Matemática Essencial

Ensino Fundamental, Médio e Superior no Brasil

Alegria Matemática
Cálculos Rápidos
Ulysses Sodré

Material desta página

Estas são \(50\) dicas para cálculo rápido, comumente encontradas no cotidiano e no comércio em geral. Mostradas em \(23\) grupos de dicas, sendo que os ítens do mesmo grupo apresentam características semelhantes.

1 Dica 01-1: Multiplicar por 10

Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita.

2 Dica 01-2: Multiplicar por 100

Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita.

3 Dica 01-3: Multiplicar por 1000

Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a direita.

4 Dica 01-4: Multiplicar por uma potência de 10

Deslocar a vírgula \(n\) casas decimais para a direita.

5 Dica 02-1: Dividir por 10

Deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda.

6 Dica 02-2: Dividir por 100

Deslocar a vírgula 2 casas decimais para a esquerda.

7 Dica 02-3: Dividir por 1000

Deslocar a vírgula 3 casas decimais para a esquerda.

8 Dica 02-4: Dividir por uma potência de 10

Deslocar a vírgula \(n\) casas decimais para a esquerda.

9 Dica 03-1: Multiplicar por 4 = Dividir por 0,25

Tomar o dobro do dobro do número.

10 Dica 03-2: Multiplicar por 0,4 = Dividir por 2,5

Tomar o dobro do dobro do número e dividir por 10.

11 Dica 03-3: Multiplicar por 40 = Dividir por 0,25

Tomar o dobro do dobro do número e multiplicar por 10.

12 Dica 04-1: Dividir por 4 = Multiplicar por 0,25

Tomar a metade da metade do número.

13 Dica 04-2: Dividir por 0,4 = multiplicar por 2,5

Tomar a metade da metade do número e multiplicar por 10.

14 Dica 04-3: Dividir por 40 = Multiplicar por 0,25

Tomar a metade da metade do número e dividir por 10.

15 Dica 05-1: Multiplicar por 5 = Dividir por 0,2

Tomar a metade do número e multiplicar por 10.

16 Dica 05-2: Multiplicar por 0,5 = Dividir por 2

Tomar a metade do número.

17 Dica 05-3: Multiplicar por 50 = Dividir por 0,02

Tomar a metade do número e multiplicar por 100.

18 Dica 06-1: Dividir por 5 = Multiplicar por 0,2

Tomar o dobro do número e dividir por 10.

19 Dica 06-2: Dividir por 0,5 = Multiplicar por 2

Tomar o dobro do número.

20 Dica 06-3: Dividir por 50 = Multiplicar por 0,02

Tomar o dobro do número.

21 Dica 07-1: Elevar número [M5] ao quadrado

Decompomos o número em duas partes: \(M\) e \(5\). A primeira parte \(M\) deve ser multiplicada por \(M+1\) e ao resultado se acrescenta \(25\).

Justificativa: Tomando \([M5]=10M+5\), então \[\begin{align} [M5]^2 & = (10M+5)^2 \\ & = 100M^2{+}100M{+}25 \\ & = 100(M^2{+}M){+}25 \\ & = 100M{\times}(M+1) + 25 \end{align}\]

22 Dica 08-1: Multiplicar por 11

Se o número tem dois algarismos na forma \([MN]\) com \(M+N<10\) então o produto é escrito na forma \([M,M+N,N]\).

Justificativa: Tomando \([MN]=10M+N\), então: \[\begin{align} (10M+N) \times 11 & = (10M+N){\times}(10+1) \\ & = 100M{+}10M{+}10N{+}1 \\ & = 100M{+}10(M+N){+}1 \\ & = 100M{+}10(M+N){+}1 \\ & = [M,M+N,1] \end{align}\]

23 Dica 08-2: Multiplicar por 11

Se o número tem dois algarismos na forma \([MN]\) e \(M+N>10\) então, escreve-se \([M+1,M+N-10,N]\).

