Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Alegria Matemática
Raiz quadrada de um número real
Ulysses Sodré

Extrair a raiz quadrada de um número inteiro A não negativo é obter um outro número real \(r\) tal que \(r^2=A\). Se a igualdade não é possível, pelo menos esperamos que \(r^2 < A\) e o mais próximo possível de A.

Apresentamos o processo para extrair a raiz quadrada de A=127599 para implementar um processo geral. Em quase todas as situações, marcamos com a cor vermelha a novidade que ocorreu de um passo para o seguinte.

  1. Tome uma folha de papel, trace uma linha vertical e outras linhas horizontais para obter 4 quadrantes. O número A é posto no canto superior esquerdo (CSEsq) e a raiz deve aparecer no canto superior direito (CSDir). As operações são realizadas no Canto Inferior Esquerdo (CIEsq) e dados importantes aparecem no Canto Inferior Direito (CIDir).
    \[\begin{array}{c|c} \hline 127599 & CSDir \\ \hline CIEesq & CIDir \\ \hline \end{array}\]
  2. Decompomos o número inteiro A em classes de dois algarismos da direita para a esquerda.
    \[\begin{array}{c|c} \hline \color{red}{12.75.99} & \cdots \\ \hline -- & -- \\ \hline \end{array}\]
  3. Ordenamos as classes da esquerda para a direita com os valores das classes indicados por C1, C2, C,\(\cdots\)
    \[\begin{array}{c|c} \hline C1.C2.C3 & \cdots \\ \hline -- & -- \\ \hline \end{array}\]

    Neste exemplo: \(C1=12\), \(C2=75\) e \(C3=99\).

  4. C1 pode ter um ou dois algarismos (neste caso tem 2) e os valores de todas as classes são menores do que 100.
    \[\begin{array}{c|c} \hline \color{red}{12}.75.99 & \cdots \\ \hline -- & -- \\ \hline \end{array}\]
  5. Procuramos números inteiros positivos B tal que \(B^2 \leq C1=12\)? Os possíveis valores para B são: 0, 1, 2 ou 3.

  6. O maior inteiro com esta propriedade é B=3. Colocamos 3 no canto superior direito.
    \[\begin{array}{c|c} \hline 12.75.99 & \color{red}{3} \\ \hline \cdots & \cdots \\ \hline \end{array}\]
  7. Colocamos \(B^2=3^2=9\) em baixo de C1. O 0 antes do 9 não altera o seu valor e mantém a estrutura organizada.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 3 \\ \hline \color{red}{09} & .. \\ \hline \end{array}\]
  8. Realizamos a diferença \(D=C1-B^2=3\), pondo este último valor abaixo em uma nova linha.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 3 \\ \hline 09 & .. \\ \hline \color{red}{03} & \\ \hline \end{array}\]
  9. Baixamos a classe seguinte C2=75 até a linha onde está a diferença D=3.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 3 \\ \hline 09 & .. \\ \hline 03.\color{red}{75} & \\ \hline \end{array}\]
  10. Juntamos D=3 com C2=75 para formar o número E=375.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 3 \\ \hline 09 & .. \\ \hline \;\;\,\color{red}{375} & \\ \hline \end{array}\]
  11. Colocamos o dobro de B=3, isto é 2B=6 na segunda linha, no canto inferior direito.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 3 \\ \hline 09 & \color{red}{6} \\ \hline \;\;\,375 & \\ \hline \end{array}\]
  12. Realizamos a divisão inteira de E=375 por 6=2B e depois dividimos o resultado por 10 para obter o próximo algarismo F no processo. O 10 indica o dígito das dezenas para a raiz quadrada. Assim, \(F=E/(20B)=375/60=6\).

  13. F=6 deve ser posto em três locais: à direita de B=3 no canto superior direito, à direita de 2B no canto inferior direito e em baixo deste último número no canto inferior direito com um sinal de multiplicação.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 3\color{red}{6} \\ \hline 09 & 6\color{red}{6}{\times}\color{red}{6}= \\ \hline \;\;\,375 & \\ \hline \end{array}\]
  14. Multiplicamos os números do canto inferior direito para obter 396.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 36 \\ \hline 09 & 66{\times}6= \color{red}{396} \\ \hline \;\;\,375 & \\ \hline \end{array}\]
  15. Como o produto é maior do que o número 375 que está no canto inferior esquerdo, repetimos este passo com F-1 no lugar de F.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 3\color{red}{5} \\ \hline 09 & 6\color{red}{5}{\times}\color{red}{5}= \color{red}{325} \\ \hline \;\;\,375 & \\ \hline \end{array}\]

    Devemos diminuir de 1 em 1 o número F até que G seja menor ou igual que E.

