Problema 01: Uma vasilha cilíndrica circular com capacidade para 1 litro está cheia de suco.
De que forma pode ser feita a transferência de suco da vasilha maior para uma outra vasilha irregular com capacidade para 678 ml, de modo que ambas as vasilhas fiquem com exatamente 500 ml, sem usar outras vasilhas.
Solução M01
Considere o cilindro circular sendo olhado de longe. O mesmo parece um retângulo. Coloque as letras A, B, C e D como os vértices do retângulo e despeje o suco na outra vasilha até que as letras A e C estejam na mesma horizontal (diagonal do retângulo).
Neste instante você deve estar com a metade do suco.
Problema 02a: Dada a figura em cor maravilha com 12 palitos, mova 3 palitos para obter três quadrados.
Solução M02a
Problema 02b: Usando 9 palitos de fósforo, construa o 100.
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|---|
Solução M02b
Problema 02c: Retirar 3 palitos do desenho em azul para obter 3 quadrados.
Solução M02c
Problema 02d: Acrescente 8 palitos a 3 palitos para obter oito.
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|---|
Solução M02d
Problema 02e: Mover 5 palitos na figura em anexo para obter 3 quadrados.
Solução M02e
Problema 03: Um feirante vendia queijos em peças. Ao primeiro comprador, ele vendeu a metade das peças que possuia mais meio queijo. Ao segundo, ele vendeu a metade do que restou mais meio queijo. Assim seguiu vendendo até chegar ao sexto e ultimo comprador que comprou a metade do que o feirante possuia mais meio queijo, encerrando as atividades com todos os queijos vendidos. Quantos queijos possuia o vendedor?
Problema 04: Qual é o número natural que dividido por 2 tem resto 1, dividido por 3 tem resto 2, dividido por 4 tem resto 3, dividido por 5 tem resto 4, dividido por 6 tem resto 5, e dividido por 7 tem resto 0?
Problema 05:
Qual é a fórmula que fornece a soma:
- dos n primeiros números naturais?
- dos n primeiros números naturais pares?
- dos n primeiros números naturais ímpares?
- dos quadrados dos n primeiros números naturais?
- dos quadrados dos n primeiros números naturais pares?
- dos quadrados dos n primeiros números naturais ímpares?
- dos cubos dos n primeiros números naturais?
- dos cubos dos n primeiros números naturais pares?
- dos cubos dos n primeiros números naturais ímpares?
- das potências de ordem 4 dos n primeiros números naturais?
- das potências de ordem 5 dos n primeiros números naturais?
- das potências de ordem 6 dos n primeiros números naturais?
Problema 06: Como se pode repartir para três pessoas, 21 tonéis de vinho, se 7 tonéis estão vazios, 7 tonéis estão cheios e 7 tonéis estão pela metade, de modo que no final da divisão cada pessoa tenha a mesma quantidade de vinho e de tonéis.
Problema 07: Como se pode repartir igualmente para duas pessoas, 8 litros de vinho que estão em uma vasilha v8 maior, sabendo-se que as pessoas possuem somente duas vasilhas vazias, uma v5 com capacidade para 5 litros e outra v3 com capacidade para 3 litros.
Problema 08: Repartir igualmente para duas pessoas, 16 litros de vinho que estão em uma vasilha v16 maior, sabendo-se que as pessoas possuem somente duas vasilhas vazias, uma v11 com capacidade para 11 litros e outra v6 com capacidade para 6 litros.
Problema 09: Desejamos construir uma coleção de pesos para medir massas de objetos com uma balança contendo dois pratos equilibrados.
De que modo uma barra metálica com a massa de 40 Kg pode ser cortada em apenas 4 partes de modo a se poder pesar objetos desde 1 Kg até 40 Kg.
Problema 10: Dinheiros iguais: Uma pessoa falou com a outra: 'Se você me der 1,00, eu terei o dobro do que você tem'. Então o outro disse: *Se você me der 1,00, teremos dinheiros iguais*. Quanto tinha cada um?