Justificativa: Tomando \([MN]=10M+N\), segue que: \[\begin{align} (10M+N)\times 11 & = (10M+N){\times}(10+1) \\ & = 100M+10M+10N+1 \\ & = (10M+N) \times (10+1) \\ & = 100M+10M+10N+1 \\ & = 100M{+}100{-}100{+}10(M+N){+}1 \\ & = 100(M+1){+}10(M+N-10){+}1 \\ & = [M+1,M+N-10,1] \end{align}\]

24 Dica 08-3: Multiplicar por 11

Se o número tem três algarismos \([ABC]\) e \(A+B+C<10\) então, escreve-se \([A,A+B,B+C,C]\).

Justificativa: Se \([ABC]=100A+10B+C\), então: \[\begin{align} (100A+10B+C) \times 11 & = (100A+10B+C) \times (10+1) \\ & = 1000A+100B+10C+100A+10B+C \\ & = 1000A+100(A+B)+10(B+C)+C \\ & = [A,A+B,B+C,C] \end{align}\]

25 Dica 09-1: Multiplicar por 25 = Dividir por 0,04

Dividir o número por \(4\) e multiplicar por \(100\).

26 Dica 09-2: Multiplicar por 2,5 = dividir por 0,4

Dividir o número por \(4\) e multiplicar por \(10\).

27 Dica 09-3: Multiplicar por 0,25 = dividir por 4

Dividir o número por \(4\).

28 Dica 10-1: Multiplicar por 101

Se o número tem dois algarismos \([AB]\) escreve-se o produto na forma \([A,B,A,B]\)

29 Dica 10-2: Multiplicar por 101

Se o número tem três algarismos \([ABC]\) com \(A+C<10\), escreve-se \([A,B,A+C,B,C]\).

Justificativa: Se [ABC]=100A+10B+C, então \[\begin{align} [ABC] \times 101 & = (100A + 10B + C) \times 101 \\ & = (100A + 10B + C) \times (100 + 1) \\ & = 10000A + 1000B + 100C + 100A + 10B + C \\ & = 10000A + 1000B + 100(A + C) + 10B + C \\ & = [A,B,A+C,B,C] \end{align}\]

30 Dica 11-1: Multiplicar por 9

Se o número tem a forma \([MN]\), basta acrescentar um zero no final do número \(MN\) (multiplicar por 10) e retirar o próprio número \(MN\).

31 Dica 11-2: Multiplicar por 99

Se o número é da forma \(MN\), como \(99=100-1\), acrescentar dois zeros ao número \(MN\) (multiplicar por \(100\)) e retirar o próprio número \(MN\).

32 Dica 12-1: Produto de números com diferença 2 entre eles

Se o primeiro número é \(X\) e o segundo número é \(Y\), eles podem ser escritos como \(M-1\) e \(M+1\), onde \(M\) é o valor médio entre \(X\) e \(Y\) e o produto entre eles é \((M-1)(M+1) = M^2 -1\), logo basta elevar \(M\) ao quadrado e retirar o valor 1.

33 Dica 12-2: Produto de números com diferença 4 entre eles

Se o primeiro número é \(X\) e o segundo número é \(Y\), e podem ser escritos como \(M-2\) e \(M+2\), onde \(M\) é o valor médio entre \(X\) e \(Y\). Assim o produto entre eles é \((M-2)(M+2)=M^2-4\), logo basta elevar \(M\) ao quadrado e retirar \(4\).

34 Dica 12-3: Produto de números com diferença 6 entre eles

Se o primeiro número é \(X\) e o segundo número é \(Y\), eles podem ser escritos como \(M-3\) e \(M+3\), onde \(M\) é o valor médio entre \(X\) e \(Y\). Assim o produto entre eles é \((M-3)(M+3)=M^2-9\), logo basta elevar \(M\) ao quadrado e retirar o valor \(9\).

35 Dica 13-1: Multiplicar por 1,5

Somar o número com a sua metade.

36 Dica 13-2: Multiplicar por 15

Somar o número com a sua metade e multiplicar por \(10\).

37 Dica 13-3: Multiplicar por 0,15

Somar o número com a sua metade e dividir por \(10\).

38 Dica 14-1: Multiplicar números [MA] e [MB], se A+B=10

Se o primeiro número é \([MA]\) e o segundo número é \([MB]\), o produto é obtido por \((M\times(M+1),A\times B)\).

