Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

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Estas são \(50\) dicas para cálculo rápido, comumente encontradas no cotidiano e no comércio em geral. Mostradas em \(23\) grupos de dicas, sendo que os ítens do mesmo grupo apresentam características semelhantes.

1 Dica 01-1: Multiplicar por 10

Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita.

• \(12 \times 10 = 120\)
• \(12,345 \times 10 = 123,45\)

2 Dica 01-2: Multiplicar por 100

Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita.

• \(12 \times 100 = 1200\)
• \(12,345 \times 100 = 1234,5\)

3 Dica 01-3: Multiplicar por 1000

Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita.

• \(12 \times 1000 = 12000\)
• \(12,345 \times 1000 = 12345\)

4 Dica 01-4: Multiplicar por uma potência de 10

Deslocar a vírgula \(n\) casas decimais para a direita.

• \(12 \times 10^7 = 120000000\)
• \(12,345 \times 10^7 = 123450000\)

5 Dica 02-1: Dividir por 10

Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda.

• \(12/10 = 1,2\)
• \(12,345/10 = 1,2345\)

6 Dica 02-2: Dividir por 100

Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda.

• \(12/100 = 0,12\)
• \(12,345/100 = 0,12345\)

7 Dica 02-3: Dividir por 1000

Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda.

• \(12/1000 = 0,0120\)
• \(12,345/1000 = 0,012345\)

8 Dica 02-4: Dividir por uma potência de 10

Deslocar a vírgula \(n\) casas decimais para a esquerda.

• \(12/10^7 = 0,0000012\)
• \(12,345/10^7 = 0,0000012345\)

9 Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25

Tomar o dobro do dobro do número.

• \(4 \times 16 = 2 \times 2 \times 16 = 2 \times 32 = 64\)
• \(12,3 \times 4 = 2 \times 2 \times 12,3 = 2 \times 24,6 = 49,2\)

10 Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5

Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10.

• \(0,4\times 16=(2\times 2\times 16)/10 = 2\times 32/10 = 64/10=6,4\)
• \(0,4\times 12,3=(2\times 2\times 12,3)/10=(2\times 24,6)/10=49,2/10=4,92\)

11 Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25

Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10.

• \(40\times 16=2\times 2\times 16\times 10=2\times 32\times 10=64\times 10=640\)
• \(40\times 12,3=2\times 2\times 12,3\times 10=2\times 24,6\times 10=49,2\times 10=492\)

12 Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25

Tomar a metade da metade do número.

• \(16/4 = (16/2)/2 = 8/2 = 4\)
• \(12,3/4 = (12,3/2)/2 = 6,15/2 = 3,075\)

13 Dica 04-2: Dividir por 0,4 = multiplicar por 2,5

Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10.

• \(16/0,4 = (16/2)/2\times 10 = 8/2 \times 10 = 4 \times 10 = 40\)
• \(12,3/0,4=(12,3/2)/2\times 10=6,15/2\times 10=3,075\times 10=30,75\)

14 Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25

Tomar a metade da metade do número e dividir por 10.

• \(16/40 = ((16/2)/2)/10 = (8/2)/10 = 4/10 = 0,4\)
• \(12,3/40 = ((12,3/2)/2)/10 = (6,15/2)/10 = 3,075/10 = 0,3075\)

15 Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2

Tomar a metade do número e multiplicar por 10.

• \(5 \times 16 = 16÷2 \times 10 = 8 \times 10 = 80\)
• \(5 \times 12,3 = 12,3÷2 \times 10 = 6,15 \times 10 = 61,5\)

16 Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2

Tomar a metade do número.

• \(0,5 \times 16 = 16/2 = 8\)
• \(0,5 \times 12,3 = 12,3/2 = 6,15\)

17 Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02

Tomar a metade do número e multiplicar por 100.

• \(50 \times 16 = 16÷2 \times 100 = 8 \times 100 = 800\)
• \(50 \times 12,3 = 12,3÷2 \times 100 = 6,15 \times 100 = 615\)

18 Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2

Tomar o dobro do número e dividir por 10.

• \(16/5 = (2\times 16)/10 = 32/10 = 3,2\)
• \(12,3/5 = (12,3\times 2)/10 = 24,6/10 = 2,46\)

19 Dica 06-2: Dividir por 0,5 = Multiplicar por 2

Tomar o dobro do número.

• \(16÷0,5 = 2 \times 16 = 32\)
• \(12,3÷0,5 = 12,3 \times 2 = 24,6\)

20 Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02

Tomar o dobro do número.

