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Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III, cujas capacidades estão dadas pela matriz:
| Container | Tipo I | Tipo II | Tipo III |
|---|---|---|---|
| A | 4 | 3 | 2 |
| B | 5 | 2 | 3 |
| C | 2 | 2 | 3 |
Quais são os números de recipientes \(x_1\), \(x_2\) e \(x_3\) de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 containers do tipo II e 33 containers do tipo III. A montagem do sistema linear fica na forma:
\[\begin{matrix} 4 x_1+ 5 x_2+ 2 x_3 &= 42 \\ 3 x_1+ 2 x_2+ 2 x_3 &= 27 \\ 2 x_1+ 3 x_2+ 3 x_3 &= 33 \end{matrix}\]A resolução do sistema linear indica o número de containers de cada tipo.
O sangue humano contém três possíveis antígenos denotados por: A, B e Rh. Dependendo dos antígenos presentes, existem oito possíveis tipos sanguineos conhecidos por:
| A | A+ | B | B+ | AB | AB+ | O+ | O |
Os antígenos presentes em cada sangue podem ser descritos através de um diagrama de Venn-Euler na figura:
No diagrama, os conjuntos indicados por A, B e Rh contêm respectivamente os antígenos A, B e Rh, e, o desenho mostra que existem três conjuntos de informações que possuem interseções, sendo estas importantes por determinar certo tipo sanguíneo comum.
Podemos construir uma tabela que informa os tipos de sangue e os tipos de antígenos que os mesmos possuem, colocando sim quando um tipo de sangue contém um determinado antígeno.
| Tipo de sangue | Antígeno A | Antígeno B | Antígeno Rh |
|---|---|---|---|
| A- | Sim | ||
| A+ | Sim | Sim | |
| B- | Sim | ||
| B+ | Sim | Sim | |
| AB- | Sim | Sim | |
| AB+ | Sim | Sim | Sim |
| O+ | Sim | ||
| O- |
Do ponto de vista da Teoria de Conjuntos, esta tabela significa, que, por exemplo AB+ pertence aos três conjuntos enquanto que AB- pertence somente aos conjuntos A e B. O sangue O- não pertence a qualqauer um dos três conjuntos A, B e Rh.
Matrizes de dupla entrada são importantes nas ciências em geral. Apresentaremos uma situação real onde as matrizes são utilizadas como forma de apresentação de informações vitais para o ser humano.
Um ser humano tem quatro tipos de sangue: A, B, AB e O e tais tipos dependem das proteínas encontradas nos glóbulos vermelhos e no plasma sanguíneo. As proteínas dos glóbulos vermelhos são denominadas aglutinogêneos e as proteínas do plasma são as aglutininas. Os aglutinogêneos são de dois tipos: A e B. As aglutininas também são de dois tipos: a e b.
Consideremos algumas pessoas com os seus tipos sanguíneos identificados na tabela:
| Pessoa | Tipo de sangue | Aglutinogêneos nos glóbulos | Aglutininas no plasma |
|---|---|---|---|
| P1 | A | A | b |
| P2 | B | B | a |
| P3 | AB | A e B | não tem |
| P4 | O | não tem | a e b |
Em função dessas informações, podemos usar o diagrama de Venn-Euler da Teoria de Conjuntos, para a construir gráficos para entender o papel do aglutinogêneo e da aglutinina.
| Aglutinogêneo |  |
| Aglutinina |  |
Se um certo sangue tem um aglutinogêneo diferente daquele que possuímos, o nosso corpo trata o outro tipo de aglutinogêneo como um intruso e ocorre a rejeição do sangue.
Se o indivíduo P1 receber a transfusão de sangue de P2, então as suas aglutininas b irão fazer com que as novas células sanguíneas se aglutinem e desta forma não poderão se deslocar pelo corpo. Tendo em vista esta situação, as células não conseguirão distribuir Oxigênio pelo corpo humano, pondo esta pessoa sob sério risco de vida.
Também o sangue de tipo B rejeita o sangue de tipo A pelo mesmo motivo citado anteriormente.
O sangue de tipo O também não é compatível com qualquer dos outros A, B e AB, razão pela qual os doadores e receptores fazem análises de tipos sanguíneos antes de uma doação no sentido de evitar rejeição. Na verdade, nenhum dos tipos de sangue têm uma reação ruim ao sangue de tipo O, o que acontece é que não existem aglutinogêneos nos glóbulos vermelhos capazes de provocar reações a outros tipos de sangue.
