Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Alegria Matemática
Divisão longa
Ulysses Sodré

Material desta página

1 Divisão de polinômios

Para dividir o polinômio \(p(x)=x^3-3x^2+3x-1\) por \(d(x)=x-1\), montamos uma tabela semelhante à divisão de dois números inteiros. Os coeficientes dos termos de mais alto grau são muito importantes. Neste tipo de divisão, as potências são indicadas por ordem decrescente, tanto no dividendo como no divisor.

Na sequência, usamos algumas letras para simplificar a escrita: D=dividendo, d=divisor, Q=quociente, R=resto e P=produto.

  1. Dividimos \(x^3\) por \(x\) para obter o quociente \(Q=x^2\), que é posto sob o divisor \(x-1\).

    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & & x^2 & Q \\ R1 & & & \\ \end{array}\]
  2. Multiplicamos o quociente \(x^2\) pelo divisor \(x-1\), trocamos o sinal para obter o produto \(P=-x^3+x^2\) e colocamos este produto com o sinal trocado de modo organizado sob o dividendo \(x^3-3x^2+2x-1\);
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & -x^3+1x^2 & x^2 & Q \\ R1 & & & & \\ \end{array}\]
  3. Somamos o dividendo com o produto negativo pondo o resultado em baixo na mesma coluna no local indicado com a palavra resto.
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & -x^3+1x^2 & x^2 & Q \\ R1 & -2x^2+3x-1 & & \\ \end{array}\]
  4. Dividimos o termo dominante \(-2x^2\) do resto por \(x\) que é o termo dominante do divisor para obter \(-2x\), que é posto na frente do termo \(x^2\) que está no quociente.
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & -x^3+1x^2 & x^2-2x & Q \\ R1 & -2x^2+3x-1 & & \\ \end{array}\]
  5. Multiplicamos \(-2x\) por x\(-1\), trocamos o sinal e colocamos o produto \(P=2x^2-2x\) sob a expressão do resto.
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & -x^3+1x^2 & x^2-2x & Q \\ R1 & -2x^2+3x-1 & & \\ R2 & -2x^2+2x & & \\ \end{array}\]
  6. Somamos o resto com o último produto negativo para obter o último resto \(x-1\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & -x^3+1x^2 & x^2-2x & Q \\ R1 & -2x^2+3x-1 & & \\ R2 & +2x^2-2x & & \\ R3 & +1x-1 & & \\ \end{array}\]
  7. Dividimos o último resto \(x-1\) pelo divisor \(x-1\) para obter \(1\) e este número a posto à direita junto ao quociente.
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & -x^3+1x^2 & x^2 & Q1 \\ R1 & -2x^2+3x-1 & -2x & Q2 \\ R2 & +2x^2-2x & 1 & Q3 \\ R3 & +1x-1 & & \\ \end{array}\]
  8. Multiplicando \(1\) pelo divisor \(x-1\), trocamos o sinal e colocamos este resultado em baixo do último resto no local indicado com o último produto negativo.
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & -x^3+1x^2 & x^2 & Q1 \\ R1 & -2x^2+3x-1 & -2x & Q2 \\ R2 & +2x^2-2x & 1 & Q3 \\ R3 & +1x-1 & & \\ R4 & -1x+1 & & \\ \end{array}\]
  9. Somamos o último resto com o último produto negativo para obter \(0\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1x^3-3x^2+3x-1 & 1x-1 & d \\ -P & -x^3+1x^2 & x^2 & Q1 \\ R1 & -2x^2+3x-1 & -2x & Q2 \\ R2 & +2x^2-2x & 1 & Q3 \\ R3 & +1x-1 & & \\ R4 & -1x+1 & & \\ R5 & 0 & & \\ \end{array}\]
  10. Temos então a divisão exata de \(p=p(x)=x^3-3x^2+3x-1\) pelo divisor \(x-1\) obtendo o quociente \(q=q(x)=x^2-2x+1\), e o resto \(0\).

2 Divisão longa

A divisão longa é um pouco diferente, embora utilizemos vários dos procedimentos anteriores. A diferença em relação à divisão de polinômios é que na divisão longa, os termos de menor dominância é que são os mais importantes. Tais termos têm as potências colocadas em ordem crescente, tanto no dividendo como no divisor.

Para obter a divisão longa de f(x)=1 pela função \(g(x)=1-x-x^2\), indicamos o dividendo à esquerda com \(1\) e o divisor com \(1-x-x^2\).

Na sequência, usamos algumas letras para simplificar a escrita: D=dividendo, d=divisor, Q=quociente, R=resto e P=produto.