• \(16/50 = (2\times 16)/100 = 32/100 = 0,32\)
• \(12,3÷50 = (2\times 12,3)/100 = 24,6/100 = 0,246\)

21 Dica 07-1: Elevar número [M5] ao quadrado

Decompomos o número em duas partes: \(M\) e \(5\). A primeira parte \(M\) deve ser multiplicada por \(M+1\) e ao resultado se acrescenta \(25\).

Justificativa: Tomando \([M5]=10M+5\), então \[\begin{align} [M5]^2 & = (10M+5)^2 \\ & = 100M^2{+}100M{+}25 \\ & = 100(M^2{+}M){+}25 \\ & = 100M{\times}(M+1) + 25 \end{align}\]

• \(35^2 = (3 \times 4)25 = 1225\)
• \(75^2 = (7 \times 8)25 = 5625\)
• \(105^2 = (10 \times 11)25 = 11025\)
• \(205^2 = (20 \times 21)25 = 42025\)

22 Dica 08-1: Multiplicar por 11

Se o número tem dois algarismos na forma \([MN]\) com \(M+N<10\) então o produto é escrito na forma \([M,M+N,N]\).

Justificativa: Tomando \([MN]=10M+N\), então: \[\begin{align} (10M+N) \times 11 & = (10M+N){\times}(10+1) \\ & = 100M{+}10M{+}10N{+}1 \\ & = 100M{+}10(M+N){+}1 \\ & = 100M{+}10(M+N){+}1 \\ & = [M,M+N,1] \end{align}\]

• \(35 \times 11 = (3,8,5) = 385\)
• \(27 \times 11 = (2,9,7) = 297\)

23 Dica 08-2: Multiplicar por 11

Se o número tem dois algarismos na forma \([MN]\) e \(M+N>10\) então, escreve-se \([M+1,M+N-10,N]\).

Justificativa: Tomando \([MN]=10M+N\), segue que: \[\begin{align} (10M+N)\times 11 & = (10M+N){\times}(10+1) \\ & = 100M+10M+10N+1 \\ & = (10M+N) \times (10+1) \\ & = 100M+10M+10N+1 \\ & = 100M{+}100{-}100{+}10(M+N){+}1 \\ & = 100(M+1){+}10(M+N-10){+}1 \\ & = [M+1,M+N-10,1] \end{align}\]

• \(78 \times 11 = (8,5,8) = 858\)
• \(95 \times 11 = (10,4,5) = 1045\)

24 Dica 08-3: Multiplicar por 11

Se o número tem três algarismos \([ABC]\) e \(A+B+C<10\) então, escreve-se \([A,A+B,B+C,C]\).

Justificativa: Se \([ABC]=100A+10B+C\), então: \[\begin{align} (100A+10B+C) \times 11 & = (100A+10B+C) \times (10+1) \\ & = 1000A+100B+10C+100A+10B+C \\ & = 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C \\ & = [A,A+B,B+C,C] \end{align}\]

• \(134 \times 11 = (1,1+3,3+4,4) = (1,4,7,4) = 1474\)
• \(235 \times 11 = (2,2+3,3+5,5) = (2,5,8,5) = 2585\)

25 Dica 09-1: Multiplicar por 25 = Dividir por 0,04

Dividir o número por \(4\) e multiplicar por \(100\).

• \(16\times 25=(16/2)/2\times 100=(8/2)\times 100=4\times 100=400\)
• \(12,3\times 25=(12,3/2)/2\times 100=6,15/2\times 100=3,075\times 100=307,5\)

26 Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4

Dividir o número por \(4\) e multiplicar por \(10\).

• \(16 \times 2,5 = (16/2)/2 \times 10 = (8/2)\times 10 = 4 \times 10 = 40\)
• \(12,3\times 2,5=(12,3/2)/2\times 10=(6,15/2)\times 10=3,075\times 10=30,75\)

27 Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4

Dividir o número por \(4\).

• \(16 \times 0,25 = (16/2)/2 = 8/2 = 4\)
• \(12,3 \times 0,25 = (12,3/2)/2 = 6,15/2 = 3,075\)

28 Dica 10-1: Multiplicar por 101

Se o número tem dois algarismos \([AB]\) escreve-se o produto na forma \([A,B,A,B]\)

• \(35 \times 101 = (3,5,3,5) = 3535\)
• \(27 \times 101 = (2,7,2,7) = 2727\)

29 Dica 10-2: Multiplicar por 101

Se o número tem três algarismos \([ABC]\) com \(A+C<10\), escreve-se \([A,B,A+C,B,C]\).