Em função do que citamos acima, toda pessoa que possui o sangue tipo O, recebe o nome de doador universal o que permite que ele possa doar sangue a todas as pessoas.
Uma pessoa com sangue AB tem proteínas A e B, logo, pode receber sangue de qualquer pessoa, o que a torna uma receptora universal.
Considerando a possibilidade de doação de sangue, podemos construir um exemplo prático onde aplicamos o conceito matemático de Relação:
Os sentidos das doações podem ser visualizados pela relação matemática gráfica, considerando as setas da esquerda para a direita.
Os glóbulos vermelhos de algumas pessoas contêm uma proteína denominada fator Rh, razão pela qual o sangue de quem a possui é indicado com Rh+ (Rh positivo). Quando um indivíduo não possui o fator Rh, dizemos que o seu sangue é Rh- (Rh negativo).
Pessoas com fator Rh- somente podem receber sangue de outras pessoas com fator Rh-. Se uma pessoa com fator Rh- receber sangue com fator Rh+, haverá reação e uma rejeição ao sangue Rh+ após a primeira transfusão de sangue. Rh- \(\to\) Rh- mas Rh+ \(\not\rightarrow\) Rh-
Aqui, usamos um outro tipo de gráfico bastante comum para mostrar a forma como a Matemática funciona como uma ferramenta essencial em contextos científicos.
O diâmetro da Terra foi medido pela primeira vez por Eratóstenes, obtido sem que ele saisse da biblioteca em que trabalhava, localizada na cidade de Alexandria, no norte do Egito, entre 276 a.C e 196 a.C.
Eratóstenes era o responsável pela biblioteca do museu, tinha muitos interesses sobre as ciências e ouviu comentários de viajantes que tinham estado na cidade de Siene, onde está localizada hoje a represa de Assuam, que exatamente ao meio dia do primeiro dia de verão (\(21\) de junho), o Sol se colocava sobre as cabeças das pessoas, dirigindo os raios de uma forma vertical.
Olhando-se um poço profundo, podia-se ver o reflexo do Sol no fundo do poço. Eratóstenes observou que neste mesmo dia e hora em Alexandria havia uma sombra provocada por raios solares que não estavam sendo projetados verticalmente, mas formando um ângulo um pouquinho maior que 7 graus em relação à cidade de Siene que ficava 800 km mais ao Sul.
Com essas informações e levando em consideração que muitas medidas da época eram imprecisas, Eratóstenes cálculou o diâmetro da Terra fazendo a seguinte análise:
Se uma circunferência tem 360 graus e um deslocamento angular de 7 graus corresponde aproximadamente a 1/50 de um círculo e esta medida em graus equivale a 800 km, então a volta completa deve corresponder ao diâmetro da Terra, deve ser aproximadamente 800×5=40.000 km.
Atualmente, o diâmetro da Terra mede 39.830 km e esta medida obtida para a época era excelente.
A análise de uma regra de três simples e direta permitiu tal cálculo juntamente com outra idéia matemática de que a projeção de raios solares pode ser observada através da montagem de um triângulo retângulo e a medida do diâmetro pode ser calculada sem o acesso real ao local da medida. Percebemos aqui a importância dos conceitos de trigonometria e de semelhança de triângulos.
Lançamentos de projéteis são comuns em Cinemática e estão relacionados com o estudo da parábola.
Consideremos o lançamento de um dardo de massa m a partir da origem do sistema cartesiano e suponhamos que no instante inicial ele sai da origem com velocidade inicial \(v_0\) (Vamos admitir que \(v_0\) seja a intensidade da velocidade) formando um ângulo a (ou a letra grega \(\alpha\)) de lançamento com o eixo horizontal.
O vetor \(v_0\) pode ser decomposto em suas componentes horizontal \(v_0(h)\) e vertical \(v_0(v)\) como:
Não levando em consideração que existe a resistência do ar, vento, etc, a única força que atua sobre o objeto lançado será a força devida à aceleração da gravidade \(g\).
Neste caso, a curva descrita pelo objeto é o gráfico formado pelos pontos \((x,y)=(x(t),y(t))\) do plano, onde \(t\) é o tempo em cada instante, a essas coordenadas são dadas por:
Extraindo o valor de \(t\) em (C1) e substituindo em (C2), obtemos uma família de parábolas:
Desse modo, a altura máxima atingida pelo objeto é dada por:
e o alcance máximo horizontal atingido pelo objeto é:
O tempo que o objeto permanece no ar até atingir o solo é:
A maior distância horizontal é atingida quando \(\sin(2\alpha)=1\), isto é, quando o ângulo de lançamento é:
Em todos os lançamentos, o ângulo \(\alpha\) exerce um papel importante.