  1. Na divisão longa, as constantes do dividendo e do divisor, que são constantes dos termos de MENOR dominância, são as mais importantes no primeiro passo. Na divisão polinomial os termos importantes eram os termos dominantes do dividendo e do divisor.
    \[\begin{array}{r|l|r|l} \hline D & 1 & 1-x-x^2 & d \\ -P & & & Q \\ R & & & \\ \end{array}\]
  2. Dividimos \(1\) do dividendo pelo \(1\) do divisor para obter \(1\) no quociente. Multiplicamos este \(Q=1\) pelo divisor, trocamos o sinal e colocamos produto \(P=-1+x+x^2\) sob o dividendo do momento.
    \[\begin{array}{r|l|l|l} \hline D & +1 & 1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q \\ \end{array}\]
  3. Após isto, somamos \(D\) e \(P1\) para obter \(R1=x+x^2\), que será o novo dividendo no passo seguinte.
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & & \\ \end{array}\]
  4. Agora o termo \(x\) do resto \(R1=x+x^2\) e o termo \(1\) do divisor são os termos mais importantes do momento. Dividimos este \(x\) de \(R1\) pelo \(1\) do divisor para obter \(Q2=x\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & x+x^2 & +x & Q2 \\ \end{array}\]
  5. Multiplicamos este \(Q2=x\) pelo divisor, trocamos o sinal, para obter o produto \(P2=-x+x^2+x^3\) e colocamos este resultado sob o resto \(R1\)
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & & \\ \end{array}\]
  6. Realizamos a soma de \(R1\) com \(P2\), para obter o novo \(R2\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & & \\ R2 & x^2+x^3 & & \\ \end{array}\]
  7. Dividimos \(R2\) por \(1\), para obter:
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +x^2 & Q3 \\ R2 & x^2+x^3 & & \\ \end{array}\]
  8. Multiplicamos \(Q3=x^2\) pelo divisor e colocamos o produto com o sinal trocado em \(P3\):
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +x^2 & Q3 \\ R2 & x^2+x^3 & & \\ \end{array}\]
  9. O novo dividendo é \(R2\). Realizamos a soma para obter \(2x^2+x^3\):
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +2x^2 & Q3 \\ R2 & +2x^2+x^3 & & \\ P3 & -2x^2+2x^3+2x^4 & & \\ \end{array}\]
  10. Somamos \(R1\) e \(P2\), para obter o novo \(R2\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +2x^2 & Q3 \\ R2 & +2x^2+x^3 & & \\ P3 & -2x^2+2x^3+2x^4 & & \\ R3 & +3x^3+2x^4 & & \\ \end{array}\]
  11. Agora dividimos \(R3=3x^3\) por \(1\) para obter \(Q4=3x^3\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +2x^2 & Q3 \\ R2 & +2x^2+x^3 & +3x^3 & Q4 \\ P3 & -2x^2+2x^3+2x^4 & & \\ R3 & +3x^3+2x^4 & & \\ \end{array}\]
  12. Multiplicamos \(Q4=3x^3\) pelo divisor, trocamos o sinal, para obter \(P4=-3x^3+3x^4+3x^5\). Colocamos este resultado sob o valor de \(R4\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +2x^2 & Q3 \\ R2 & +2x^2+x^3 & +3x^3 & Q4 \\ P3 & -2x^2+2x^3+2x^4 & & \\ R3 & +3x^3+2x^4 & & \\ P4 & -3x^3+3x^4+3x^5 & & \\ \end{array}\]
  13. Somamos \(R3\) e \(P4\) para obter \(R4=+5x^4+3x^5\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +2x^2 & Q3 \\ R2 & +2x^2+x^3 & +3x^3 & Q4 \\ P3 & -2x^2+2x^3+2x^4 & & \\ R3 & +3x^3+2x^4 & & \\ P4 & -3x^3+3x^4+3x^5 & & \\ R5 & +5x^4+3x^5 & & \\ \end{array}\]
  14. Agora, o termo \(5x^4\) de R5 é dividido pelo \(1\) do ddivisor, para obter \(Q5=5x^45\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +2x^2 & Q3 \\ R2 & +2x^2+x^3 & +3x^3 & Q4 \\ P3 & -2x^2+2x^3+2x^4 & +5x^4 & Q5 \\ R3 & +3x^3+2x^4 & & \\ P4 & -3x^3+3x^4+3x^5 & & \\ R5 & +5x^4+3x^5 & & \\ \end{array}\]
  15. Multiplicamos este \(5x^4\) pelo divisor, trocamos o sinal, para obter \(P5=-5x^4+5x^5+5x^6\), que deve ser posto em baixo do valor de \(R5\).
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +2x^2 & Q3 \\ R2 & +2x^2+x^3 & +3x^3 & Q4 \\ P3 & -2x^2+2x^3+2x^4 & +5x^4 & Q5 \\ R3 & +3x^3+2x^4 & & \\ P4 & -3x^3+3x^4+3x^5 & & \\ R5 & +5x^4+3x^5 & & \\ P5 & -5x^4+5x^5+5x^6 & & \\ \end{array}\]
  16. Somamos \(R5\) com \(P5\) para obter \(R6=8x^5+5x^6\):
    \[\begin{array}{r|l|r|l}\hline D & +1 & +1-x-x^2 & d \\ P1 & -1+x+x^2 & 1 & Q1 \\ R1 & +x+x^2 & +1x & Q2 \\ P2 & -x+x^2+x^3 & +2x^2 & Q3 \\ R2 & +2x^2+x^3 & +3x^3 & Q4 \\ P3 & -2x^2+2x^3+2x^4 & +5x^4 & Q5 \\ R3 & +3x^3+2x^4 & & \\ P4 & -3x^3+3x^4+3x^5 & & \\ R5 & +5x^4+3x^5 & & \\ P5 & -5x^4+5x^5+5x^6 & & \\ R6 & +8x^5+5x^6 & & \\ \end{array}\]
  17. Para os outros coeficientes desta série formal, devemos continuar o processo de divisão. A sequência de Fibonacci aparece nos coeficientes no quociente da divisão de \(1\) por \(1-x-x^2\), isto é:
    \[\frac{1}{1{-}x{-}x^2}{=}1{+}1x{+}2x^2{+}3x^3{+}5x^4{+}8x^5{+}13x^6{+}...\]

Atualizada por Ulysses Sodré
Londrina-PR, 29-julho-2020