Justificativa: Se [ABC]=100A+10B+C, então \[\begin{align} [ABC] \times 101 & = (100A + 10B + C) \times 101 \\ & = (100A + 10B + C) \times (100 + 1) \\ & = 10000A + 1000B + 100C + 100A + 10B + C \\ & = 10000A + 1000B + 100(A + C) + 10B + C \\ & = [A,B,A+C,B,C] \end{align}\]

• \(435 \times 101 = (4,3,(4+5),3,5) = (4,3,9,3,5) = 43935\)
• \(257 \times 101 = (2,5,(2+7),5,7) = (2,5,9,5,7) = 25957\)

30 Dica 11-1: Multiplicar por 9

Se o número tem a forma \([MN]\), basta acrescentar um zero no final do número \(MN\) (multiplicar por 10) e retirar o próprio número \(MN\).

• \(35 \times 9 = 350-35 = 315\)
• \(27 \times 9 = 270-27 = 243\)

31 Dica 11-2: Multiplicar por 99

Se o número é da forma \(MN\), como \(99=100-1\), acrescentar dois zeros ao número \(MN\) (multiplicar por \(100\)) e retirar o próprio número \(MN\).

• \(35 \times 99 = 3500-35 = 3465\)
• \(27 \times 99 = 2700-27 = 2673\)

32 Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles

Se o primeiro número é \(X\) e o segundo número é \(Y\), eles podem ser escritos como \(M-1\) e \(M+1\), onde \(M\) é o valor médio entre \(X\) e \(Y\) e o produto entre eles é \((M-1)(M+1) = M^2 -1\), logo basta elevar \(M\) ao quadrado e retirar o valor 1.

• \(14 \times 12 = 13^2 -1 = 169-1 = 168\)
• \(14 \times 16 = 15^2 -1 = 225-1 = 224\)
• \(34 \times 36 = 35^2 -1 = 1225-1 = 1224\)

33 Dica 12-2: Produto de números com diferença 4 entre eles

Se o primeiro número é \(X\) e o segundo número é \(Y\), e podem ser escritos como \(M-2\) e \(M+2\), onde \(M\) é o valor médio entre \(X\) e \(Y\). Assim o produto entre eles é \((M-2)(M+2)=M^2-4\), logo basta elevar \(M\) ao quadrado e retirar \(4\).

• \(14 \times 18 = 16^2 -4 = 256-4 = 252\)
• \(24 \times 28 = 26^2 -4 = 576-4 = 572\)
• \(33 \times 37 = 35^2 -4 = 1225-4 = 1221\)

34 Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles

Se o primeiro número é \(X\) e o segundo número é \(Y\), eles podem ser escritos como \(M-3\) e \(M+3\), onde \(M\) é o valor médio entre \(X\) e \(Y\). Assim o produto entre eles é \((M-3)(M+3)=M^2-9\), logo basta elevar \(M\) ao quadrado e retirar o valor \(9\).

• \(14 \times 20 = 17^2 -9 = 289-9 = 280\)
• \(51 \times 57 = 54^2 -9 = 2916-9 = 2907\)

35 Dica 13-1: Multiplicar por 1,5

Somar o número com a sua metade.

• \(16 \times 1,5 = 16+8 = 24\)
• \(12,3 \times 1,5 = 12,3+6,15 = 18,45\)

36 Dica 13-2: Multiplicar por 15

Somar o número com a sua metade e multiplicar por \(10\).

• \(16 \times 15 = (16+8) \times 10 = 24 \times 10 = 240\)
• \(12,3\times 15 = (12,3+6,15)\times 10 = 18,45 \times 10 = 184,5\)

37 Dica 13-3: Multiplicar por 0,15

Somar o número com a sua metade e dividir por \(10\).

• \(16 \times 15 = (16 + 8)÷10 = 24÷10 = 2,4\)
• \(12,3 \times 15 = (12,3 + 6,15)÷10 = 18,45÷10 = 1,845\)

38 Dica 14-1: Multiplicar números [MA] e [MB], se A+B=10

Se o primeiro número é \([MA]\) e o segundo número é \([MB]\), o produto é obtido por \((M\times(M+1),A\times B)\).

Justificativa: Se \([MA]=10M+A\), \([MB]=10M+B\) e \(A+B=10\), então \[\begin{align} [MA]\times[MB] & = (10M+A)(10M+B)\\ & = 100M^2+10M(A+B)+A\times B \\ & = 100M^2+100M+A\times B \\ & = 100M(M+1)+A\times B \end{align}\]

• \(14 \times 16 = (1 \times 2,4 \times 6) = (2,24) = 224\)
• \(17 \times 13 = (1 \times 2,7 \times 3) = (2,21) = 221\)
• \(34 \times 36 = (3 \times 4,4 \times 6) = (12,24) = 1224\)
• \(34 \times 36 = (3 \times 4,4 \times 6) = (12,24) = 1224\)
• \(73 \times 77 = (7 \times 8,3 \times 7) = (56,21) = 5621\)
• \(104 \times 106 = (10 \times 11,4 \times 6) = (110,24) = 11024\)

39 Dica 15-1: Elevar número [5P] ao quadrado

Decompõe-se o número em \(5\) e \(P\), escrevemos o produto como \((25+P,P\times P)\).

