Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Alegria Matemática
Propriedades das Sequências de Fibonacci
Sônia Ferreira L.Toffoli e Ulysses Sodré

Material desta página

1 A sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci (lê-se:fibonati), é uma função \(f:N\to N\), que será denotada aqui pelo seu conjunto imagem:

\[f(N)=\{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...\}\]

Para conhecer mais, veja nosso link sobre Aplicações das Sequências de Fibonacci.

2 Phi é o número de Ouro

A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na: natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.

Existem muitos livros sobre o assunto, mas em português, existe um excelente livro publicado pela Editora Universidade de Brasília em 1985: A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática, H.E.Huntley, Brasília-DF.

Esta razão foi muito usada por Phidias \((\Phi)\), um escultor grego e em função das primeiras letras de seu nome usamos Phi para representar o valor numérico da razão de ouro:

\[\Phi = 1.618033988749895..\]

3 Números de Fibonacci

Leonardo de Pisa (Fibonacci=filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, escreveu em 1202 um livro denominado Liber Abacci, que chegou a nós, graças à sua segunda edição de 1228.

Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.

Um dos problemas que está nas páginas 123-124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.

  1. Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.
  2. No início do 3o. mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recém nascido.
  3. No início do 4o. mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.
  4. No início do 5o. mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém nascidos.
  5. No início do 6o. mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês + 5 pares recém nascidos.

Tal processo contínua através dos diversos meses até completar um ano. Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também pode-se perceber que a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:

\[\{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...\}\]

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:

  1. \(1^0\) termo somado com o \(2^0\) termo gera o \(3^0\) termo;
  2. \(2^0\) termo somado com o \(3^0\) termo gera o \(4^0\) termo;
  3. \(3^0\) termo somado com o \(4^0\) termo gera o \(5^0\) termo;
  4. continua o processo.

Denotando a sequência por \(u=u(n)\) como o número de pares de coelhos ao final do mês \(n\), podemos escrever:

\[\begin{align*} u(1) + u(2) & = u(3) \\ u(2) + u(3) & = u(4) \\ u(3) + u(4) & = u(5) \\ u(4) + u(5) & = u(6) \\ ... + ... & = ... \end{align*}\]

que é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em função dos termos anteriores. No final do mês 12, o número de pares de coelhos É 144.

Tomando \(u(1)=u(2)=1\), temos em geral:

\[u(n+1) = u(n-1) + u(n) \tag{$n \geq 2$}\]

4 Aplicações das Sequências de Fibonacci

Pergunta: Será que esta sequência numérica aparece em outras situações da vida? A resposta é positiva e é espantosa pela grande quantidade de situações onde ela ocorre. Apresentamos uma lista modesta e que pode ser ampliada facilmente se o visitante procurar mais na literatura.

  1. Estudo genealógico de coelhos
  2. Estudo genealógico de abelhas
  3. Comportamento da luz
  4. Comportamento de átomos
  5. Crescimento de plantas
  6. Ascenção e queda em bolsas de valores
  7. Probabilidade e Estatística
  8. Curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho), galáxias, chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, filotaxia, rabo do cavalo marinho, onda no oceano, furacão, etc.

5 Sequência de Fibonacci e o número de ouro

De que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a sequência de Fibonacci é dada por:

\[\{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...\}\]

e os termos desta sequência são denominados números de Fibonacci.

Pode-se tomar a definição desta sequência para todo \(n\) natural, como:

\[u(1)=1, u(2)=1, \quad u(n+1)=u(n-1)+u(n)\]

Esta sequência não é limitada superiormente, mas existe um fato interessante: Tomando as razões (divisões) de cada termo pelo seu antecessor, obtemos outra sequência numérica cujo termo geral é:

\[f(n)= \frac{u(n+1)}{u(n)}\]

que é uma sequência limitada.

Considerando a sequência de Fibonacci como um conjunto da forma \(\{1,1,2,3,5,8,13,...\}\) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obtemos outra sequência:

\[f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1.5, f(4)=1.666..., f(5)=1.6, ...\]

Quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico em que o eixo horizontal indica os elementos da sequência de Fibonacci, obtemos:

As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro (número áureo), frequentemente representado pela letra grega \(\Phi\).

