Harmonia Matemática

Ulysses Sodré

Introdução à harmonia

Há muito tempo conhecemos a importância da harmonia musical (quem não gosta de música?), mas o estudo da Harmonia, do ponto de vista da Matemática, não é comum em vários níveis educacionais. Tratamos aqui sobre os conceitos de Média Harmônica e de Harmônico Global, aqui definido. Tais conceitos são apresentados através de suas definições e os conceitos interrelacionados aparecem em situações práticas.

Média Harmônica

A média harmônica de n números reais positivos x₁, x₂, ..., xn é o número real positivo H, definido por:

onde realizamos a soma sobre todos os inversos dos n números reais positivos dados. Assim, a Média Harmônica H é o inverso da média aritmética dos inversos dos n números x₁, x₂, ..., xn.

Este tipo de cálculo não é simples para pessoas que não possuem um bom entendimento de Matemática, mas apresentamos uma outra média que usa o senso prático.

Podemos interpretar o valor numérico da Média Harmônica H como o número que representa a capacidade média individual da ação de n agentes (indíviduos ou entes) que estão agindo harmonicamente, ou seja, H representa a capacidade de um único agente capaz de substituir cada um dos n agentes quando atuam em conjunto.

A média harmônica é muito útil em diversas situações práticas, mas o Harmônico global, é uma outra medida de caráter harmônico com valor prático muito maior.

Harmônico Global

O Harmônico Global dos números reais positivos x₁, x₂, ..., xn é o número real positivo h, definido por:

Assim, o Harmônico Global h é um número que representa o inverso da soma dos inversos dos n números x₁, x₂, ..., xn.

Na prática, este número h representa a capacidade média global da ação dos n agentes (entes ou indíviduos) agindo em conjunto de uma forma harmônica, isto é, h representa a capacidade de um único agente substituir todos os n agentes ao mesmo tempo.

Aplicações práticas

Apresentaremos agora vários problemas práticos que utilizam o conceito de Harmônico global e um exemplo com a Média Harmônica, assim como as fórmulas que devem ser usadas para obter as soluções, além das soluções.

Torneiras amigas

Uma torneira enche uma caixa d'água em 4 horas e outra torneira enche a mesma caixa em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo, qual será o tempo t necessário para encher a caixa?

Dados: t₁ = 4 h, t₂ = 6 h, t = 2:24 h

Fórmula: fórmula

Torneiras inimigas

Uma torneira enche uma caixa d'água em 4 horas e outra torneira a esvazia em 6 horas. Abrindo-se as duas torneiras simultaneamente, qual será o tempo t necessário para encher a caixa d'água?

Dados: t₁ = 4 h, t₂ = –6 h, t = 12 h

Fórmula: fórmula

Capacidade pessoal

Uma pessoa é capaz de construir um muro em 6 horas e outra pessoa tem a capacidade de trabalho para construir este mesmo muro em 9 horas. Pondo-se as duas pessoas trabalhando em conjunto, em quanto tempo t, o muro estará pronto?

Dados: t₁ = 6 h, t₂ = 9 h, t = 3:36 h

Fórmula: fórmula

Resistores em paralelo

Qual é a resistência equivalente, no circuito elétrico abaixo contendo as resistências R₁ e R₂, ligadas em paralelo?

Dados: t₁=R₁=4 Ω, t₂=R₂=6 Ω, t=R=2,4 Ω

Fórmula: fórmula

Capacitores em série

Qual é a capacidade equivalente de um capacitor que substitui os capacitores C₁ e C₂ no circuito abaixo se os dois capacitores estão ligados em série?

Dados: t₁=C₁=4 F, t₂=C₂=6 F, t=C=2,4 F

Fórmula: fórmula

Segmentos paralelos e média harmônica

Quanto mede o segmento EF na figura em anexo, se os segmentos AD e BC medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm. Um fato interessante neste exemplo é que se tomarmos um segmento com o dobro da medida do segmento h, obteremos um segmento que representa a média harmônica entre os dois segmentos dados AD e BC.

Dados: t₁=h₁ = 8 cm, t₂=h₂=1 cm, t=h = 4,44340..cm

Fórmula: fórmula

Circunferências ex-inscritas

Sejam três retas em um plano, formando uma região triangular fechada ABC e outras regiões abertas. Iremos construir uma circunferência com raio r, inscrita no triângulo ABC.

A circunferência inscrita na região aberta, limitada pelas retas contendo os segmentos BA, BC e AC, tem raio rb e fica externa ao triângulo ABC, razão pela qual é denominada circunferência ex-inscrita ao triângulo ABC. Do mesmo modo, podemos construir outras duas circunferências ex-inscritas de raios ra e rc. O raio r é o harmônico global dos raios ra, rb e rc, isto é:

Fórmula: raios

Velocidade média

Um carro se desloca de Londrina até NewLondres, percorrendo 100 Km, mantendo na ída com uma velocidade média de 90 Km/h e na volta ao local de origem um velocidade média de 110 Km/h. Qual é a velocidade média durante todo o trajeto?

Dados: v₁ = 90 km/h, v₂ = 110 km/h, vm = 99 km/h

Este problema é uma aplicação imediata da média harmônica e a resposta acima deve dar um susto em muita gente descuidada, pois a maioria das pessoas gostaria que fosse 100 km/h!

Todos os outros problemas, embora de situações distintas, mostram que o modelo matemático do Harmônico Global, é extremamente util no dia a dia. Em todas as situações acima, notamos que a harmonia da ação de todos os entes envolvidos, isto é, ocorre uma atitude conjunta e colaboradora com o objetivo de produzir um resultado. Existem muitas outras sityuações de caráter matemático que podem ser estudadas através do uso da Média Harmônica e do Harmônico Global.

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