certo tipo

2 Sistema de Pagamento único

O devedor paga o Montante=Capital+Juros compostos da dívida em um único pagamento ao final de \(n=5\) períodos. O Montante pode ser calculado pela fórmula:

Uso comum: Letras de câmbio, Títulos descontados em bancos, Certificados com prazo fixado para a renda final.

Sistema de Amortização de Pagamento único

3 Sistema de Pagamentos Variáveis

O devedor paga o periodicamente valores variáveis de acordo com a sua condição e de acordo com a combinação realizada inicialmente, sendo que os juros do Saldo devedor são pagos sempre ao final de cada período.

Uso comum: Cartões de crédito.

Dado: O devedor deve pagar a dívida da seguinte forma:

1. No final do 1o. mês: \(\$ 30.000,00\) + juros
2. No final do 2o. mês: \(\$ 45.000,00\) + juros
3. No final do 3o. mês: \(\$ 60.000,00\) + juros
4. No final do 4o. mês: \(\$ 75.000,00\) + juros
5. No final do 5o. mês: \(\$ 90.000,00\) + juros

Sistema de Amortização de Pagamentos Variáveis

4 Sistema Americano

O devedor paga o Principal em um único pagamento no final e no final de cada período, realiza o pagamento dos juros do Saldo devedor do período. No final dos 5 períodos, o devedor paga também os juros do 5o. período.

Sistema de Amortização Americano

5 Sistema de Amortização Constante (SAC)

O devedor paga o Principal em \(n=5\) pagamentos sendo que as amortizações são sempre constantes e iguais.

Uso comum: Sistema Financeiro da Habitação

Sistema de Amortização Constante (SAC)

6 Sistema Price (Sistema Francês)

Todas as prestações (pagamentos) são iguais.

Uso comum: Financiamentos em geral de bens de consumo.

Cálculo: O cálculo da prestação \(P\) é o produto do valor financiado \(V_f=300.000,00\) pelo coeficiente \(K\) dado pela fórmula

onde \(i\) é a taxa ao período e \(n\) é o número de períodos. Para esta tabela, o cálculo fornece:

Sistema de Amortização Price (ou Sistema Francês)

7 Sistema de Amortização Misto (SAM)

Cada prestação (pagamento) é a média aritmética das prestações respectivas no Sistemas Price e no Sistema de Amortização Constante (SAC).

Uso: Financiamentos do Sistema Financeiro da Habitação.

Cálculo:

Sistema de Amortização Misto (SAM)

8 Sistema Alemão

O sistema Alemão consiste em liquidar uma dívida onde os juros são pagos antecipadamente com prestações iguais, exceto o primeiro pagamento que corresponde aos juros cobrados no momento da operação financeira. Devemos conhecer o valor de cada pagamento \(P\) e os valores das amortizações \(A_k\) para cada \(k=1,2,3,..,n\).

Uso comum: Alguns financiamentos.

Fórmulas necessárias: Para \(k=1,2,..,n\).

A prestação mensal do financiamento, pode ser calculada com as fórmulas acima.

Sistema de Amortização Alemão