Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Alegria Matemática
Lentes, espelhos e relações harmônicas
Ulysses Sodré

Introdução

No estudo de Ótica geométrica, existem conceitos envolvidos com a convergência de lentes (como as de um óculos) e espelhos refletores e as expressões associadas ao harmônico global aparecem de modo forte. Nossa preocupação consiste apenas em apresentar alguns exemplos de tais situações sem a preocupação em entrar nos detalhes técnicos sobre o assunto, que podem ser encontrados em livros de Ótica, assunto normalmente lecionado no Ensino Médio no Brasil.

Fórmula da convergência de uma lente

A Convergência de uma lente, é conhecida como Potência da lente, é definida por $P=1/f$ onde $f$ é a distância focal da lente dada por

\[\frac{1}{f} =(n-1)\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\]

sendo que $n$ é o índice de refração da substância da lente, $R_1$ é o raio de curvatura da face da lente onde penetra o raio luminoso e $R_2$ é o raio de curvatura da face da lente onde sai o raio luminoso, de acordo com a figura seguinte.

Convergência de um sistema de lentes justapostas

Consideremos um sistema com duas lentes finas $L_1$ e $L_2$ com respectivas distâncias focais $f_1$ e $f_2$, postas em contato uma com a outra, com um mesmo eixo principal de simetria.

Antes de interpor a lente $L_2$, o conjugado do ponto $P_1$ era $P_2$ e nesse caso

\[\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} = \frac{1}{f_1} \tag{1}\]

Com a interposição da lente $L_2$, a imagem $P_2$ não se forma neste ponto, tornando-se um objeto virtual em relação à lente $L_2$ e forma uma imagem real $P_3$, assim

\[-\frac{1}{p_2} + \frac{1}{p_3} = \frac{1}{f_2} \tag{2}\]

Somando membro a membro as equações (1) e (2), obtemos:

\[\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_3} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}\]

Fórmulas das lentes convergentes

Objeto real e imagem real: Seja $AB$ um objeto real posto sobre o plano principal entre os pontos $F'$ e o infinito e $A'B'$ a sua imagem real. A figura seguinte mostra esta típica situação.

Usamos as medidas dos segmentos para facilitar as notações: $i=m(A'B')$, $o=m(AB)=m(IC)$, $p=m(CB)$, $p'=m(CB')$ e $f=m(CF)=m(CF')$.

Os segmentos de reta $AA'$ e $BB'$ formam ângulos opostos pelo vértice $C$, gerando a semelhança dos triângulos $ACB$ e $A'CB'$ e garantindo que

\[\frac{m(AB)}{m(CB)} = \frac{m(A'B')}{m(B'C)}\]

ou seja

\[\frac{o}{p} = \frac{i}{p'}\]

Reescrevendo esta proporção, temos uma das fórmulas de Descartes

\[\frac{o}{i} = \frac{p}{p'}\]

Os segmentos de reta $A'I$ e $B'C$ formam ângulos opostos pelo vértice $F$, gerando a semelhança dos triângulos $ICF$ e $A'B'F$, garantindo que

\[\frac{m(IC)}{m(FC)} = \frac{m(A'B')}{m(B'F)}\]

ou seja

\[\frac{o}{f} = \frac{i}{p'-f}\]

Reescrevendo, obtemos:

\[\frac{o}{i} = \frac{f}{p'-f}\]

Temos então que:

\[\frac{p}{p'} = \frac{f}{p'-f}\]

de onde segue que

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\]

Objeto real e imagem virtual: Quando temos um objeto real e uma imagem virtual, então

\[\frac{o}{i} = \frac{p}{p'}, \frac{1}{f}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p'}\]

Objeto virtual e imagem real: Quando temos um objeto virtual e uma imagem real, então

\[\frac{o}{i} = \frac{p}{p'}, \frac{1}{f}=\frac{-1}{p}+\frac{1}{p'}\]

Nota: Todas as três situações apresentadas são casos particulares de:

\[\frac{o}{i} = \frac{p}{p'}, \frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}\]

antepondo o sinal positivo para um elemento real e o sinal negativo para um objeto virtual.

Fórmulas de espelhos esféricos

Seja $AB$ um segmento de reta e $A'B'$ a sua imagem. Os segmentos $OA$ e $OA'$ formam ângulos congruentes com o eixo de simetrias horizontal apoiado sobre o segmento $OB$, de acordo com a figura seguinte:

Usamos as seguintes medidas dos segmentos para facilitar as notações: $o=m(AB)=m(IC)$, $i=m(A'B')$, $R=m(OC)$=raio de curvatura do espelho, $f=R/2$=distância focal do espelho, $p=m(OB)$ e $p'= m(OB')$.

Os triângulos $OA'B'$ e $OAB$ são semelhantes, logo

\[\frac{o}{i} = \frac{p}{p'}\]

Os triângulos $CAB$ e $CA'B'$ são semelhantes, assim

\[\frac{m(A'B')}{m(AB)} = \frac{m(CB')}{m(CB)'}\]

que pode ser escrito como

\[\frac{p'}{p} = \frac{R-p'}{p-R}\]

de onde segue a conhecida fórmula de Descartes dos focos conjugados:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{p} + \frac{1}{p'}\]

Na sequência, apresentamos uma tabela agrupando detalhes sobre tipos de espelhos côncavos e convexos com características dos objetos e imagens.

Objeto Imagem Côncavo Convexo
real real 1/f=1/p+1/p'
real virtual 1/f=1/p-1/p' 1/f=-1/p+1/p'
virtual real 1/f=-1/p+1/p 1/f= 1/p-1/p'
virtual virtual 1/f=1/p+1/p'