Problema 11: 10 litros de vinho estão em 3 vasilhas, uma v5 com capacidades de 5 litros, uma v3 com capacidade de 3 litros e outra v7 com capacidade de 7 litros, respectivamente.
A primeira contém 4 litros de vinho, a segunda está vazia e a terceira contém 6 litros de vinho. Repartir o vinho em 2 partes iguais, usando somente estas três vasilhas?
Problema 12 (dos camelos): Um velho tinha três filhos e lhes deu a ordem que depois de morto, deveriam dividir os 35 camelos que tinha, de modo que o primeiro filho deveria receber a metade deles, o segundo deveria receber um terço e ao último caberia um nono. Como não houve concordância entre eles, foram até um sábio que também tinha um camelo. Como foi que o sábio realizou a divisão de forma que todos os filhos ficaram satisfeitos com a divisão e no final até mesmo o sábio acabou ganhando um camelo?
Problema 13: Três casais foram fazer compras em uma exposição. João, José e Juca, são casados com Maria, Marlene e Mara. Quem está casado com quem, se cada uma dessas seis pessoas pagou por cada objeto comprado o mesmo número (em reais) que o número de objetos comprados.
Cada homem gastou 48,00 a mais que a sua mulher. Além disso, João comprou 9 objetos a mais do que Marlene e José comprou 7 objetos a mais do que Maria.
Dica: Para um certo casal, considere que o homem comprou h objetos e a mulher m objetos.
Problema 14: De uma folha de papel sulfite, qual é o quadrado de maior área que você pode cortar sem realizar emendas?
Solução M14
Dobrar o vértice B sobre o vértice B*.
Problema 15: De uma folha de papel sulfite, qual é o triângulo equilátero de maior área que você pode cortar sem realizar emendas?
Solução M15
Procedimento: m(XY) indica a medida do segmento XY.
- Em um papel sulfite, marque as letras A, B, C e D nos vértices, dobre o lado AB sobre o lado AD, marque a letra E tal que m(AE)=m(AB);
- Dobre a folha onde foi colocada a letra E de modo que possa ser colocada a letra F entre B e C de modo que o lado DC (e também o lado AB) seja paralelo ao segmento EF. Você pode observar que A, B, F e E são vértices de um quadrado e que sobra uma faixa retangular de papel com vértices C, D, E e F;
- Dobre o lado AB sobre o lado EF para construir uma linha GH que divide o quadrado ao meio;
- Dobre o lado AE sobre a folha para obter o ponto I que fica na linha GH mas tal que m(AI)=m(AE) e também que m(EI)=m(AE), sendo que desta forma você acabou de construir um triâgulo equilátero porém este não é o maior triângulo equilátero possível neste papel sulfite pois existe ainda uma faixa retangular com comprimento BC e com largura HI que ainda não foi aproveitada e com ela podemos ampliar o triângulo equilátero;
- Prolongando o segmento AI até encontrar o segmento BC, determinamos um ponto J no segmento BC para ser usado na obtenção de um outro ponto K no segmento AD de modo que o segmento JK seja paralelo ao segmento AB;
- Este segmento AJ é um dos lados do triângulo equilátero. Um outro lado deve estar apoiado no segmento AD;
- Agora vamos obter um ponto L entre D e E de forma que m(AK)=m(KL). O nosso maior triângulo equilátero tem os vértices A, J e L.
Desenho Animado: Os movimentos são lentos para vermos a construção dos pontos E,F,G,H,I,J,K e L, nesta ordem. Sugiro clicar sobre o botão indicado com Resposta 15 para entender o desenho.
Problema 16: De uma folha de papel sulfite, qual é o triângulo isósceles de maior área que você pode cortar sem realizar emendas?
Problema 17: De uma folha quadrada de papel sulfite, como se pode cortar um hexágono regular de maior área sem realizar emendas?
Problema 18: Demonstrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo corresponde a 180 graus. Dica: Considere as partes que têm a mesma cor, dobrando a metade de cada uma sobre a outra metade para ver o resultado.
Solução M18
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus:
- Existe uma linha horizontal na região em azul. Dobre a região que está acima desta linha horizontal sobre a região em azul que está abaixo desta linha.
