Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Alegria Matemática
Problema do Burro
Ulysses Sodré

Amarra-se um burro em um ponto \(B\) da circunferência de uma região circular de raio \(R\) contendo grama para alimento do burro. Considerando que o burro só pode comer a metade da grama, qual é o tamanho da corda que aqui será indicada por \(c=R+d\)?

O objetivo do problema é dividir o círculo em duas partes com áreas iguais.

Para resolver este simples problema, utilizamos diversos conceitos matemáticos não triviais contidos em Geometria Analítica plana e Cálculo Diferencial e Integral, como:

  1. Interseção de circunferências em \(R^2\).
  2. Equações de circunferências centradas na origem e fora dela.
  3. Coordenadas polares com o polo fora da origem.
  4. Descrição de uma região plana em coordenadas polares.
  5. Mudança de variáveis em uma integral dupla.
  6. Cálculo de área com uma integral dupla.
  7. Solução numérica de uma equação.
  8. Uso da Planilha Excel para resolver uma equação.

Como alternativa para obter a resposta, tomamos \(C1\) a circunferência de raio \(R\) com centro em \((0,0)\):

\[x^2+y^2=R^2\]

e construímos uma circunferência \(C2\) com raio \(R+d\) e centro no ponto \(B=(R,0)\) onde está amarrado o burro:

\[(x-R)^2+ y^2= (R+d)^2\]

Para seccionar o círculo em duas partes de modo que ambas tenham a mesma área, devemos calcular a área da região marcada em azul, localizada entre as duas circunferências e impor a condição para que esta área \(A\) seja a metade da área do círculo de raio \(R\), isto é:

\[A = \frac12 \pi R^2\]

Na sequência, obtemos a abscissa \(z\) do ponto de interseção das circunferências, que é obtida pela resolução do sistema formado pelas duas equações:

\[\begin{align} x^2+ y^2 & = R^2 \\ (x-R)^2+y^2 & = (R+d)^2 \end{align}\]

Realmente, \(z^2+y^2=R^2\) e \((z-R)^2+y^2=(R+d)^2\), e subtraindo membro a membro estas duas equações, obtemos

\[z^2-(x-R)^2 = R^2-(R+d)^2\]

de onde segue

\[2rz-R^2 = R^2-(R+d)^2\]

que fornece

\[2Rz=2R^2-(R+d)^2\]

e dividindo toda a equação por \(2R\), obtemos

\[z = R-\frac{(R+d)^2}{2R}\]

Escrevemos as equações das duas circunferências em coordenadas polares, e substituindo \(x=R+p\cos(t)\) e \(y=p\sin(t)\), obtemos:

\[p=-2R\cos(t), \quad p=R+d\]

de onde segue que

\[\cos(t) = -\frac{R+d}{2R}\]

que são as curvas apropriadas para o cálculo da área, na região em que \(t\) pertence ao intervalo \([-t_0,t_0]\).

A função inversa de \(\cos()\) existe em um certo intervalo e é definida como \(\arccos()\) ou \(\text{acos}()\), que, no ponto \(z\), se lê, arco cujo cosseno é igual ao argumento \(z\), assim

\[t_0 = \arccos(\frac{z}{R+d})\]

Pela simetria da região, a área \(A\) pode ser obtida pela integral dupla sobre a região marcada em cor azul, ou seja:

\[A = \int_{p=R+d}^{p=-2R\cos(t)} \int_{t=0}^{t_0} 2p\;dp\;dt\]

e esta integral produz:

\[A=(2R^2-(R+d)^2)\arccos\left(\frac{z}{R+d}\right) +\frac{2R^2z}{(R+d)^2} \sqrt{(R+d)^2-z^2}\]

Todos os cálculos dependem de \(R\) e \(d\), mas \(d\) também depende de \(R\), logo, se tomarmos em particular \(R=1\), obtemos:

\[A=(1-2d-d^2)\arccos\left(\frac{1+d}{2}\right) +\frac12 \sqrt{3+4d-2d^2-4d^3-d^4}\]

Para \(R=1\), obtemos um valor de \(d\) que fornece a área \(A=\pi/2\), o que significa que:

\[(1-2d-d^2)\arccos\left(\frac{1+d}{2}\right) +\frac12\sqrt{3+4d-2d^2-4d^3-d^4}-\frac{\pi}{2}=0\]

Esta equação não se resolve facilmente por métodos comuns, razão pela qual, usamos um método que utiliza uma Planilha de Cálculo como a Excel, disponível em muitos computadores:

Método utilizado: Com a planilha Excel vamos calcular \(d\), usando o seguinte:

  1. Abra a planilha Excel para ver uma pasta em branco;
  2. Com o cursor localizado sobre a célula A1 pressione o botão esquerdo do mouse sobre Inserir, Nome e Definir. Insira a letra d na caixa. Pressione o botão esquerdo do mouse sobre Adicionar e OK;
  3. Para evitar erros, eu sugiro que copie esta linha para a célula B1 da planilha.
    =(1-2*d-d^2)*ACOS((1+d)/2)+RAIZ(3+4*d-2*d^2-4*d^3-d^4)/2-PI()/2
  4. Selecione as células A1 e B1 juntas. Pressione o mouse sobre: Formatar, Células.., Número, Casas decimais=15 e OK;
  5. Pressione o mouse sobre: Ferramentas, Atingir Meta.., Definir célula=B1, Para valor=0, Variando célula=A1, OK, OK;
  6. O valor não é ótimo mas serve para uso prático: d=0,158726022422574, Expressão=0,000005411364185 significando que a planilha só forneceu os 5 primeiros algarismos exatos após a vírgula!

Com o método numérico de Newton-Raphson, podemos obter o valor abaixo com \(10\) dígitos exatos após a vírgula:

\[d = 0,1587284715\]

Para um raio \(R\) arbitrário, o comprimento da corda é:

\[c=R+d= R(1+0,1587284715) = R(1,1587284715)\]

Para ser prático, tomando uma corda com uma medida \(15,87\%\) a mais do que o raio do círculo, já obtemos um ótimo cálculo!

Exercício: Obter as medidas das cordas \(c\) para que as áreas das regiões ocupadas pelo burro sejam, respectivamente iguais a: \(1/3\), \(1/4\), \(1/5\), \(1/6,\cdots\) da área do círculo.