Justificativa: Se \([MA]=10M+A\), \([MB]=10M+B\) e \(A+B=10\), então \[\begin{align} [MA]\times[MB] & = (10M+A)(10M+B)\\ & = 100M^2+10M(A+B)+A\times B \\ & = 100M^2+100M+A\times B \\ & = 100M(M+1)+A\times B \end{align}\]

39 Dica 15-1: Elevar número [5P] ao quadrado

Decompõe-se o número em \(5\) e \(P\), escrevemos o produto como \((25+P,P\times P)\).

Justificativa: Se \([5P]=50+P\), então \[\begin{align} (50+P)^2 & = 2500 + 2 \times 50 \times P + P^2 \\ & = 2500 + 100 P + P^2 \\ & = (100 \times (25+P) + P^2 \end{align}\]

40 Dica 16-1: Elevar número [M1] ao quadrado

Decompomos o número em duas partes: \(M\) e \(1\). O resultado é a soma da primeira parte elevada ao quadrado com a soma de \([M1]\) com \([M0]\).

Justificativa: Como \((X+1)^2=X^2+2X+1\), então \[\begin{align} [M1]^2 & = (10M+1)^2 \\ & = 100 M^2 + 20M + 1 \\ & = 100 M^2 + (10M+1) + (10M) \\ & = [M^2,[M+1+M]] \end{align}\]

41 Dica 17-1: Multiplicar números por decomposição

Se o primeiro número \(X\) tem um algarismo e o segundo número \([YZ]\) tem dois algarismos, escrevemos \([YZ]=10Y+Z\) e usamos a distributividade dos números reais para realizar o produto.

Justificativa: Como \([YZ]=10Y+Z\), então \[X \times [YZ] = X \times (10Y + Z) = 10 X \times Y + X \times Z\]

42 Dica 18-1: Subtraindo com soma compensada

Se o primeiro número \([XY]\) tem dois algarismos e o segundo número \([WZ]\) também tem dois algarismos mas o algarismo \(Y\) é menor do que \(Z\), então somamos e subtraímos um número \(D\) (diferença entre \(Z\) e \(Y\)) para que ambos tenham os algarismos das unidades iguais até a realização da primeira diferença e depois subtraímos \(D\) do resultado obtido anteriormente.

Justificativa: Se a diferença entre \(Z\) e \(Y\) é \(D=Z-Y\), então: \[\begin{align} [XY]-[WZ] & = (10 X + Y) - (10W + Z) \\ & = 10( X - W) + (Y-Z) \\ & = 10( X - W) + (Y-Z) + D - D\\ & = 10( X - W) - D \end{align}\]

43 Dica 18-2: Subtraindo com soma compensada

Se o primeiro número \([XY]\) tem dois algarismos e o segundo número \([WZ]\) também tem dois algarismos mas o algarismo \(Y\) é menor do que \(Z\), então somamos um mesmo número \(D\) aos dois números dados de modo a zerar o algarismo das unidades do menor e depois realizamos a diferença.

Justificativa: Se \(D\) é a diferença entre \(10\) e \(Z\), isto é, \(D=10-Z\), então:

\[\begin{align} [XY]-[WZ] & = (10 X + Y) - (10W + Z) \\ & = (10 X + Y + D) - (10W + Z + D) \\ & = (10 X + Y + D) - (10W + 10) \\ & = (10 X - 10W - 10) + (Y + D) \\ & = [X-W-1,Y+D] \end{align}\]

44 Dica 18-3: Somando com soma compensada

Se o primeiro número \([XY]\) tem dois algarismos e o segundo número \([WZ]\) também tem dois algarismos mas o algarismo \(Y\) é menor do que \(Z\), então somamos um mesmo número \(D\) ao último número e subtraímos \(D\) do primeiro número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do segundo número dado e realizamos a soma.