- Existe uma linha vertical dentro da região em verde. Dobre a região que está à direita desta linha vertical sobre a região em verde que está à esquerda desta linha.
- Existe uma linha vertical dentro da região em amarelo. Dobre a região que está à esquerda desta linha vertical sobre a região em amarelo que está à direita desta linha.
- Após dobrar as três regiões coloridas você obtém um retângulo.
- As medidas dos ângulos A, B e C, são respectivamente iguais às medidas dos ângulos A*, B* e C*.
- Como a soma das medidas dos ângulos A, B e C é igual a 180 graus, a soma das medidas dos ângulos A* , B* e C* também é igual a 180 graus.
Problema 19: De uma folha quadrada de papel sulfite, como se pode cortar um octógono regular de maior área sem realizar emendas?
Problema 20: Demonstre geometricamente que (-1)×(-1)=+1, usando o desenho seguinte:
Dica: Desenvolver: (a-b)(a-b)= a.a+a.(-b)+(-b).a+(-b).(-b)
Depois, usar o fato que: a.(-b)=(-b).a=-ab, onde a.a=a2 é a área do quadrado de lado a.
Problema 21: Colocar 8 rainhas em um tabuleiro de xadrez de modo que uma rainha não possa capturar qualquer outra rainha?
Solução M21
Tabuleiro para o jogo de xadrez
A notacão atual usada nas partidas de xadrez, as colunas são indicadas pelas letras: A,B,C,D,E,F,G,H e as linhas são indicadas pelos números 1,2,3,4,5,6,7,8.
A Posisão 14 indicada na tabela por: 35281746 aparece
no desenho seguinte e significa que as rainhas estão nas posisões:
A3, B5, C2, D8, E1, F7, G4 e H6.
Tabela com as 60 primeiras das 92 posições possí para as rainhas:
| Colunas | A | B | C | D | E | F | G | H |
| P01 | 1 | 5 | 6 | 8 | 3 | 7 | 2 | 4 |
| P02 | 1 | 6 | 8 | 3 | 7 | 4 | 2 | 5 |
| P03 | 1 | 7 | 4 | 6 | 8 | 2 | 5 | 3 |
| P04 | 1 | 7 | 5 | 8 | 2 | 4 | 6 | 3 |
| P05 | 2 | 4 | 6 | 8 | 3 | 1 | 7 | 5 |
| P06 | 2 | 5 | 7 | 1 | 3 | 8 | 6 | 4 |
| P07 | 2 | 5 | 7 | 4 | 1 | 8 | 6 | 3 |
| P08 | 2 | 6 | 1 | 7 | 4 | 8 | 3 | 5 |
| P09 | 2 | 6 | 8 | 3 | 1 | 4 | 7 | 5 |
| P10 | 2 | 7 | 3 | 6 | 8 | 5 | 1 | 4 |
| P11 | 2 | 7 | 5 | 8 | 1 | 4 | 6 | 3 |
| P12 | 2 | 8 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 | 4 |
| P13 | 3 | 1 | 7 | 5 | 8 | 2 | 4 | 6 |
| P14 | 3 | 5 | 2 | 8 | 1 | 7 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P15 | 3 | 5 | 2 | 8 | 6 | 4 | 7 | 1 |