Justificativa: Se \([5P]=50+P\), então \[\begin{align} (50+P)^2 & = 2500 + 2 \times 50 \times P + P^2 \\ & = 2500 + 100 P + P^2 \\ & = (100 \times (25+P) + P^2 \end{align}\]

• \(53^2 = (25+3,09) = (28,09) = 2809\)
• \(54^2 = (25+4,16) = (29,16) = 2616\)
• \(58^2 = (25+8,64) = (33,64) = 3364\)
• \(59^2 = (25+9,81) = (34,81) = 3481\)

40 Dica 16-1: Elevar número [M1] ao quadrado

Decompomos o número em duas partes: \(M\) e \(1\). O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de \([M1]\) com \([M0]\).

Justificativa: Como \((X+1)^2=X^2+2X+1\), então \[\begin{align} [M1]^2 & = (10M+1)^2 \\ & = 100 M^2 + 20M + 1 \\ & = 100 M^2 + (10M+1) + (10M) \\ & = [M^2,[M+1+M]] \end{align}\]

• \(31^2 = [900, 31+30] = [900,61] = 961\)
• \(71^2 = [4900,71+70] = [4900,141] = 5041\)
• \(101^2 = [10000,101+100] = [10000,201] = 10201\)
• \(151^2 = [150^2,151+150] = [22500,301] = 22801\)

41 Dica 17-1: Multiplicar números por decomposição

Se o primeiro número \(X\) tem um algarismo e o segundo número \([YZ]\) tem dois algarismos, escrevemos \([YZ]=10Y+Z\) e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto.

Justificativa: Como \([YZ]=10Y+Z\), então \[X \times [YZ] = X \times (10Y + Z) = 10 X \times Y + X \times Z\]

• \(8\times 13 = 8 \times 10 + 8 \times 3 = 80+24 = 104\)
• \(9\times 17 = 9 \times 10+9 \times 7 = 90+63 = 153\)
• \(15\times 22 = 15 \times 20+15 \times 2 = 300+30 = 330\)
• \(1,5\times 22 = 1,5 \times 20+1,5 \times 2 = 30+3 = 33\)
• \(1,5{\times}2,2=(1,5{\times}22)/10=(1,5{\times}20+1,5{\times}2)/10 =(30+3)/10=3,3\)

42 Dica 18-1: Subtraindo com soma compensada

Se o primeiro número \([XY]\) tem dois algarismos e o segundo número \([WZ]\) também tem dois algarismos mas o algarismo \(Y\) é menor do que \(Z\), então somamos e subtraímos um número \(D\) (diferença entre \(Z\) e \(Y\)) para que ambos tenham os algarismos das unidades iguais até a realização da primeira diferença e depois subtraímos \(D\) do resultado obtido anteriormente.

Justificativa: Se a diferença entre \(Z\) e \(Y\) é \(D=Z-Y\), então: \[\begin{align} [XY]-[WZ] & = (10 X + Y) - (10W + Z) \\ & = 10( X - W) + (Y-Z) \\ & = 10( X - W) + (Y-Z) + D - D\\ & = 10( X - W) - D \end{align}\]

• \(72-48 = 72+6-6-48 = 78-6-48 = 78-48-6 = 30-6 = 24\)
• \(57-49 = 57+2-2-49 = 59-2-49 = 10-2 = 8\)
• \(142-88 = 142+6-6-88 = 148-88-6 = 60-6 = 54\)

43 Dica 18-2: Subtraindo com soma compensada

Se o primeiro número \([XY]\) tem dois algarismos e o segundo número \([WZ]\) também tem dois algarismos mas o algarismo \(Y\) é menor do que \(Z\), então somamos um mesmo número \(D\) aos dois números dados de modo a zerar o algarismo das unidades do menor e depois realizamos a diferença.

Justificativa: Se \(D\) é a diferença entre \(10\) e \(Z\), isto é, \(D=10-Z\), então:

• \(72-48 = (72+2)-(48+2) = 74-50 = 24\)
• \(57-49 = (57+1)-(49+1) = 58-50 = 8\)
• \(142-87 = (142+3)-(87+3) = 145-90 = 55\)

44 Dica 18-3: Somando com soma compensada

Se o primeiro número \([XY]\) tem dois algarismos e o segundo número \([WZ]\) também tem dois algarismos mas o algarismo \(Y\) é menor do que \(Z\), então somamos um mesmo número \(D\) ao último número e subtraímos \(D\) do primeiro número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do segundo número dado e realizamos a soma.