Quando \(n\to\infty\), o limite é exatamente \(\Phi\), o número de ouro, isto é,

\[\Phi=\lim_{n\to\infty}\frac{u(n+1)}{u(n)}=1.618033988749895...\]

Existem muitas sequências com as mesmas propriedades que a sequência de Fibonacci.

Exemplos: A sequência abaixo indicada com a letra \(L\) recebe o nome de sequência de Lucas.

  1. \(L = \{1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...\}\)
  2. \(A = \{5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, ...\}\)
  3. \(B = \{-8, -4, -12, -16, -28, -44, ...\}\)

Podemos construir uma sequência de Fibonacci \(z=z(n)\) muito geral, onde \(z(1)=a\), \(z(2)=b\) e tomar para todo \(n\) natural:

\[z(n+1) = z(n-1) + z(n)\]

Obtemos então:

\[a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, ...\]

Observamos que

\[z(n) = a \; u(n-2) + b \; u(n-1)\]

onde \(u=u(n)\) é a sequência normal de Fibonacci.

As diferenças entre elas estão relacionadas com a questão da convergência das razões de seus termos gerais pelos respectivos antecedentes, mas o valor \(\Phi\) é o mesmo em qualquer caso.

6 Propriedades das sequências de Fibonacci

6.1 Soma dos n primeiros números de Fibonacci

\[u(1)+u(2)+u(3)+...+u(n-1)+u(n)=u(n+2)-1\]

Como:

\[\begin{array}{rl} u(1) & = u(3) - u(2) \\ u(2) & = u(4) - u(3) \\ u(3) & = u(5) - u(4) \\ u(4) & = u(6) - u(5) \\ ... & = ..... - ..... \\ u(n-1) & = u(n+1) - u(n) \\ u(n) & = u(n+2) - u(n+1) \end{array}\]

Somando membro a membro as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro, observando que \(u(2)=1\).

6.2 Somas dos números de Fibonacci de ordem ímpar

\[u(1)+u(3)+u(5)+...+u(2n-1)=u(2n)\]

Como

\begin{align*} u(1) & = u(2) \\ u(3) & = u(4)-u(2) \\ u(5) & = u(6)-u(4) \\ u(7) & = u(8)-u(9) \\ ... & = ... - ... \\ u(2n-1) & = u(2n)-u(2(n-1)) \end{align*}

Somando membro a membro todas as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro.

6.3 Somas dos números de Fibonacci de ordem par

\[u(2)+u(4)+u(6)+...+u(2n) = u(2n+1) -1\]

A soma de todos os números de Fibonacci até a ordem \(2n\) é:

\[u(1)+u(2)+u(3)+...+u(2n-1)+u(2n) = u(2n+2)-1\]

e a soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar até \(2n-1\) é:

\[u(1)+u(3)+u(5)+...+ u(2n-1) = u(2n)\]

Subtraindo membro a membro as duas igualdades, restará somente a soma dos números de Fibonacci de ordem par no primeiro membro e \(u(2n+1)-1\) no segundo membro.

6.4 Soma alternada dos números de Fibonacci

\[u(1){-}u(2){+}u(3){-}u(4){+}...{+}(-1)^{n+1}u(n)=1{+}(-1)^{n+1}u(n-1)\]

6.5 Soma dos quadrados dos números de Fibonacci

\[u^2(1)+u^2(2)+u^2(3)+u^2(4) +...+ u^2(n) = u(n) u(n+1)\]

Primeiro observamos que para todo \(k\) natural:

\[u(k)u(k+1) - u(k)u(k-1) = u(k)[u(k+1) - u(k-1)] = u^2(k)\]

Assim:

\[\begin{array}{rl} u^2(1) & = u(1)u(2) \\ u^2(2) & = u(2)u(3) - u(2)u(1) \\ u^2(3) & = u(3)u(4) - u(3)u(2) \\ u^2(4) & = u(4)u(5) - u(4)u(3) \\ u^2(5) & = u(5)u(6) - u(5)u(4) \\ ... & = ... - ... \\ u^2(n) & = u(n)u(n+1) - u(n) u(n-1) \end{array}\]

Somando membro a membro todas as igualdades acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo membro.