| P16 | 3 | 5 | 7 | 1 | 4 | 2 | 8 | 6 |
| P17 | 3 | 5 | 8 | 4 | 1 | 7 | 2 | 6 |
| P18 | 3 | 6 | 2 | 5 | 8 | 1 | 7 | 4 |
| P19 | 3 | 6 | 2 | 7 | 1 | 4 | 8 | 5 |
| P20 | 3 | 6 | 2 | 7 | 5 | 1 | 8 | 4 |
| P21 | 3 | 6 | 4 | 1 | 8 | 5 | 7 | 2 |
| P22 | 3 | 6 | 4 | 2 | 8 | = | 7 | 1 |
| P23 | 3 | 6 | 8 | 1 | 4 | 7 | 5 | 2 |
| P24 | 3 | 6 | 8 | 1 | 5 | 7 | 2 | 4 |
| P25 | 3 | 6 | 8 | 2 | 4 | 1 | 7 | 5 |
| P26 | 3 | 7 | 2 | 8 | 5 | 1 | 4 | 6 |
| P27 | 3 | 7 | 2 | 8 | 6 | 4 | 1 | 5 |
| P28 | 3 | 8 | 4 | 7 | 1 | 6 | 2 | 5 |
| P29 | 4 | 1 | 5 | 8 | 2 | 7 | 3 | 6 |
| P30 | 4 | 1 | 5 | 8 | 6 | 3 | 7 | 2 |
| P31 | 4 | 2 | 5 | 8 | 6 | 1 | 3 | 7 |
| P32 | 4 | 2 | 7 | 3 | 6 | 8 | 1 | 5 |
| P33 | 4 | 2 | 7 | 3 | 6 | 8 | 5 | 1 |
| P34 | 4 | 2 | 7 | 5 | 1 | 8 | 6 | 3 |
| P35 | 4 | 2 | 8 | 5 | 7 | 1 | 3 | 6 |
| P36 | 4 | 2 | 8 | 6 | 1 | 3 | 5 | 7 |
| P37 | 4 | 6 | 1 | 5 | 2 | 8 | 3 | 7 |
| P38 | 4 | 6 | 8 | 2 | 7 | 1 | 3 | 5 |
| P39 | 4 | 6 | 8 | 3 | 1 | 7 | 5 | 2 |
| P40 | 4 | 7 | 1 | 8 | 5 | 2 | 6 | 3 |
| P41 | 4 | 7 | 3 | 8 | 2 | 5 | 1 | 6 |
| P42 | 4 | 7 | 5 | 2 | 6 | 1 | 3 | 8 |
| P43 | 4 | 7 | 5 | 3 | 1 | 6 | 8 | 2 |
| P44 | 4 | 8 | 1 | 3 | 6 | 2 | 7 | 5 |
| P45 | 4 | 8 | 1 | 5 | 7 | 2 | 6 | 3 |
| P46 | 4 | 8 | 5 | 3 | 1 | 7 | 2 | 6 |
| P47 | 5 | 1 | 4 | 6 | 8 | 2 | 7 | 3 |
| P48 | 5 | 1 | 8 | 4 | 2 | 7 | 3 | 6 |
| P49 | 5 | 1 | 8 | 6 | 3 | 7 | 2 | 4 |
| P50 | 5 | 2 | 4 | 6 | 8 | 3 | 1 | 7 |
| P51 | 5 | 2 | 4 | 7 | 3 | 8 | 6 | 1 |
| P52 | 5 | 2 | 6 | 1 | 7 | 4 | 8 | 3 |
| P53 | 5 | 2 | 8 | 1 | 4 | 7 | 3 | 6 |
| P54 | 5 | 3 | 1 | 6 | 8 | 2 | 4 | 7 |
| P55 | 5 | 3 | 1 | 7 | 2 | 8 | 6 | 4 |
| P56 | 5 | 3 | 8 | 4 | 7 | 1 | 6 | 2 |
| P57 | 5 | 7 | 1 | 3 | 8 | 6 | 4 | 2 |
| P58 | 5 | 7 | 1 | 4 | 2 | 8 | 6 | 3 |
| P59 | 5 | 7 | 2 | 4 | 8 | 1 | 3 | 6 |
| P60 | 5 | 7 | 2 | 6 | 3 | 1 | 4 | 8 |
Problema 22: Você saberia fazer com que um cavalo percorra todo o tabuleiro de um jogo de xadrez sem nunca voltar a uma posição já ocupada anteriormente?
Solução M22
Os 5 movimentos iniciais do cavalo estão no tabuleiro abaixo.
A notacão utilizada atualmente nas partidas de xadrez, indica as colunas pelas letras: A,B,C,D,E,F,G,H e as linhas pelos numeros 1,2,3,4,5,6,7,8.