Justificativa: Se \(D\) é a diferença entre \(10\) e \(Z\), isto é, \(D+Z=10\), então:

• \(72+48 = (72-2)+(48+2) = 70+50 = 120\)
• \(57+49 = (57-1)+(49+1) = 56+50 = 106\)
• \(142+87 = (142-3)+(87+3) = 139+90 = 229\)

45 Dica 18-4: Somando com soma compensada

Quando o primeiro número \([XY]\) tem dois algarismos e o segundo número \([WZ]\) também tem dois algarismos mas o algarismo \(Y\) é menor do que \(Z\), então somamos um mesmo número \(D\) ao primeiro número e subtraimos \(D\) do segundo número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do primeiro número dado e realizamos a soma.

Justificativa: Se \(D\) é a diferença entre \(10\) e \(Y\), isto é, \(D+Y=10\), então:

• \(72+48 = (72+8)+(48-8) = 80+40 = 120\)
• \(57+49 = (57+3)+(49-3) = 60+46 = 106\)
• \(142+87 = (142+8)+(87-8) = 150+79 = 229\)

46 Dica 19-1: Soma dos n primeiros naturais

Para obter a soma \(S=1+2+3+...+n\), basta tomar a metade do produto de \(n\) por \(n+1\).

Justificativa: Escrevemos os números naturais na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:

Somando membro a membro as duas igualdades: \[\begin{array}{ccccccc} 2S & =(1+n) & +(2+n-1) & + \cdots +(n-1+2) & +(n+1) \\ 2S & =(n+1) & +(n+1) & + \cdots +(n+1) & +(n+1) \end{array}\] assim \[2S = n\times (n+1)\] e obtemos \[S = \frac{n(n+1)}{2}\]

• \(S_1=1+2+3+...+100 = (100\times 101)/2 = 5050\)
• \(S_2=1+2+3+...+12 = (12\times 13)/2 = 156/2 = 78\)
• \(S_3=S_1-S_2=13+14+...+100 = 5050-78 = 4972\)

47 Dica 20-1: Soma dos n primeiros naturais ímpares

A soma \(S = 1+3+5+7+...+2n-1\) é igual ao quadrado de \(n\).

Justificativa: Escrevemos os números naturais ímpares na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:

Somando membro a membro as duas igualdades \[\begin{align} 2S & = (1+2n-1) + (2+2n-3) +...+ (2n-3+3) + (2n-1+1) \\ & = 2n + 2n + 2n + ... + 2n (n \text{ vezes}) \\ & = 2n\times n = 2 n^2 \end{align}\] logo \[S = n^2\]

• \(S_1=1+3+5+...+101 = 101^2 = 10201\)
• \(S_2=1+3+5+...+5 = 5^2 = 25\)
• \(S_3=S_1-S_2=7+9+11+...+101 = 10201-25 = 10176\)

48 Dica 21-1: Soma dos n primeiros naturais pares

Para obter a soma \(S=2+4+6+...+2n\), basta multiplicar \(n\) por \(n+1\), notando que \(n\) é exatamente a metade do último par \(2n\).

Justificativa: Escrevemos os números naturais pares na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:

Somando membro a membro as duas igualdades

• \(S_1=2+4+6+...+98+100 = 50 \times 51 = 2550\)
• \(S_2=2+4+6+...+14 = 7 \times 8 = 56\)
• \(S_3=S_1-S_2=16+18+20+...+98+100 = 2550-56 = 2494\)

49 Dica 22-1: Divisão por 17 \(\approx\) produto por 0,06

Para obter o valor aproximado da divisão de um número por \(17\), basta multiplicar por \(6\) e dividir por \(100\).

Exemplos

• \(42/17: = (42\times 6)/100 = 252/100 = 2,52 \approx 2,47\)
• \(150/17: = (150\times 6)/100 = 900/100 = 9 \approx 8,82\)

50 Dica 23-1: Divisão por 33 \(\approx\) produto por 0,03

Para obter o valor aproximado da divisão de um número por \(33\), basta multiplicar por \(3\) e dividir por \(100\).

• \(42/3: = (42\times 3)/100 = 126/100 = 1,26 \approx 1,27\)
• \(150/33: = (150\times 3)/100 = 450/100 = 4,5 \approx 4,55\)