6.6 Número de Fibonacci de ordem n+m

Usando o Princípio de Indução Matemática sobre \(m\) natural, é possível mostrar que:

\[u(n+m) = u(n-1)u(m)+u(n)u(m+1)\]

6.7 Número de Fibonacci de ordem 2n

Este é um caso particular do anterior com \(n=m\) e com ele podemos mostrar que o termo \(u(2n)\) é divisível pelo termo \(u_n\), pois:

\[u(2n) = u(n-1)u(n)+u(n)u(n+1) = u(n)[u(n-1)+u(n+1)]\]

6.8 Diferença de quadrados de números consecutivos de ordem par (ímpar)

\[u^2(n+1)-u^2(n-1) = u(2n)\]

Como \(u(n)=u(n+1)-u(n-1)\), a fórmula anterior pode ser reescrita como

\[u(2n) = [u(n+1) - u(n-1)] [u(n-1)+u(n+1)]\]

ou ainda

\[u(2n) = u^2(n+1) - u^2(n-1)\]

Exercício 1: Como antes, tome \(m=2n\) para mostrar que:

\[u(3n) = u^3(n+1)+u^3(n) - u^3(n-1)\]

Exercício 2: Use o Princípio da Indução Finita (PIF) sobre \(n\in N\), para mostrar que:

\[\begin{array}{lll} 1. & u^2(n+1) &= u(n) u(n+2)+(-1)^{n} \\ 2. & u(1) u(2)+u(2) u(3) +...+ u(2n-1) u(2n) &= u^2(2n) \\ 3. & u(1) u(2)+u(2) u(3) +...+ u(2n)u(2n+1) &= u^2(2n+1)-1 \\ 4. & n u(1)+(n-1) u(2)+(n-2) u(3) +...+ u(n) &= u(n+4)-n-3 \\ 5. & u(4)+u(8)+u(12) +...+ u(4n) &= u^2(2n+1)-1 \end{array}\]

Exercício 3: (Fórmulas do deslocamento de Fibonacci) Ao estudar sequências de Fibonacci, observamos que:

\[\begin{align*} u(n) & = 2 u(n-2) + 1 u(n-3) \\ u(n) & = 5 u(n-4) + 3 u(n-5) \end{align*}\]

Nas fórmulas acima, aparecem as constantes \(1,2,3\) e \(5\), que são os quatro primeiros números da sequência de Fibonacci. Usando as relações acima, podemos demonstrar que:

\[u(n) = u(k+1) u(n-k)+u(k) u(n-k-1)\]

7 Números de Fibonacci e o triângulo de Pascal

Se \(n!=\text{fatorial}(n)\), denotamos por \(C(m,n)\) a combinação de \(m\) elementos com a taxa \(n\) (tomados \(n\) a \(n\)), como:

\[C(m,n) = \frac{m!}{n!(m-n)!} = \binom{m}{n}\]

A última notação denota o número binomial de \(m\) com a taxa \(n\).

O triângulo de Pascal

\[\begin{array}{rrrrrrr} 1 & & & & & \\ 1 & 1 & & & & \\ 1 & 2 & 1 & & & & \\ 1 & 3 & 3 & 1 & & & \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & & \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 10 & 1 & \\ 1 & 6 & 15 & 20 & 15 & 6 & 1 \end{array}\]

pode ser obtido numericamente, somando-se dois números consecutivos da mesma linha com o resultado posto em baixo do segundo somando ou através das combinações conforme a tabela seguinte:

\[\begin{array}{rrrrrrr} C(0,0)\\ C(1,0)& C(1,1)& & & & & \\ C(2,0)& C(2,1)& C(2,2)& & \color{red}{13=u_7} & & \\ C(3,0)& C(3,1)& C(3,2)& \color{red}{C(3,3}) & & & \\ C(4,0)& C(4,1)& \color{red}{C(4,2)}& C(4,3)& C(4,4) & & \\ C(5,0)& \color{red}{C(5,1)}& C(5,2)& C(5,3)& C(5,4)& C(5,5)& \\ \color{red}{C(6,0)}& C(6,1)& C(6,2)& C(6,3)& C(6,4)& C(6,5)& C(6,6)\\ \end{array}\]

ou com os números binomiais:

\[\begin{array}{rrrrrrr} \binom{0}{0} & & & & & & \\ \binom{1}{0} & \binom{1}{1} & & & & & \\ \binom{2}{0} & \binom{2}{1} & \binom{2}{2} & & \color{red}{u_7} & & \\ \binom{3}{0} & \binom{3}{1} & \binom{3}{2} & \color{red}{\binom{3}{3}} & & & \\ \binom{4}{0} & \binom{4}{1} & \color{red}{\binom{4}{2}} & \binom{4}{3} & \binom{4}{4} & & \\ \binom{5}{0} & \color{red}{\binom{5}{1}} & \binom{5}{2} & \binom{5}{3} & \binom{5}{4} & \binom{5}{5} & \\ \color{red}{\binom{6}{0}} & \binom{6}{1} & \binom{6}{2} & \binom{6}{3} & \binom{6}{4} & \binom{6}{5} & \binom{6}{6}\\ \end{array}\]

A altura da combinação \(C(m,n)\) é a soma dos índices que estão na combinação, ou seja:

\[\text{altura}(C(m,n)) = m+n\]

Por exemplo, as alturas das combinações \(C(6,0)\), \(C(5,1)\), \(C(4,2)\), \(C(3,3)\) são todas iguais a \(6\) e notamos que o 7o. termo da sequência de Fibonacci é obtido pela soma de termos que possuem a mesma altura:

\[u(7) = C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)\]

Esta propriedade relaciona o triângulo de Pascal com os números de da sequência Fibonacci, mostrando que a soma de todas as combinações \(C(m,n)\) que estão no triângulo de Pascal, com uma mesma altura \(p\), tal que \(p=m+n\) e \(m\geq n\), coincide com o termo de ordem \(p+1\) da sequência de Fibonacci, isto é:

\[u(p+1)=C(p,0)+C(p-1,1)+C(p-2,2)+...+C(p-n,n)\]

sendo que \(p\geq 2n\) ou na forma com números binomiais:

\[u(p+1)=\binom{p}{0}+\binom{p-1}{1}+\binom{p-2}{2}+...+\binom{p-n}{n}\]

8 Propriedades lineares das sequências de Fibonacci

Se para todo inteiro \(n\geq 1\), é verdadeira a equação recursiva de Fibonacci \(u(n+1)=u(n-1)+u(n)\), seguem três fatos interessantes.

8.1 A soma de sequências de Fibonacci é uma sequência de Fibonacci

Se \(v=v(n)\) e \(w=w(n)\) são sequências que satisfazem à equação recursiva de Fibonacci e \(z(n)=v(n)+w(n)\), então: \[z(n+1) = z(n-1)+z(n)\]

8.2 O produto de um escalar por uma sequência de Fibonacci é uma sequência de Fibonacci

Se \(v=v(n)\) é uma sequência que satisfaz à equação recursiva de Fibonacci e \(k\) é um escalar real, então a sequência definida por \((kv)(n))=k.v(n)\) satisfaz:

\[(kv)(n+1) = (kv)(n-1)+(kv)(n)\]

8.3 A Combinação linear de sequências de Fibonacci é uma sequência de Fibonacci

Se \(v=v(n)\) e \(w=w(n)\) são sequências de Fibonacci que não são proporcionais, então toda sequência \(u(n)\) de Fibonacci pode ser escrita como combinação linear de \(v=v(n)\) e \(w=w(n)\).

Demonstração: Existe uma propriedade das proporções que garante que \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) equivale a \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a+c}{b+d}\).

Usamos este fato para mostrar inicialmente que:

\[\frac{v(1)}{w(1)} \neq \frac{v(2)}{w(2)}\]

usando a demonstração por absurdo.