Justificativa: Se \(D\) é a diferença entre \(10\) e \(Z\), isto é, \(D+Z=10\), então:

\[\begin{align} [XY] + [WZ] & = (10 X + Y) + (10W + Z) \\ & = (10 X + Y - D) + (10W + Z + D) \\ & = (10 X + Y + D) + (10W + 10) \\ & = (10 X + 10W + 10) + (Y + D) \\ & = [X+W+1,Y+D] \end{align}\]

45 Dica 18-4: Somando com soma compensada

Quando o primeiro número \([XY]\) tem dois algarismos e o segundo número \([WZ]\) também tem dois algarismos mas o algarismo \(Y\) é menor do que \(Z\), então somamos um mesmo número \(D\) ao primeiro número e subtraimos \(D\) do segundo número dado de modo a zerar o algarismo das unidades do primeiro número dado e realizamos a soma.

Justificativa: Se \(D\) é a diferença entre \(10\) e \(Y\), isto é, \(D+Y=10\), então:

\[\begin{align} [XY] + [WZ] & = (10 X + Y) + (10W + Z)\\ & = (10 X + Y + D) + (10W + Z - D) \\ & = (10 X + 10) + (10W + Z - D) \\ & = (10 X + 10 + 10W) + (Z - D) \\ & = [X+W+1,Z-D] \end{align}\]

46 Dica 19-1: Soma dos n primeiros naturais

Para obter a soma \(S=1+2+3+...+n\), basta tomar a metade do produto de \(n\) por \(n+1\).

Justificativa: Escrevemos os números naturais na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:

\[\begin{array}{rrrrrrrrr} S & =1 & + 2 & + 3 & + \cdots +n-2 & +n-1 & +n \\ S & =n & +n-1 & +n-2 & + \cdots + 3 & + 2 & +1 \end{array}\]

Somando membro a membro as duas igualdades: \[\begin{array}{ccccccc} 2S & =(1+n) & +(2+n-1) & + \cdots +(n-1+2) & +(n+1) \\ 2S & =(n+1) & +(n+1) & + \cdots +(n+1) & +(n+1) \end{array}\] assim \[2S = n\times (n+1)\] e obtemos \[S = \frac{n(n+1)}{2}\]

47 Dica 20-1: Soma dos n primeiros naturais ímpares

A soma \(S = 1+3+5+7+...+2n-1\) é igual ao quadrado de \(n\).

Justificativa: Escrevemos os números naturais ímpares na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:

\[\begin{array}{rrrrrrrr} S & = 1 & + 3 & + 5 & +...& + 2n-5 & + 2n-3 & + 2n-1 \\ S & = 2n-1 & + 2n-3 & + 2n-5 & +...& + 5 & + 3 & + 1 \end{array}\]

Somando membro a membro as duas igualdades \[\begin{align} 2S & = (1+2n-1) + (2+2n-3) +...+ (2n-3+3) + (2n-1+1) \\ & = 2n + 2n + 2n + ... + 2n (n \text{ vezes}) \\ & = 2n\times n = 2 n^2 \end{align}\] logo \[S = n^2\]

48 Dica 21-1: Soma dos n primeiros naturais pares

Para obter a soma \(S=2+4+6+...+2n\), basta multiplicar \(n\) por \(n+1\), notando que \(n\) é exatamente a metade do último par \(2n\).

Justificativa: Escrevemos os números naturais pares na forma normal e depois escrevemos estes números naturais na ordem invertida, para obter:

\[\begin{array}{rrrrrrrr} S & = 2 & + 4 & + 6 & +...&+ 2n-4 & + 2n-2 & + 2n \\ S & = 2n & + 2n-2 & + 2n-4 & +...&+ 6 & + 4 & + 2 \end{array}\]

Somando membro a membro as duas igualdades

\[\begin{align} 2S & = (2+2n) + (4+2n-2) +...+ (2n-2+4) + (2n+2) \\ & = (2n+2) + (2n+2) + ... + (2n+2) (n \text{ vezes}) \\ & = n\times (2n+2) \\ & = n\times (n+1) \end{align}\]

49 Dica 22-1: Divisão por 17 \(\approx\) produto por 0,06

Para obter o valor aproximado da divisão de um número por \(17\), basta multiplicar por \(6\) e dividir por \(100\).

Exemplos

50 Dica 23-1: Divisão por 33 \(\approx\) produto por 0,03

Para obter o valor aproximado da divisão de um número por \(33\), basta multiplicar por \(3\) e dividir por \(100\).