No estudo de Ótica geométrica, existem conceitos envolvidos com a convergência de lentes (como as de um óculos) e espelhos refletores e as expressões associadas ao harmônico global aparecem de modo forte. Nossa preocupação consiste apenas em apresentar alguns exemplos de tais situações sem a preocupação em entrar nos detalhes técnicos sobre o assunto, que podem ser encontrados em livros de Ótica, assunto normalmente lecionado no Ensino Médio no Brasil.
A Convergência de uma lente, é conhecida como Potência da lente, é definida por $P=1/f$ onde $f$ é a distância focal da lente dada por
sendo que $n$ é o índice de refração da substância da lente, $R_1$ é o raio de curvatura da face da lente onde penetra o raio luminoso e $R_2$ é o raio de curvatura da face da lente onde sai o raio luminoso, de acordo com a figura seguinte.
Consideremos um sistema com duas lentes finas $L_1$ e $L_2$ com respectivas distâncias focais $f_1$ e $f_2$, postas em contato uma com a outra, com um mesmo eixo principal de simetria.
Antes de interpor a lente $L_2$, o conjugado do ponto $P_1$ era $P_2$ e nesse caso
Com a interposição da lente $L_2$, a imagem $P_2$ não se forma neste ponto, tornando-se um objeto virtual em relação à lente $L_2$ e forma uma imagem real $P_3$, assim
Somando membro a membro as equações (1) e (2), obtemos:
Objeto real e imagem real: Seja $AB$ um objeto real posto sobre o plano principal entre os pontos $F'$ e o infinito e $A'B'$ a sua imagem real. A figura seguinte mostra esta típica situação.
Usamos as medidas dos segmentos para facilitar as notações: $i=m(A'B')$, $o=m(AB)=m(IC)$, $p=m(CB)$, $p'=m(CB')$ e $f=m(CF)=m(CF')$.
Os segmentos de reta $AA'$ e $BB'$ formam ângulos opostos pelo vértice $C$, gerando a semelhança dos triângulos $ACB$ e $A'CB'$ e garantindo que
ou seja
Reescrevendo esta proporção, temos uma das fórmulas de Descartes
Os segmentos de reta $A'I$ e $B'C$ formam ângulos opostos pelo vértice $F$, gerando a semelhança dos triângulos $ICF$ e $A'B'F$, garantindo que
ou seja
Reescrevendo, obtemos:
Temos então que:
de onde segue que
Objeto real e imagem virtual: Quando temos um objeto real e uma imagem virtual, então
Objeto virtual e imagem real: Quando temos um objeto virtual e uma imagem real, então
Nota: Todas as três situações apresentadas são casos particulares de:
antepondo o sinal positivo para um elemento real e o sinal negativo para um objeto virtual.
Seja $AB$ um segmento de reta e $A'B'$ a sua imagem. Os segmentos $OA$ e $OA'$ formam ângulos congruentes com o eixo de simetrias horizontal apoiado sobre o segmento $OB$, de acordo com a figura seguinte:
Usamos as seguintes medidas dos segmentos para facilitar as notações: $o=m(AB)=m(IC)$, $i=m(A'B')$, $R=m(OC)$=raio de curvatura do espelho, $f=R/2$=distância focal do espelho, $p=m(OB)$ e $p'= m(OB')$.
Os triângulos $OA'B'$ e $OAB$ são semelhantes, logo
Os triângulos $CAB$ e $CA'B'$ são semelhantes, assim
que pode ser escrito como
de onde segue a conhecida fórmula de Descartes dos focos conjugados:
Na sequência, apresentamos uma tabela agrupando detalhes sobre tipos de espelhos côncavos e convexos com características dos objetos e imagens.
Objeto | Imagem | Côncavo | Convexo |
---|---|---|---|
real | real | 1/f=1/p+1/p' | |
real | virtual | 1/f=1/p-1/p' | 1/f=-1/p+1/p' |
virtual | real | 1/f=-1/p+1/p | 1/f= 1/p-1/p' |
virtual | virtual | 1/f=1/p+1/p' |