Sequência: A1, C2, E1, G2, H4, F3, H2, F1, D2, B1, A3, B5, C3, A2, C1, E2, G1, H3, G5, E4, G3, H1, F2, D1, E3, C4, B2, A4, C5, D3, E5, G6, H8, F7, D8, B7, A5, C6, A7, C8, E7, G8, H6, G4, F6, H7, F8, D7, B8, A6, B4, D5, B6, A8, C7, E8, D6, F5, G7, H5, F4, E6, D4 e B3.
Nota: De B3 (última posição da lista acima) você pode voltar à A1 (primeira posição da lista acima). Isto significa que se fecha uma sequência percorrendo todas as posições do tabuleiro. Para começar a caminhada do cavalo da posição H6, basta procurar H6 na lista anterior e seguir todas as posições indicadas.
Problema 23: Cortar a cruz, construída com 4 quadrados, que aparece no desenho em anexo, para construir um outro quadrado maior.
Solução M23
Inicialmente traçamos 4 linhas na 'cruz' representada pelos cinco quadrados de área igual a L2 e verificamos que após o traçado aparece um outro quadrado maior de área igual a 52. Note que existem quatro regiões triangulares coloridas em cor 'maravilha' que ficam fora do grande quadrado e outras quatro regiões que estão em branco que ficam dentro do quadrado grande. Como a área de cada triângulo colorido é igual à á rea do triângulo branco, basta realizar uma rotação no triângulo colorido para que o mesmo ocupe o lugar do triângulo branco. No desenho animado, observamos a rotação no sentido horário de um dos triângulos. O mesmo ocorre com os outros três triângulos.
Problema 24: Veja a Tabela Mágica abaixo, pense em um número natural menor que 32 e diga ao 'Mágico' em quais das linhas: L1, L2, L3, L4, L5 este número está. De um modo rápido ele dirá o número que você pensou.
De um ponto de vista matemático, você sabe explicar o funcionamento da tabela?
| L1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 31 |
| L2 | 2 | 3 | 6 | 7 | 10 | 11 | 14 | 15 | 18 | 19 | 22 | 23 | 26 | 27 | 30 | 31 |
| L3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 12 | 13 | 14 | 15 | 20 | 21 | 22 | 23 | 28 | 29 | 30 | 31 |
| L4 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
| L5 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 |
Problema 25: Com três algarismos 5 e as operações elementares, obter:
- O número 0.
- O número 1.
- O número 2.
- O número 4.
- O número 5.
- Outros números.
Problema 26: Uma lesma está subindo em uma parede de 4 metros de altura. A cada dia ela sobe 20 centímetros e quando dorme agarrada à parede desce 10 centímetros. Ao final de quantos dias, a lesma terá atingido a altura máxima da parede, onde poderá descansar tranquila sem o problema de ficar escorregando?
Problema 27 (Torres de Hanoi): Coloca-se uma tábua com três hastes verticais A, B e C, onde são colocados n discos perfurados, sendo os menores colocados sobre os maiores.
Deve-se mover todos os n discos que estão colocados na haste A até a haste C de forma que nunca um disco maior fique colocado sobre um disco menor, usando a haste B que está no meio para atransição.
Quais são os detalhes matemáticos e qual é o menor número de vezes que se usa para tal movimento se o número de discos é n=5? Simule situações com n=2,3,4,5,6,...?
Problema 28: Considere um jogo de dominó com as suas 28 peças. Qual é a soma de todos os pontos das:
- peças?
- peças que possuem um zero em um dos lados?
- peças que possuem um número par em um dos lados?
- peças que possuem números pares nos dois lados?
- peças que possuem um número ímpar em um dos lados?
- peças que possuem números ímpares nos dois lados?
Problema 29: Construir um Quadrado Latino 3×3, que é um quadrado 3×3, de acordo com a figura em anexo, onde são colocados somente os algarismos 1, 2 e 3 nos quadradinhos de modo que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre 6.
Problema 30: Construir um Quadrado latino 3×3 com os números 1,2,3,4,5,6,7,8,9 de modo que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre igual.
Problema 31: Construa um Quadrado Latino 4×4, com os números 1,2,3,...,16 de modo que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre igual.