Negando a tese, vamos assumir que:

\[\frac{v(1)}{w(1)} = \frac{v(2)}{w(2)}\]

Pela propriedade das proporções:

\[\frac{v(1)}{w(1)}=\frac{v(1)+v(2)}{w(1)+w(2)}=\frac{v(3)}{w(3)}\]

De forma análoga, mostramos que:

\[\frac{v(3)}{w(3)}=\frac{v(4)}{w(4)}=...=\frac{v(n)}{w(n)}=...\]

mostrando que as sequências \(v=v(n)\) e \(w=w(n)\) são proporcionais, o que é um absurdo, assim podemos afirmar que:

\[\frac{v(1)}{w(1)} \neq \frac{v(2)}{w(2)}\]

e esta última relação equivale a afirmar que:

\[v(1)w(2)-v(2)w(1)\neq 0\]

Vamos usar este cálculo na sequência junto com a regra de Cramer.

Seja agora uma sequência de Fibonacci tal que:

\[\begin{align*} u(1) & = a\;v(1) + b\;w(1) \\ u(2) & = a\;v(2) + b\;w(2) \end{align*}\]

A partir de \(u(1)\) e \(u(2)\) podemos construir uma sequência de Fibonacci \(u=u(n)\) que é uma combinação linear de \(v=v(n)\) e \(w=w(n)\).

Resolvendo o sistema com 2 equações e incógnitas \(a\) e \(b\):

\[\begin{align*} u(1) & = a\;v(1) + b\;w(1) \\ u(2) & = a\;v(2) + b\;w(2) \end{align*}\]

obtemos, pela Regra de Cramer, que:

\[\begin{align*} a & = \frac{u(1)w(2)-u(2)w(1)}{v(1)w(2)-v(2)w(1)} \\ b & = \frac{v(1)u(2)-v(2)u(1)}{v(1)w(2)-v(2)w(1)} \end{align*}\]

e segue que para todo \(n\) natural, existem escalares \(a\) e \(b\), tal que:

\[u(n) = a\;v(n) + b\;w(n)\]

9 Fórmula de Binet

Com a última propriedade obtida podemos obter todas as soluções da equação recursiva de Fibonacci:

\[u(n+1) = u(n-1)+u(n)\]

válida para todo inteiro \(n\geq 1\), basta obter quaisquer duas soluções não proporcionais, assim pela propriedade linear da multiplicação por escalar, podemos escolher uma sequência de Fibonacci cujo primeiro termo seja igual a \(1\).

Vamos considerar a sequência de Fibonacci \(w(n)\) que seja uma sequência geométrica com \(w(1)=1\) e a razão \(q\neq 0\), isto é: \(w(n)=q^{n-1}\).

Para que esta sequência seja de Fibonacci, devemos ter que:

\[w(n-1)+w(n) = w(n+1)\]

ou seja

\[q^{n-2}+q^{n-1} = q^{n}\]

que se reduz a:

\[q^2-q-1=0\]

Resolvendo esta equação do segundo grau obtemos as duas raízes:

\[q_1 = \frac12(1+\sqrt{5}), \quad q_2 = \frac12(1-\sqrt{5})\]

Observamos que \(q_1+q_2=1\) e \(q_1q_2=-1\). Para cada raiz, obtemos uma sequência de Fibonacci, construímos \(v=v(n)\) e \(w=w(n)\) por:

\[\begin{align*} v(n) & = q_1^{n-1} \\ w(n) & = q_2^{n-1} \end{align*}\]

Como \(u=u(n)\) é uma combinação linear de \(v=v(n)\) e \(w=w(n)\), então

\[u(n) = a\;v(n)+b\;w(n)\]

que pode ser escrita como

\[u(n) = a \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} + b \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}\]

e esta é a forma mais geral possível para uma sequência de Fibonacci.

Em particular, se \(a+b=1\) e \(aq_1+bq_2=1\), obtemos

\[a = \frac{1+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}, \quad b = \frac{1-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\]

Substituindo estes valores na expressão de \(u(n)\), obtemos a Fórmula de Binet:

\[u(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n -\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\]

que fornece o termo geral da sequência de Fibonacci com o número \(\Phi\).