  16. Após obter o F=5 adequado, colocamos o número formado pelos dígitos B e F no canto superior direito e o número G em baixo de E, para obter a diferença H=E-G=50.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 35 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & \\ \hline \;\;\,\color{red}{325} & \\ \hline \;\;\;\;\color{red}{50} & \\ \hline \end{array}\]
  17. Baixamos a próxima classe C3=99 até a linha que contém a diferença H=50.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 35 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & \\ \hline \;\;\,325 & \\ \hline \;\;\;\;50.\color{red}{99} & \\ \hline \end{array}\]
  18. Formamos agora um novo número I=5099 e tomamos BF=35.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 35 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & \\ \hline \;\;\,325 & \\ \hline \quad\color{red}{5099} & \\ \hline \end{array}\]
  19. No canto inferior direito, em baixo do produto \(65{\times}5=325\), colocamos o dobro de BF, que é 70.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 35 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & \color{red}{70} \\ \hline \;\;\,325 & \\ \hline \,\;\;\;\;5099 & \\ \hline \end{array}\]
  20. Na segunda vez que realizamos esta operação, fazemos a divisão inteira de I=5099 por 20BF=700 para obter \(J=I/(20BF)=5099÷700=7\). O número J=7 é posto em três locais: à direita de BF, à direita do dobro de BF e em baixo deste último número, no canto inferior direito.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 35\color{red}{7} \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & 70\color{red}{7}{\times}\color{red}{7}= \\ \hline \;\;\,325 & \\ \hline \,\;\;\;\;5099 & \\ \hline \end{array}\]
  21. Multiplicamos J=7 pelo número K=707 formado por 2BF e J.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 357 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & 707{\times}7=\color{red}{4949} \\ \hline \;\;\,325 & \\ \hline \,\;\;\;\;5099 & \\ \hline \end{array}\]
  22. Verificamos que este produto L=4949 é menor do que I=5099. Se não for menor, trocamos J por J-1 e repetimos este passo.

  23. Realizamos a diferença M=I-L=5099-4949=150. Nesse momento, você deve estar com o número formado pelos dígitos B, F e J no canto superior direito. Este é o número representa a raiz quadrada que você está procurando!
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99 & 357 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & 707{\times}7=4949 \\ \hline \;\;\,325 & \\ \hline \quad 5099 & \\ \hline \quad\color{red}{4949} & \\ \hline \;\,\quad\color{red}{150} & \\ \hline \end{array}\]
  24. Notamos que o número BFJ=357 é o maior número inteiro positivo que elevado ao quadrado ainda é menor do que 127599, mas podemos melhorar a precisão do cálculo para a raiz quadrada, obtendo o próximo número decimal após BFJ.

  25. Como zeros depois da vírgula não têm significado, podemos anexar uma nova classe C4=00 após a classe C3, com o cuidado de inserir uma vírgula no lugar do ponto separador e uma outra vírgula após o número BFJ.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99\color{red}{,00} & 357\color{red}{,} \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & 707{\times}7=4949 \\ \hline \;\;\,325 & \\ \hline \,\;\;\;\;5099 & \\ \hline \,\;\;\;\;4949 & \\ \hline \qquad 150 & \\ \hline \end{array}\]
  26. Baixamos a classe 00 até a linha com a diferença e realizamos a junção destes dois números. Colocamos o dobro de BFJ no canto inferior direito, esquecendo da vírgula e considerando este número como um número inteiro.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99,00 & 357 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & 707{\times}7=4949 \\ \hline \;\;\,325 & \color{red}{714} \\ \hline \,\;\;\;\;5099 & \\ \hline \,\;\;\;\;4949 & \\ \hline \;\;\;\;\;\;\;150\color{red}{00} & \\ \hline \end{array}\]
  27. No canto inferior direito, em baixo dos dois produtos, colocamos um algarismo N adequado (neste caso N=2, pois este é o maior algarismo que serve aos nossos propósitos), na frente de 2(BFJ) e formamos um produto como o que está indicado abaixo. Realizamos este último produto.
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99,00 & 357\color{red}{,2} \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & 707{\times}7=4949 \\ \hline \;\;\,325 & 714\color{red}{2}{\times}\color{red}{2}=14284 \\ \hline \,\;\;\;\;5099 & \\ \hline \,\;\;\;\;4949 & \\ \hline \;\;\;\;\;\;\;15000 & \\ \hline \end{array}\]
  28. Realizamos a diferença
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99,00 & 357,2 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & 707{\times}7=4949 \\ \hline \;\;\,325 & 7142{\times}2=14284 \\ \hline \,\;\;\;\;5099 & \\ \hline \,\;\;\;\;4949 & \\ \hline \;\;\;\;\;\;\;15000 & \\ \hline \;\;\;\;\;\;\;14284 & \\ \hline \qquad\quad 716 & \\ \hline \end{array}\]
  29. Anexando uma nova classe 00, obtemos
    \[\begin{array}{l|l} \hline 12.75.99,00\color{red}{.00} & 357,21 \\ \hline 09 & 65{\times}5= 325 \\ \hline \;\;\,375 & 707{\times}7=4949 \\ \hline \;\;\,325 & 7142{\times}2=14284 \\ \hline \,\;\;\;\;5099 & \color{red}{71441}{\times}\color{red}{1}=71441 \\ \hline \,\;\;\;\;4949 & \\ \hline \;\;\;\;\;\;\;15000 & \\ \hline \;\;\;\;\;\;\;14284 & \\ \hline \qquad\quad 71600 & \\ \hline \qquad\quad 71441 & \\ \hline \qquad\qquad 159 & \\ \hline \end{array}\]
  30. Podemos contínuar o processo inserindo novas classes 00 para obter resultados mais precisos ainda. Afirmamos então que, a raiz quadrada de \(127.599\) é aproximadamente igual a 357,21, pois:
    \[(357,21)^2 =127.598,9841 \approx 127.599\]