Problema 32: Construir um Quadrado Latino 5×5, com os números 1,2,3,...,25 de forma que a que a soma desses números, por linha, por coluna ou por diagonal seja sempre igual.
Problema 33: Você conhece um método prático para elevar ao quadrado um número terminado em 5?. Por exemplo 452=2025.
Problema 34: Em um relógio com ponteiros, os ponteiros de Hora e Minuto se encontram após 1:00h, após 2:00h, após 3:00h, etc. Você saberia calcular com a maior precisão possível as horas, minutos e segundos em que tais *encontros* ocorrem. Você saberia mostrar qual e que tipo de Matemática é usada para resolver este problema?
Problema 35: Sabemos que: 33+43+53=63 e 93+103=13+123.
Identificar outros números naturais para os quais valem as relações: x3+y3+z3=w3 e x3+y3=z3+w3.
Problema 36 (Teorema de Sofia Germain): Demonstrar que se n é um número natural, então todo número da forma n4+4' é composto, isto é, é produto de dois números naturais.
Problema 38: Curiosidade com troca de posições: 12×42=21×24=504 e 26×93=62×39. Identificar outros números com esta propriedade.
Problema 39 (do papiro Rhind): Entre cinco pessoas foram repartidas 100 medidas de trigo, de modo que a segunda recebeu a mais do que a primeira o mesmo que a terceira recebeu a mais do que a segunda, que corresponde ao mesmo que a quarta recebeu a mais do que a terceira e também a mesma quantidade que a quinta recebeu a mais do que a quarta. Quanto recebeu cada pessoa?
Problema 40: De que forma pode ser repartido o número 36 em duas partes, de modo que o produto das partes seja o maior possível?
Dica: Usar apenas conceitos do Ensino Fundamental e Ensino Médio, e justificar a sua resposta do ponto de vista algébrico e não somente do ponto de vista aritmético.
Problema 41: Frações egípcias: Escrever o número 1 como a soma de frações em que o numerador é sempre 1 e os denominadores números naturais?
Problema 42: Resolver a equação: xx3=3.
Problema 43: Temos 100,00 para comprar três tipos de objetos cujos custos unitários correspondem a 1,00, 4,00 e 12,00. Quais são as possibilidades que existem para que se compre a maior quantidade de objetos?
Problema 44: Quais são os números e qual é o maior número que se pode obter com a combinação de:
- Três algarismos 2.
- Três algarismos 3.
- Três algarismos 4.
- Quatro algarismos 1.
- Quatro algarismos 2.
Dica: Colocar lado a lado, adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação, etc, como por exemplo: (2+2)*2=8 ou (22)2=...
Problema 45: No produto dos números das duas primeiras linhas da tabela, substituímos algarismos (nem sempre iguais) por asteriscos. Quais são os valores dos asteriscos?
| * | 1 | * | |||
| × | 3 | * | 2 | ||
| — | — | — | — | — | — |
| * | 3 | * | |||
| 3 | * | 2 | |||
| 2 | * | 5 | |||
| — | — | — | — | — | — |
| 1 | * | 8 | * | 3 | 0 |
Problema 46: Qual é a área da região 'vermelha' na figura seguinte?
Problema 47: Qual é a área da região 'verde' na figura seguinte se as quatro circunferências menores são tangentes aos eixos coordenados e estão tangenciando internamente a circunferência maior cujo raio mede 12 cm?
Problema 48: Qual é a área da região 'azul' sabendo-se que as duas circunferências pequenas são tangentes aos eixos coordenados e o raio da circunferência maior mede 12 cm?
Problema 49: Qual é a área da região 'amarela' na figura seguinte, localizada na região elíptica cujos semi-eixos são a e b?
Dica: Pesquise outro link desta página para obter o cálculo da área de uma região elíptica.
Problema 50: Perguntas:
- Quais são as desigualdades existem entre as médias aritmética, geométrica e harmônica de dois números reais positivos?
- Você saberia generalizar a relação de desigualdade para um número finito de números reais positivos?
- Você saberia usar tais desigualdades para obter situações de máximo ou de mínimo de funções reais, sem ter que usar derivadas ou outros conceitos mais avançados da Matemática?