Para valores muito grandes de \(n\), o segundo termo da Fórmula de Binet pode ser desprezado pois a base desta potência é um número real menor do que \(1\), e podemos mostrar que quando \(n\to\infty\), a expressão de \(u(n)\) é da ordem de \(\Phi^n\), logo o quociente de \(u(n+1)\) por \(u(n)\) é da ordem de \(\Phi\), assim o limite do quociente entre um termo da sequência de Fibonacci e o seu antecedente converge para o número de ouro \(\Phi\):

\[\Phi=\lim_{n\to\infty}\frac{u(n+1)}{u(n)} =1.618033988749895\]

10 Função geratriz dos números de Fibonacci

Um modo para obter uma sequência de números inteiros é construir uma função geratriz \(B=B(x)\) com uma série formal de potências:

\[B(x) = b(0) + b(1)x + b(2)x^2 + b(3)x^3 + b(4)x^4 + b(5)x^5 +...\]

cujos coeficientes \(b(i)\) são valores da sequência que desejamos.

O principal aqui, é a construção de \(B(x)\) através de uma fórmula analítica onde os \(b(i)\) aparecem de modo natural.

Existem também expressões em formas fechadas, que é o caso de algumas séries de potências convergirem para uma função que não inclui somas infinitas, como por exemplo, a sequência \(f(n)=2^{n-1}\) para \(n\in N\).

O conjunto imagem desta função é:

\[f(N) = \{1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...\}\]

pode ser representado pela função geratriz:

\[B(x) = 1 +2x +4x^2 +8x^3 +16x^4 +32x^5 +...\]

que pode ser escrita como a divisão:

\[B(x) = \frac{1}{1-2x}\]

mas para que isso faça sentido, deve ocorrer a convergência da série, o que depende do fato que \(|2x|<1\). Por isto, afirmamos no início que esta é uma série formal.

Antes de continuar o estudo, sugerimos que veja o nosso link Divisão longa para entender o conceito de função geratriz.

Usamos a divisão longa (ou russa), para justificar a divisão de \(1\) por \(1-2x\) para obter a série formal apresentada.

Tendo em vista o que apresentamos acima, vamos assumir que exista uma função geratriz dos números da sequência de Fibonacci e vamos tentar obter uma relação que tenha algo a ver com o comportamento dos coeficientes desta função.

Seja uma função \(B=B(x)\neq 0\), escrita como a soma formal:

\[B(x) = \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k\]

Se \(F_0=F_1=1\) e \(F_k=F_{k-1}+F_{k-2}\) para todo \(k\in N\), segue que

\[B(x) = 1 + x + \sum_{k=2}^{\infty} [F_{k-1}+F_{k-2}] x^k\]

que pode ser expandida como

\[B(x) = 1 + x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k\]

Pondo \(x\) em evidência na primeira soma e \(x^2\) na segunda soma, obtemos

\[B(x) = 1 + x + x\sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^{k-1} + + x^2\sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^{k-2}\]

Mudando os índices, podemos escrever:

\[B(x)=1+x+x\sum_{j=0}^{\infty} F_j x^j +x^2\sum_{j=0}^{\infty}F_j x^j\]

que pode ser simplificada para

\[B(x) = 1+x+x [B(x)-1]+x^2 B(x)\]

Extraindo o valor de \(B=B(x)\), segue que:

\[B(x) = \frac{1}{1-x-x^2}\]

que é a função geratriz dos números da sequência de Fibonacci.

Assim, a divisão longa de \(1\) por \(1-x-x^2\), fornece a série formal de potências cujos coeficientes são os números da sequência de Fibonacci.

Existem muitas abordagens diferentes para estudar as sequências de Fibonacci, como: Equações de diferenças finitas, Frações Contínuas, Teoria dos Números. Recomendamos que o interessado pesquise o assunto, pois ele é multi-disciplinar e o estudo produz muitos resultados interessantes.