Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Alegria Matemática
Harmonia Matemática
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Introdução à harmonia

Há muito tempo conhecemos a importância da harmonia musical (quem não gosta de música?), mas o estudo da Harmonia, do ponto de vista da Matemática, não é comum em vários níveis educacionais. Tratamos aqui a média harmônica e de harmônico global, que aqui defino. Tais conceitos são apresentados através de suas definições e os conceitos interrelacionados aparecem em situações práticas.

2 Média Harmônica

A média harmônica de \(n\) números reais positivos \(x_1\), \(x_2,\cdots\), \(x_n\) é o número real positivo \(H\), definido por: \[\frac{n}{H} = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} +...+ \frac{1}{x_n}.\] Assim, realizamos a soma sobre todos os inversos dos \(n\) números reais positivos dados, isto é, a média harmônica \(H\) é o inverso da média aritmética dos inversos dos \(n\) números \(x_1\), \(x_2,\cdots\), \(x_n\).

Este cálculo não é fácil de ser entendido por pessoas que não possuem um bom entendimento de Matemática, mas, apresentamos uma outra média que usa o senso prático.

Podemos interpretar o valor numérico da média harmônica \(H\) como o número que representa a capacidade média individual da ação de \(n\) agentes (indíviduos ou entes) que estão agindo harmonicamente, ou seja, \(H\) representa a capacidade de um agente que é capaz de substituir cada um dos \(n\) agentes quando atuando em conjunto.

A média harmônica é muito útil em diversas situações práticas, mas o harmônico global, é uma outra medida de caráter harmônico com valor prático muito maior.

3 Harmônico Global

O harmônico global dos \(n\) números reais positivos \(x_1\), \(x_2,\cdots\), \(x_n\) é o número real positivo \(h\), definido por: \[\frac{1}{h}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}\] isto é, o harmônico global \(h\) é um número que representa o inverso da soma dos inversos dos \(n\) números \(x_1\), \(x_2,\cdots\), \(x_n\).

Na prática, este número \(h\) representa a capacidade média global da ação dos \(n\) agentes (entes ou indíviduos) agindo em conjunto de uma forma harmônica, isto é, \(h\) representa a capacidade de um único agente substituir todos os agentes ao mesmo tempo.

4 Aplicações práticas

Apresentamos vários problemas práticos que utilizam o conceito de harmônico global e um exemplo com a média Harmônica, assim como as fórmulas usadas para obter as soluções, além das soluções.

5 Torneiras amigas

Uma torneira enche uma caixa de água em \(4\) horas e outra torneira enche a mesma caixa em \(6\) horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo \(t\) necessário para encher a caixa?

6 Torneiras inimigas

Uma torneira enche uma caixa de água em \(4\) horas e outra torneira a esvazia em \(6\) horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo \(t\) necessário para encher a caixa de água?

7 Capacidade pessoal

Uma pessoa é capaz de construir um muro em \(6\) horas e outra pessoa tem a capacidade de trabalho para construir este mesmo muro em \(9\) horas. Pondo-se as duas pessoas trabalhando em conjunto, em quanto tempo \(t\), o muro estará pronto?

8 Resistores em paralelo

Qual é a resistência \(R\) equivalente, no circuito elétrico abaixo contendo as resistências \(R_1\) e \(R_2\), ligadas em paralelo?

9 Capacitores em série

Qual é a capacidade \(C\) equivalente de um capacitor que substitui os capacitores \(C_1\) e \(C_2\) no circuito abaixo se os dois capacitores estão ligados em série?

10 Segmentos paralelos e média harmônica

Quanto mede o segmento \(EF\) na figura em anexo, se os segmentos \(AD\) e \(BC\) medem, respectivamente, \(8\) cm e \(10\) cm. Um fato interessante neste exemplo é que se tomarmos um segmento com o dobro da medida do segmento \(h\), obteremos um segmento que representa a média harmônica entre os dois segmentos dados \(AD\) e \(BC\).

11 Circunferências ex-inscritas

Sejam três retas em um plano, formando uma região triangular fechada \(ABC\) e outras regiões abertas. Vamos construir uma circunferência com raio \(r\), inscrita no triângulo \(ABC\).

A circunferência inscrita na região aberta, limitada pelas retas contendo os segmentos \(BA\), \(BC\) e \(AC\), tem raio \(r_b\) e fica externa ao triângulo \(ABC\), razão pela qual é denominada circunferência ex-inscrita ao triângulo \(ABC\). Do mesmo modo, podemos construir outras duas circunferências ex-inscritas de raios \(r_a\) e \(r_c\). O raio \(r\) é o harmônico global dos raios \(r_a\), \(r_b\) e \(r_c\), isto é: \[\frac{1}{r} = \frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}\]

12 Velocidade média

Um carro se desloca de Londrina até NewLondres (distância de 100 km, mantendo na ída uma velocidade média de 90 km/h e na volta ao local de origem mantendo a velocidade média de 110 km/h. Qual é a velocidade média durante todo o trajeto?

Este problema é uma aplicação imediata da média harmônica e a resposta acima deve dar um susto em muita gente descuidada, pois a maioria das pessoas gostaria que fosse \(100\text{km}/h!\)

Todos os outros problemas, embora de situações distintas, mostram que o modelo matemático do harmônico global, é extremamente útil no dia a dia. Em todas as situações acima, o que se nota é a harmonia da ação de todos os entes envolvidos, isto é, ocorre uma atitude conjunta e colaboradora com o objetivo de produzir um resultado. Existem muitas outras questões de caráter matemático que podem ser estudadas através do uso da média harmônica e do harmônico global.