Tomando a velocidade inicial \(v_0\) fixa, \(g=9,81\;\text{m/s}^2\) e permitindo todas as possibilidades para a variação do ângulo \(\alpha\) de lançamento, notamos que para cada \(\alpha\), podemos construir uma parábola diferente mas um fato muito interessante é que todas elas estão dentro de uma outra parábola maior denominada parábola de segurança.
Esta parábola de segurança funciona como uma curva localizada no plano cartesiano, de forma que se uma pessoa localizada na origem do sistema começar a arremessar dardos em todas as direções, e se você estiver fora desta região parabólica que contém a origem, você estará seguro pois nenhum dardo o atingirá.
Todo dia, um laboratório produz 100 gramas de um perigoso ingrediente L1, que é usado para a confecção de remédios (drogas) A, B, C e D. Estes remédios necessitam de L1 na sua confecção, de modo que:
| Cada 1 g de Remédio | Exige de L1 |
|---|---|
| A | 0,1 gramas |
| B | 0,3 gramas |
| C | 0,5 gramas |
| D | 0,2 gramas |
Para evitar qualquer desastre com o perigoso L1, o laboratório deve usar todas as 100 gramas produzidas na confecção de \(x_1\) gramas de A, \(x_2\) gramas de B, \(x_3\) gramas de C e \(x_4\) gramas de D e para que isto aconteça, devemos ter:
que é uma equação linear em \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) e \(x_4\).
Supondo ainda que, na produção dos remédios A, B, C e D, haja a necessidade de um outro ingrediente I2 de modo que:
| Cada 1 g de Remédio | Exige de L2 |
|---|---|
| A | 0,4 gramas |
| B | 0,2 gramas |
| C | 0,3 gramas |
| D | 0,8 gramas |
Se o laboratório produz 300 gramas do ingrediente L2, este deseja saber qual é a produção \(x_1\) gramas de A, \(x_2\) gramas de B, \(x_3\) gramas de C e \(x_4\) gramas de D de modo que todas as 300 gramas de I2 sejam usadas, então temos:
que é uma outra equação linear em \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) e \(x_4\).
Assim, temos um sistema com 2 equações lineares:
Resolvendo este sistema observamos que existem infinitas soluções (sendo algumas inteiras):
Em casos práticos, a escolha dos números deve estar de acordo com o custo, demanda dos produtos, materiais disponíveis, bem como o custo do trabalho.
Este problema está envolvido com os conceitos matemáticos de equação linear e sistema de equações lineares.
Em um experimento em Psicologia, um rato é posto em uma célula com três portas \(a\), \(b\) e \(c\).
O rato deixa a célula por uma das portas. Ao alcançar a interseção ele vira à esquerda ou à direita e na próxima interseção ele vira à esquerda ou à direita de novo.
Considerando \(E=\{a,b,c\}\) e \(V=\;\{\text{esquerda},\text{direita}\}\), o caminho que o rato pode tomar pode ser representado como um elemento do produto cartesiano:
São 12 os caminhos possíveis que podem ser obtidos com:
onde \(n(X)\) é o número de elementos do conjunto \(X\).
Um nutricionista quer produzir um alimento contendo dois tipos de compostos:
| Unidades | Composto A | Composto B |
|---|---|---|
| Ferro | 1 | 2 |
| Vitamina D | 2 | 2 |
| Calorias | 3 | 4 |
Se cada alimento deve ter no mínimo 8 unidades de Ferro e \(10\) unidades de Vitamina D, quantas unidades de cada composto devem ser colocadas para que o alimento tenha a menor quantidade de calorias.
Associamos \(x\) com o composto A e \(y\) com o composto B. A função objetivo que define as unidades de calorias será indicada por:
A quantidade de cada composto não pode ser negativa, logo: \(x \geq 0\) e \(y \geq 0\).
Com relação às unidades de Ferro, deve-se ter que:
pois entram, 1 unidade do composto A e 2 unidades do composto B, com o mínimo de 8 unidades.
Com relação às unidades de Vitamina D, deve-se ter que:
pois entram 2 unidades do composto A e 2 unidades do composto B, com o mínimo de 10 unidades.
Reunindo todas as desigualdades, obtemos a função objetivo:
sujeita às restrições:
Geometria do problema:
Solução do problema: